专题28新定义与阅读理解创新型问题（共50道）-2020年中考数学真题分项汇编（原卷版）【全国通用】（,）.docx

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1、2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题28新定义与阅读理解创新型问题【共50道】一选择题（共4小题）1（2020荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b（a+b）（ab）1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3（4+3）（43）1716若x*kx（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A有一个实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D没有实数根2（2020枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：ab=1a-b2，这里等式右边是实数运算例如：13=11-32=-18则方程x（2）=2x-4-1的解是（）Ax4Bx5Cx6Dx73（202

2、0潍坊）若定义一种新运算：ab=a-b(a2b)a+b-6(a2b)，例如：31312；545+463则函数y（x+2）（x1）的图象大致是（）ABCD4（2020长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：pat2+bt+c（a0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A3.50分钟B4.05分钟C3.75分钟D4.25

3、分钟二填空题（共11小题）5（2020临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 6（2020十堰）对于实数m，n，定义运算m*n（m+2）22n若2*a4*（3），则a 7（2020青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：ab=a+ba-b，如：32=3

4、+23-2=5，那么124 8（2020湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空示例如图：，则表示的数是 9（2020长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中

5、此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 10（2020常德）阅读理解：对于x3（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3（n2+1）x+nx3n2xx+nx（x2n2）（xn）x（xn）（x+n）（xn）（xn）（x2+nx1）理解运用：如果x3（n2+1）x+n0，那么（xn）（x2+nx1）0，即有xn0或x2+nx10，因此，方程xn0和x2+nx10的所有解就是方程x3（n2+1）x+n0的解解决问题：求方程x35x+20的解为 11（2020衢州）定义aba（b+1），例如232×（3+1）2&

6、#215;48则（x1）x的结果为 12（2020枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式Sa+12b1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S 13（2020荆州）我们约定：（a，b，c）为函数yax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”若关联数为（m，m2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为 14（2020乐山）我们用符号x表示不大于x的最大整数例如

7、：1.51，1.52那么：（1）当1x2时，x的取值范围是 ；（2）当1x2时，函数yx22ax+3的图象始终在函数yx+3的图象下方则实数a的范围是 15（2020泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为 三解答题（共35小题）16（2020湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心（1）特例感知：如图（一），已

8、知边长为2的等边ABC的重心为点O，求OBC与ABC的面积（2）性质探究：如图（二），已知ABC的重心为点O，请判断ODOA、SOBCSABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若SCME1，求正方形ABCD的面积17（2020徐州）我们知道：如图，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点它们的比值为5-12（1）在图中，若AC20cm，则AB的长为 cm；（2）如图，用边长为20cm的正方形纸

9、片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AEDE），连接BE，作CFBE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由18（2020株洲）如图所示，OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE1（1）若点E为线段OC的中点，求k的

10、值；（2）若OAB为等腰直角三角形，AOB90°，其面积小于3求证：OAEBOF；把|x1x2|+|y1y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值19（2020宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角（1）如图1，E是ABC中A的遥望角，若A，请用含的代数式表示E（2）如图2，四边形ABCD内接于O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E求证：BEC是ABC中BAC的遥望角（3）如图3，在（2）

11、的条件下，连结AE，AF，若AC是O的直径求AED的度数；若AB8，CD5，求DEF的面积20（2020陕西）问题提出（1）如图1，在RtABC中，ACB90°，ACBC，ACB的平分线交AB于点D过点D分别作DEAC，DFBC垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB8P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BPAPB的平分线交AB于点C，过点C分别作CEAP，CFBP，垂足分别为E，F，求线段CF的长问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知O的直径AB70m，点C在O上，且CACBP为AB上一点，连接

12、CP并延长，交O于点D连接AD，BD过点P分别作PEAD，PFBD，垂足分别为E，F按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）求y与x之间的函数关系式；按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理试求当AP30m时室内活动区（四边形PEDF）的面积21（2020咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为 ；证明：（2）如图1，MN是O的直径，点A，B，C在O上，AM，CN相交于点D求证：四边形ABCD是对

13、余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，ABBC，ABC60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由22（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，A，B为O外两点，AB1给出如下定义：平移线段AB，得到O的弦A'B'（A'，B分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”（1）如图，平移线段AB得到O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”；（2）若点A，B都

