1988考研数学一、二、三答案.pdf

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1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 1 页 1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域. 解：解：因11(3)1(1) 3limlim33 ,(3)3(1)33nnnnnnxnnxxxnn故131 063xx即时，幂级数收敛. 3 分 当0 x 时，原级数成为交错级数11( 1)nnn，是收敛的. 4 分 当6x 时，原级数

2、成为调和级数11nn，是发散的. 5 分 所以，所求的收敛域为0,6. (2) 已知 f(x)= e2x,f( )x=1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域. 解：解：由2 ( )1xex ，得 ( )ln(1)xx. 3 分 由ln(1)0 x，得11x即0 x . 5 分 所以( )ln(1)xx，其定义域为(,0). (3)设 S 为曲面1222zyx的外侧， 计算曲面积分sdxdyzdxdxydydzxI333. 解：解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 2223()Ixyz dv（其中是由S所围成的区域） 2 分 21220003dsindrrdr 4 分 12

3、5. 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 2 页 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若 f(t)=xlimttxx2)11 ( ，则( )f t2(21)tte (2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间1 , 1上的定 f(x)= 01, 210 ,3xxx,则 f(x)的付立叶级数在 x=1 处收敛于23. (3) 设 f(x)是连续函数，且103,)(xxdttf则 f(7)=112. (4) 设 4*4 矩阵 A=),(4, 3, 2，B=),(4, 3,

4、 2，其中，4, 32,均为 4 维列向量， 且已知行列式 , 1, 4BA则行列式BA=.40. 三、选择题三、选择题 ( 本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若函数 y=f(x)有21)(0 xf，则当0 x时，该函 x=0 x处的微分 dy 是 (B) (A) 与x等价的无穷小 (B) 与x同阶的无穷小 (C) 比x低阶的无穷小 (D) 比x高阶的无穷小 (2) 设( )yf x是方程042 yyy的一个解，若( )0f x ，且0)(0 xf，则函数( )f x在点0 x (A) (A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D)

5、某个邻域内单调减少 (3) 设有空间区域 22221:Rzyx,; 0z及22222:Rzyx, 0, 0, 0zyx则 (C) (A) 124xdvxdv (B) 124ydvydv (C) 124zdvzdv (D) 124xyzdvxyzdv (4) 若nnnxa) 1(1在 x=-1 处收敛， 则此级数在 x=2 处 (B) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 12,(3)ssn 线性无关的充分必要条件是 (D) (A) 有一组不全为 0 的数12,sk kk使11220sskkk. (B) 12,s 中任意两个向量都线性无关

6、. (C) 12,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出. (D) 12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出. 四四(本题满分本题满分 6 分分) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 3 页 设)()(xyxgyxyfu，其中 f,g 具有二阶连续导数，求222uuxyxx y . 解：解：.uxyyyfggxyxxx 2 分 22231.uxyyfgxyyxx 3 分 222.uxxyyfgx yyyxx 5 分 所以2220uuxyxx y . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数 y=y(x)满足微分方

7、程,223xeyyy 且图形在点(0，1)处的切线与曲线12xxy在该点的切线重合，求函数).(xyy 解：解：对应齐次方程的通解为212xxYCeC e. 2 分 设原方程的特解为*,xyAxe 3 分 得2A . 4 分 故原方程通解为2212( )2xxxy xCeC exe. 5 分 又已知有公共切线得00|1,|1xxyy， 7 分 即12121,21cccc解得121,0cc. 8 分 所以2(1 2 ).xyx e 六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为2rk(k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之间的距离)， 质点 M

8、沿曲线22xxy自 B(2,0)运动到 O(0， 0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功. 解：解：0,1MAxy 2 分 22(1) .rxy 因引力f 的方向与MA 一致， 故3,1kfxyr . 4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 4 页 从而3(1)BOkWxdxy dyr 6 分 1(1)5k. 9 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 已知PBAP ,其中112012001,100000001PB求 A 及5A. 解：解：先求出1100210411P. 2 分 因PBAP ，故110010010

9、0210000210211001411APBP 100100100200210200201411611. 4 分 从而555111511AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个个（）() ()=. 6 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 已知矩阵xA10100002与10000002yB相似， (1) 求 x 与 y； (2) 求一个满足BAPP1的可逆矩阵P. 解：解：(1) 因A与B相似，故| |EAEB，即 1 分 200200010001001yx， 亦即22(2)(1)(2)(1)xyy. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 19

