2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第7讲一元二次方程 知识归纳＋真题解析（2017年真题）（免费学习）.doc

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1、【知识归纳】1一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ； ， ， ，如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式是 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是： ； ；令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两

2、个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3. 一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程的根的判别式为 .（1）>0一元二次方程有两个 实数根，即 .（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .（3）<0一元二次方程 实数根.4 一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程有两根分别为，那么 ， .【知识归纳答案】1一元二次方程：两、2 、.、bx、c、a、b .2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法： 、 （2）配方法：化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平

3、方，化原方程为的形式，如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n0，则原方程无解.（3）公式法：.（4）因式分解法：将方程的右边化为0；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3. 一元二次方程根的判别式：.（1）不等、.（2）两个、.（3）没有4 一元二次方程根与系数的关系， .真题解析1若1是方程x22x+c=0的一个根，则c的值为（）A2B42C3D1+【考点】A3：一元二次方程的解【分析】把x=1代入已知方程，可以列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值【解答】解：关于x的方

4、程x22x+c=0的一个根是1，（1）22（1）+c=0，解得，c=2故选：A学 科 网2我们知道方程x2+2x3=0的解是x1=1，x2=3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0，它的解是（）Ax1=1，x2=3Bx1=1，x2=3Cx1=1，x2=3Dx1=1，x2=3【考点】A3：一元二次方程的解【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=3，然后解两个一元一次方程即可【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=3，所以x1

5、=1，x2=3故选D3若|x24x+4|与互为相反数，则x+y的值为（）A3B4C6D9【考点】A6：解一元二次方程配方法；16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根【分析】根据相反数的定义得到|x24x+4|+=0，再根据非负数的性质得x24x+4=0，2xy3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可【解答】解：根据题意得|x24x+4|+=0，所以|x24x+4|=0， =0，即（x2）2=0，2xy3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3故选A4三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x23x+4=0，则第三边的长是（）AB2C2D3【考点

6、】A8：解一元二次方程因式分解法；T7：解直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程x23x+4=0得到a=2，b=，如图，ABC中，a=2，b=，C=60°，作AHBC于H，再在RtACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=，AH=，则BH=，然后在RtABH中利用勾股定理计算AB的长即可【解答】解：x23x+4=0，（x2）（x）=0，所以x1=2，x2=，即a=2，b=，如图，ABC中，a=2，b=，C=60°，作AHBC于H，在RtACH中，C=60°，CH=AC=，AH=CH=，BH=2=，在RtABH中，AB=，即三角形的第三边的长是故选A5

7、已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法判断【考点】AA：根的判别式；D1：点的坐标【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac0，则判断0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：点P（a，c）在第二象限，a0，c0，ac0，=b24ac0，方程有两个不相等的实数根故选B6下列方程中，没有实数根的是（）Ax22x=0Bx22x1=0Cx22x+1=0Dx22x+2=0【考点】AA：根的判别式【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可【解答

8、】解：A、=（2）24×1×0=40，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、=（2）24×1×（1）=80，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、=（2）24×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、=（2）24×1×2=40，方程没有实数根，所以D选项正确故选D二填空题（共5小题）7已知x=1是关于x的方程ax22x+3=0的一个根，则a=1【考点】A3：一元二次方程的解【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可【解答】解：把x=1

9、代入方程，得a2+3=0，解得a=1故答案为18关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c1【考点】AA：根的判别式【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】解：关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，=224c=44c0，解得：c1故答案为：c19在ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x24x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2【考点】AA：根的判别式；KP：直角三角形斜边上的中线；KS：勾股定理的逆定理【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出ABC是

10、直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论【解答】解：关于x的方程x24x+b=0有两个相等的实数根，=164b=0，AC=b=4，BC=2，AB=2，BC2+AB2=AC2，ABC是直角三角形，AC是斜边，AC边上的中线长=AC=2；故答案为：2学 科 网10经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是50（1x）2=32【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可【解答】解：由题意可得，50（1x）2