14、在直线y=3x+23上，记线段AB到O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围23（2020怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）平行四边形；矩形；菱形；正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，ADBC，ACBD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且DBC45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于O中，

15、BCD60°求O的半径24（2020常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点（Q在P、H之间）我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQPH的值称为I关于直线a的“特征数”（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点 （填“A”“B”、“C”或“D”），O关于直线m的“特征数”为 ；若直线n的函数表达式为y=3x+4求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F

16、为圆心，2为半径作F若F与直线1相离，点N（1，0）是F关于直线1的“远点”且F关于直线l的“特征数”是45，求直线l的函数表达式25（2020连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E、F若BE2，PF6，AEP的面积为S1，CFP的面积为S2，则S1+S2 ；（2）如图2，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EFAD，H

17、GAB，与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把O四等分请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、BC围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、AD围成的封闭图形的面积为S2，PBD的面积为S3，PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）26（2020南京）如图，在ABC和A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，AD

18、AB=A'D'A'B'（1）当CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'时，求证ABCA'B'C证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格（2）当CDC'D'=ACA'C'=BCB'C'时，判断ABC与A'B'C是否相似，并说明理由27（2020重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程以下是我们研究函数y=6xx2+1性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题（1）请把下表

19、补充完整，并在图中补全该函数图象； x54321012345y=6xx2+1-1513 -2417 -125 303125 2417 1513 （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值当x1时，函数取得最大值3；当x1时，函数取得最小值3当x1或x1时，y随x的增大而减小；当1x1时，y随x的增大而增大（3）已知函数y2x1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式6xx2+12x1的解集（保留1位小

20、数，误差不超过0.2）28（2020重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质 x432101234y-23 a24b42-1211 -23 （1）列表，写出表中a，b的值：a ，b ；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“”作答，错误的用“×”作答）：函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；当x0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为6；在自变量的取值范

21、围内函数y的值随自变量x的增大而减小（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2-23x-103的解集29（2020内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：xm×n（m，n是正整数，且mn），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解并规定：f（x）=mn例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为1819263，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=36=12（1）填空：f（6） ；f（9） ；（2）一个两位正

22、整数t（t10a+b，1ab9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：f（22×3×5×7） ；f（23×3×5×7） ；f（24×3×5×7） ；f（25×3×5×7） 30（2020重庆）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数“差一数”定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数

23、为2，则称这个数为“差一数”例如：14÷524，14÷342，所以14是“差一数”；19÷534，但19÷361，所以19不是“差一数”（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”31（2020张家界）阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号mina，b的意义为：当ab时，mina，ba；当ab时，mina，bb，如：min4，22，min5，55根据上面的材料回答下列问题：（1）min1，3 ；（2）当min2x-32，x+23=x+23时，求x的取值范围32（2020荆州）阅读下列“问题”与“提

24、示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值【问题】解方程：x2+2x+4x2+2x-50【提示】可以用“换元法”解方程解：设x2+2x=t（t0），则有x2+2xt2原方程可化为：t2+4t50【续解】33（2020扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3xy5，2x+3y7，求x4y和7x+5y的值本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得x4y2，由

25、+×2可得7x+5y19这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”解决问题：（1）已知二元一次方程组2x+y=7，x+2y=8，则xy ，x+y ；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：x*yax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知3*515，4*728，那么1*1 34（2020自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法例如，代

26、数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x4|+|x+2|的最小值是 ；利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4；当a为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最

27、小值是235（2020随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今（1）请叙述勾股定理；勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2S3的有 个；如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两

28、个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知123，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）a2+b2+c2+d2 ；b与c的关系为 ，a与d的关系为 36（2020呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金

29、分割比5-120.618如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究（其它可同理得出）（1）求证：ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出BAN的形状；（2）求证：BMBN=BNBE，且其比值k=5-12；（3）由对称性知AOBE，由（1）（2）可知MNBM也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值37（2020江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（

30、1）如图2，在RtABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作RtABD，RtACE，RtBCF，若123，则面积S1，S2，S3之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在RtABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意ABD，ACE，BCF，满足123，DEF，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，AEC105°，ABC90°，AB23，DE2，点P在AE上，ABP30°，PE=2，求五边形ABCDE的面积38（2020湘西州）问题背景：如图1，在