10、88 年 第 5 页 比较两边的系数得0,1xy.此时200001010A，200010001B. 3 分 (2) 从B可以看出A的特征值2,1, 1. 4 分 对2，可求得A的特征向量为1100p . 对1，可求得A的特征向量为2011p . 对1 ，可求得A的特征向量为3011p. 7 分 因上述123,ppp是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令123100(,)011011p ppP，则P可逆，且有BAPP1. 8 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分) 设函数)(xf在区间ba,上连续， 且在),(ba内有0)( xf.证明： 在),(ba内存在唯一的， 使曲线)(xf

11、y 与两直线axy),(所围平面图形面积1s是曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积2s的 3 倍. 证：证：存在性存在性 在 , a b上任取一点t，令 bttadxtfxfdxxftftF)()(3)()()( ( )()( )3( )( )()tbatf t taf t dxf x dxf t b t3 分 则( )F t在 , a b上连续. 又因0)( xf,故( )f x在 , a b上是单调增加的. 于是在( , )a b内取定点c，有 ( )3 ( )( )3 ( )( )3 ( )( )bcbaacF af xf a dxf xf a dxf xf a dx 1

12、13 ( )( )3( )( ) ()0,bcf xf a dxff abccb . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 6 页 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )bcbaacF bf bf x dxf bf x dxf bf x dx ( )( )caf bf x dx22( )() ()0,f bfcaac. 5 分 所以由介值定理知，在( , )a b内存在 ,使0)(F，即.321SS 6 分 唯一性唯一性 因( )( )()3()0F tf ttabt， 8 分 故)(tF在( , )a b内是单调增加的.因此，在(

13、 , )a b内只有一个 , 使.321SS 9 分 十、填空题十、填空题(共共 6 分，每个分，每个 2 分分) (1) 设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为13. (2) 在区间) 1 , 0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725. (3) 设随机变量X服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布.已知)(x=dueux2221，9938. 0)5 . 2(，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876. 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设随机变量X的概率密度函

14、数为)1 (1)(2xxfx，求随机变量31XY的概率密度函数)(yfY. 解：解：因Y的分布函数 ( )()YFyP Yy 1 分 33311(1) PXyPXyP Xy 2 分 333(1)(1)211arctanar(ctan(11)2yydxxyx. 4 分 故Y的概率密度函数为)(yfY363(1)( )1 (1)YdyFydyy. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 7 页 数数 学（试卷二）学（试卷二） 一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 【 同数学一 第一、(1) 题 】 (2)

15、【 同数学一 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、(3) 题 】 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】 三、选择题三、选择题(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题 】 (5

16、) 【 同数学一 第三、(5) 题 】 四四(本题满分本题满分 18 分，每小题分，每小题 6 分分) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin. 解：解：dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin 221sin2yyxdydxy 3 分 212coscos22yy dy. 4 分 33284cos()(2)2yttdtt 令. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 8 页 (3) 求椭球面2132222zyx上某点 M 处的切平面的方程， 使平面过已知直线2

17、121326:zyxl. 解：解：令222( , , )2321,F x y zxyz则2 ,4 ,6 .xyzFx Fy Fz 椭球面在点000(,)M x y z处的切平面的方程为 0000002 ()4()6 ()0 x xxy yyz zz,即0002321x xy yz z. 2 分 因为平面过直线 L，故 L 上的任两点，比如点17(6,3, )(0,0, )22A、B应满足的方程， 代入有000366212xyz (1) 02z (2) 又因 2220002321,xyz (3) 于是有0000003,0,21,2,2xyzxyz及. 4 分 故所求切平面的方程为274 +621

18、xzxyz和. 6 分 五、五、 （本（本题满分题满分 8 分）分） 【 同数学一 第五题 】 六、六、 （本题满分（本题满分 9 分）分） 【 同数学一 第六题 】 七、七、 （本题满分（本题满分 6 分）分） 【 同数学一 第七题 】 八、八、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 【 同数学一 第八题 】 九、九、 （本题满分（本题满分 9 分）分） 【 同数学一 第九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 9 页 数数 学（试卷三）学（试卷三） 一、填空题一、填空题 (本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分) (1