11、=32，故答案为：50（1x）2=3211原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为10%【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1x），第二次降价后的售价是原来的（1x）2，再根据题意列出方程解答即可【解答】解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得100×（1x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）答：这两次的百分率是10%故答案为：10%三解答题（共8小题）12根据要求，解答下列问题：方程x22x+1=0的解为x1=x2=1；方程x23x

12、+2=0的解为x1=1，x2=2；方程x24x+3=0的解为x1=1，x2=3；（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：方程x29x+8=0的解为1、8；关于x的方程x2（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n（3）请用配方法解方程x29x+8=0，以验证猜想结论的正确性【考点】A6：解一元二次方程配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程因式分解法【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x29x+8=0的解为1和8；关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项

13、为1和n的积（3）利用配方法解方程x29x+8=0可判断猜想结论的正确【解答】解：（1）（x1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x22x+1=0的解为x1=x2=1，；（x1）（x2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x23x+2=0的解为x1=1，x2=2，；（x1）（x3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x24x+3=0的解为x1=1，x2=3；（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：方程x29x+8=0的解为x1=1，x2=8；关于x的方程x2（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n（3）x29x=8，x29x+=8+，（x）2=x=±，所以x1=1，x2=8；

14、所以猜想正确故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2（1+n）x+n=0；13由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+2）（x+4）；（2）应用：请用上述方法解方程：x23x4=0【考点】A8：解一元二次方程因式分解法；57：因式分解十字相乘法等【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）利用十字相乘

15、法将左边因式分解后求解可得【解答】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x=2×4=（x+2）（x+4），故答案为：2，4；（2）x23x4=0，（x+1）（x4）=0，则x+1=0或x4=0，解得：x=1或x=4学 科 网14已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m24=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；L8：菱形的性质【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=4m+170，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根

16、与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=2m10，即可确定m的值【解答】解：（1）方程x2+（2m+1）x+m24=0有两个不相等的实数根，=（2m+1）24（m24）=4m+170，解得：m当m时，方程有两个不相等的实数根（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=2m1，ab=m242a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，a2+b2=（a+b）22ab=（2m1）22（m24）=2m2+4m+9=52=25，解得：m=4或m=2a0，b0，a+b=2m10，m=4若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为

17、415已知关于x的一元二次方程x2（m3）xm=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22x1x2=7，求m的值【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值【解答】（1）证明：x2（m3）xm=0，=（m3）24×1×（m）=m22m+9=（m1）2+80，方程有两个不相等的实数根；（2）x2（m3）xm=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22x1x2=7，（m3

18、）23×（m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或216某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，

19、但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400x7x，解得：x50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1m%）×30+200×（1

20、+2m%）×20（1m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1y）+4000（1+2y）（1y）=7000，整理可得：8y2y=0解得：y1=0，y2=0.125m1=0（舍去），m2=12.5m2=12.5，答：m的值为12.517一个矩形周长为56厘米（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以【解

21、答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28x）厘米，依题意有x（28x）=180，解得x1=10（舍去），x2=18，28x=2818=10故长为18厘米，宽为10厘米；（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28x）厘米，依题意有x（28x）=200，即x228x+200=0，则=2824×200=7848000，原方程无解，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形18今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元（1）求2015年到201

22、7年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论【解答】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=1.9（

23、舍去）答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%（2）100×=90.91（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×=14580（元）1474214580答：去B商场购买足球更优惠19受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利

24、润能否超过3.4亿元？【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x根据题意2013年创造利润250（1+x）万元人民币，2014年创造利润250（1+x）2 万元人民币根据题意得方程求解；（2）根据该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率来解答【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x根据题意得2（1+x）2=2.88，解得 x1 =0.2=20%，x2 =2.2 （不合题意，舍去）答：这两年该企业年利润平均增长率为20%（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.4563.4答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元