31、四边形ABCD中，BAD90°，BCD90°，BABC，ABC120°，MBN60°，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE，再证明BFGBFE，可得出结论，他的结论就是 ；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，BAD90°，BCD90°，BABC，ABC2MBN，MBN绕B点旋转它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；

32、探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BABC，BAD+BCD180°，ABC2MBN，MBN绕B点旋转它的两边分别交AD、DC于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°试求此时两舰艇

33、之间的距离39（2020青海）在ABC中，ABAC，CGBA交BA的延长线于点G特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B通过观察、测量BF与CG的长度，得到BFCG请给予证明猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DEBA垂足为E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与

34、点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）40（2020齐齐哈尔）综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例如教材八年级下册的数学活动折纸，就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中ABN是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出MNE °；（2

35、）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图，则GBN °；拓展延伸：（3）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT求证：四边形SATA'是菱形解决问题：（4）如图，矩形纸片ABCD中，AB10，AD26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9请写出以上4个数值中你认为正确的数值 41（2020德州）问

36、题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB6，AC4，AD是中线，求AD的取值范围她的做法是：延长AD到E，使DEAD，连接BE，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：（1）小红证明BEDCAD的判定定理是： ；（2）AD的取值范围是 ；方法运用：（3）如图2，AD是ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AEEF，求证：BFAC（4）如图3，在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一点F，以BF为斜边作RtBEF，且EFBE=12，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EGCG42（2020宁波）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为

37、AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDF=12BAD，AE2，DF5，求菱形ABCD的边长43（2020邵阳）已知：如图，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 （2）如图，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转角（0°90°）AF与DM的数量关系是否仍

38、成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MNDM，连接CN）求证：AFDM；若旋转角45°，且EDM2MDC，求ADED的值（可不写过程，直接写出结果）44（2020天水）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC中，ACB120°，则底边AB与腰AC的长度之比为 理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+23，则它的面积为 ；（2）如图（2），在四边形EFGH中，EFEGEH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN若FGH120°，EF20，求线段MN的长类比拓展顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为

39、 （用含的式子表示）45（2020盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题14（）在RtABC中，C90°，AB22，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米） AC2.82.72.62.321.50.4BC0.40.81.21.622.42.8AC+BC3.23.53.83.943.93.2（）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：BCx，AC+BCy，以（x，y）为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点：连线：观察思考（）结合表中的数据以及所画的图象，猜想当x_时，y最大；

40、（）进一步精想：若RtABC中，C90°，斜边AB2a（a为常数，a0），则BC_时，AC+BC最大推理证明（）对（）中的猜想进行证明问题1，在图中完善（）的描点过程，并依次连线；问题2，补全观察思考中的两个猜想：（） ；（） ；问题3，证明上述（）中的猜想；问题4，图中折线BEFGA是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AGBE1厘米EFG90°平行光线从AB区域射入，BNE60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值46（2020临沂）已知O1的半径为r1，O2的半径为r2以O1为圆心，以r1

41、+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以12O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C（1）求证：BC是O2的切线；（2）若r12，r21，O1O26，求阴影部分的面积47（2020天津）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，OAB90°，B30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）（）如图，当OP1时，求点P的坐标；（）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQOP，点O的对应点为O&#

42、39;，设OPt如图，若折叠后O'PQ与OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；若折叠后O'PQ与OAB重叠部分的面积为S，当1t3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）48（2020南京）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短（1）如图，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的为了证明点C的位置即为

43、所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CBAC+C'B请完成这个证明（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）生态保护区是正方形区域，位置如图所示；生态保护区是圆形区域，位置如图所示49（2020达州）（1）阅读与证明如图1，在正ABC的外角CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G完成证明：点E是点C关于AM的对称点，AGE90°，AEAC，12正ABC中，BAC60°

44、;，ABAC，AEAB，得34在ABE中，1+2+60°+3+4180°，1+3 °在AEG中，FEG+3+190°，FEG °求证：BFAF+2FG（2）类比与探究把（1）中的“正ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2类比探究，可得：FEG °；线段BF、AF、FG之间存在数量关系 （3）归纳与拓展如图3，点A在射线BH上，ABAC，BAC（0°180°），在CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G则线段BF、AF、GF之间的数量关系为 50（2020泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB与ECD恰好为对顶角，ABCCDE90°，连接BD，ABBD，点F是线段CE上一点探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BDDF你认为此结论是否成立？ （填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，