19、) 若0,20),cos(sin)(2xxxxxexf是),(上的连续函数，则1. (2) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 (3) 【 同数学一 第二、 （3）题 】 (4) 01lim()tgxxx1. (5) 40 xe dx 22(1)e 二、选择题二、选择题 (本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分) (1) 162131)(23xxxxf的图形在点 （0， 1） 处切线与x轴交点的坐标是 (A) (A) 1(,0)6 (B) ( 1,0) (C) 1(,0)6 (D) (1,0) (2) 若)(xf与)(xg在),(上皆可导，且)(xf)(xg，则必有 (C) (

20、A) ()()fxgx (B) ( )( )fxg x (C) 00lim( )lim ( )xxxxf xg x (D) 00( )( )Xxf t dtg t dt (3) 【 同数学一 第二（1）题 】 (4) 曲线)0(sin23xxy与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转 (B) (A) 43 (B) 43 (C) 223 (D) 23 【B 】 (5) 【 同数学一 第三（5）题 】 三、三、(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 【 同数学一第一、 （2）题 】 (2) 已知xyxey1，求0 xy及0 xy. 解：解： 显然0 x 时，1y . 1

21、分 2()(1)xyxyxyyxexyyeex yxy. 2 分 因此001xye； 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 10 页 而22(2)(1)(1)xyxyyex yxyxyyex yxyxy， 4 分 即得000|2xyee. 5 分 (3) 求微分方程) 1(112xxyxy的通解（一般解）. 解：解：1121(1)dxdxxxyeedxCx x 3 分 2111dxCxx 4 分 1arctanxCx，其中 C 是任意常数. 5 分 四、四、(本题满分本题满分 12 分分) 作函数4262xxy的图形，并填写下表 单调

22、增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹)( 区间 凸)( 区间 拐 点 渐近线 解：解： 单调增加区间 (,1) （1 分） 单调减少区间 (1,) （2 分） 极值点 1 （3 分） 极值 2 （4 分） 凹区间 (,0)(2,)及 （6 分） 凸区间 (0,2) （7 分） 拐点 33(0, )(2, )22及 （9 分） 渐进线 0y （10 分） 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 11 页 其图形为： 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方

23、形与圆形的面积之和为最小？ 解：解： 设圆形的周长为x，则正方形的周长为ax，而两面积之和为 222244216816axxaaAxx， 3 分 4088aAx （令） ，得4ax. 5 分 408A. 7 分 故当圆的周长为4ax时，正方形的周长为44aax时，A 之值最小. 8 分 六、六、(本题满分本题满分 10 分分)【 同数学一 第五题（分值不同） 】 七、七、(本题满分本题满分 7 分分) 设1x，求 dttx)1 (1. 解：解：当10 x 时，11(1 | |)(1)xxt dtt dt 1 分 211(1)2xt 2 分 21(1)2x. 3 分 当0 x 时，0110(1

24、| |)(1)(1)xxt dtt dtt dt 5 分 211(1)2x . 7 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 12 页 设)(xf在),(上有连续导数，且Mxfm)(. (1) 求dtatfatfaaaa)()(41lim20； (2) 证mMxfdttfaaa)()(21)0( a. 解：解：(1) 由积分中值定理和微分中值定理有 201lim ()()4aaaf taf ta dta 01lim ()()2afafaa()aa 2 分 *00lim()lim()( 22 )affaa

25、aa=(0)f . 4 分 (2) 证：证：由( )f x的有界性及积分估值定理有 5 分 1( )2aamf t dtMa, 6 分 又 ( )Mf xm ， 7 分 故有 1()( )( )2aaMmf t dtf xMma， 即 1( )( )2aaf t dtf xMma. 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 13 页 数数 学（试卷四）学（试卷四） 一、填空题（本题满分一、填空题（本题满分 12 分，每空分，每空 1 分）分） (一一) 已知函数xdtexfxt,)(0212. （1）)(xf221te. （2）)(xf的

26、单调性： 单调增加 . （3）)(xf的奇偶性： 奇函数 . （4）)(xf图形的拐点： （0，0） （5）)(xf图形的凹凸性：0 x 时上凹（下凸）,0 x 时下凹（上凸）. （6）)(xf图形的水平渐近线近线：,22yy (二二) 11101101101101113. (三三) 100010010010010000001001001001000. (四) 假设( )0.4()0.7P AP AB，那么 （1）若 A 与 B 互不相容，则 P（B）=0.3. （2）若 A 与 B 相互独立，则 P（B）=0.5. 二、 （本题满分二、 （本题满分 10 分） （每小题，回答正确得分） （每

27、小题，回答正确得 2 分，回答错误得分，回答错误得-1 分，不回答得分，不回答得 0 分；分；全题最低得全题最低得 0 分）分） （1）若极限)(lim0 xfxx与)(lim0 xfxx)(xg都存在，则极限)(lim0 xgxx必存在. （） （2）若0 x是函数)(xf的极值点，则必有0)(0 xf. （） （3）等式aadxxafdxxf00,)()(对任何实数a都成立. （） （4）若 A 和 B 都是n阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于n. （） 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 14 页 （5）若事件 A，B，C

28、满足等式,ACBC 则 A=B. （） 三、 （本题满分三、 （本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.） (1) 求极限 11limlnxxxxx 解一：解一： 此极限为00型未定式，由罗必塔法则，则 11(ln1)=limlim1ln1xxxxxxxx原式. 4 分 解二：解二： 令lntxx，则xtxe.由于当1x 时，0t ，可见 001=limlim1tttteet原式. 4 分 (2) 已知xyeu，求yxu2. 解：解：由于11uuuyuxxeye， 2 分 可见221(1)uuuueyeuuyx yyxe 3 分 311(1)uuuxyeee. 4 分 (3) 求定积分

29、)1 (30 xxdx. 解一：解一： 由于2 ()dxdxx，可见 原式302=1dxx 2 分 23. 4 分 解二：解二： 令2,2xtxt dxtdt，；当0 x 时，0t ；当3x 时，3t ； 1 分 于是，3202=1dtt原式 2 分 302arctanx 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 15 页 23. 4 分 (4) 求二重积分660cosyxdydxx. 解：解： 在原式中交换积分次序，得 原式600cosxxdxdyx 2 分 60=cosxdx601=sin2x 4 分 . 四、四、 （本题满分分，每小

30、题分本题满分分，每小题分） (1) 讨论级数11)!1(nnnn的敛散性 解：解：由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)nnnnnnnunnnnnunnnnnn，有 11limlim21111(11)nnnnnneuunn， 2 分 故由级数收敛的比值判别法，知11)!1(nnnn收敛. 3 分 (2) 已知级数12na和2ii nb都收敛，试证明级数1nnnba绝对收敛. 证：证： 由于级数12na和2ii nb都收敛，所以2211()2iinab收敛. 2 分 而221()2n nnna bab， 故由比较判别法，知级数1|nnna b收敛，即1nnnba绝对收敛

31、. 3 分 五、五、 （本题满分本题满分 8 分分） 已知某商品的需求量和供给量都是价的函数：2( )aDD pp，( )SS pbp，其中a0和b0是常数： 价格p是时间t的函数且满足方程(),()(pspdkdtdpk是常数） ，假设当 t=0 时价格为 1.试求： （1）需求量等于供给量时的均衡价格eP； （2）价格函数)(tp； （3）极限)(limtpt. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 16 页 解：解：(1) 当需求量等于供给量时，有2abpp，即3apb. 故13( )eapb. 1 分 (2) 由条件知322 ( )(

32、 )dpabak D pS pkbpkpdtppb. 因此有332edpbkppdtp，即233ep dpkbdtpp . 3 分 在该式两边同时积分得333kbteppce. 5 分 故由条件(0)1P，可得31ecp .于是价格函数为13333( )(1)kbteep tpp e. 6 分 (3) 13333lim ( )lim(1)kbteeettp tpp ep 8 分 六、六、 （本题满分本题满分 8 分分） 在曲线2(0)yx x上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112，试求： (1) 切点 A 的坐标； (2) 过切点 A 的切线方程； (3) 由上述所围

33、平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 解：解：设切点 A 的坐标为2( ,)a a， 则过点 A 的切线方程的斜率为 |2x aya，切线方程为22 ()yaa xa，即22yaxa. 2 分 可见，切线与x轴的交点为2(,0)2a. 故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412aaaaaSx dx. 4 分 而由题设知112S ，因此1a . 5 分 于是，切点 A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为21yx. 6 分 旋转体的体积为112 22102()(21)30Vxdxxdx. 8 分 七、七、 （本题满分本题满分 8 分分） 郝海龙：考研数学复

34、习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 17 页 已给线性方程组1234123412341234231231231231xxxxxxxxxxxxxxxx，问1k和2k各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解. 解：解： 以A表示方程组的系数矩阵，以(|)A B表示增广矩阵， 因121112331361(|)331151510 12kkA B1211123101214002250003kk 2 分 故当12k 时，( )(|)4RRAA B，方程组有唯一解； 3 分 当12k 时，有22111123112311012101

35、21(|)42000200015100030000kkA B 4 分 这时，若21k ，则( )3(|)4RRAA B，故方程组无解； 若21k ，则( )(|)34RRAA B，故方程组有无穷多组解，此时有 6 分 1123 11004 01000801211012110120 3(|)0001 20001 20001 20000 00000 00000 0 A B 7 分 相应的方程组为12348;322.xxxx ，取3xc（c为任意常数） ，得方程组的一般解：12348,3 2 ,2xxc xc x . 8 分 综上所述：当12k 时，方程组有唯一解；当12k 而21k 时，方程组无解

36、； 当12k 且21k 时，方程组有无穷多组解，其一般解为12348,3 2 ,2xxc xc x ，其中c为任意常数. 八、八、 （本题满分本题满分 7 分分） 已知向量组1,2,sa aa（S2） 线性无关， 设11222311,ssssaaaaaaa， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 18 页 讨论向量组12,s 的线性相关性. 解：解：假设12,sk kk是一数组，满足条件11220sskkk 1 分 那么，有111221()()()0sssskkkkkk. 由于,2, 1saaa线性无关，故有1122310000ssskkkk

37、kkkk （*） 3 分 此方程组的系数行列式为s阶行列式： 110001110002,1 ( 1)011000,00011sD 若s为奇数若s为偶数 5 分 若s为奇数，则20D ，故方程组（*）只有零解，即12,sk kk必全为 0. 这时，向量组12,s 线性无关. 若s为偶数，则0D ，故方程组（*）有非零解，即存在不全为 0 的数组12,sk kk， 使11220sskkk.这时，向量组12,s 线性相关, 7 分 九、九、 （本题满分本题满分 6 分分） 设 A 是三阶方阵，A是 A 的伴随矩阵， A 的行列式.21A求行列式 AA2)3 (1的值. 解：解： 因 111(3 )3

38、AA， 2 分 故 *111|2AA AA， 3 分 所以 311111122(3 )2|333AA AAAA 5 分 1627 . 6 分 十、十、 （本题满分本题满分 7 分分） 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率是8 . 0，0.1 和 0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察 4 只，若无郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 19 页 残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： (1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 解

39、：解：设iB箱中恰有 i 件残品次品 （0,1,2i ） ，A顾客买下所察看的一箱. 1 分 由题意知012()0.8, ()0.1, ()0.1P BP BP B；419014204(|)1, (|)5CP A BP A BC； 418242012(|)19CP A BC. 3 分 (1) 由全概率公式200.41.2( )() (|)0.80.94519iiiP AP B P A B； 5 分 (2) 由贝叶斯公式000() (|)0.8(|)0.85( )0.94P B P A BP BAP A. 7 分 十一、十一、 （本题满分本题满分 6 分分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔

40、户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出 X 的概率分布； (2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理， 求出索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值. 解：解：(1) X服从二项分布，参数100,0.2np，其概率分布为 1001000.2 0.8(0,1,100)kkkP XkCk. 2 分 (2) 由( , )XB n p知，20,(1)16EXnpDXnpp, 4 分 故根据棣莫佛拉普拉斯定理，有 14202030201430161616XPXP201.52.54XP 5 分 (2.5)( 1.5)(2.5)1(

41、1.5) 0.9941 0.9330.927. 6 分 十二、十二、 （本题满分本题满分 6 分分） 假设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量xeY2的概率密度 f(y). 解：解：由条件知，X的密度函数为1,12( )0,xp x若其他 1 分 记( )F yP Yy为Y的分布函数，则有 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 20 页 21ln242140,2( ),31,4yyeF ydxeyeye若 分若 分若 分因此22440,1( )( ),20,yef yF yeyeyye若若若于是（当24,ye e时，补充

42、定义( )0f y ） ，得2441,2( )0eyeyf yye若若. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 21 页 数数 学（试卷五）学（试卷五） 一、一、 【 同数学四 第一题 】 二、二、 【 同数学四 第二题 】 三、 （本题满分三、 （本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.） (1) 求极限xtgxx2)1 (lim21. 解：解：211limcot2xxx原式 1 分 212limsin22xxx 3 分 4. 4 分 (2) 已知xyue，求yxu2. 解：解： 1xyuexy， 1 分 22211xxyy

43、uxeex yyyy 3 分 3.xyxyey 4 分 (3) 【 同数学四 第三、 （3）题 】 (4) 【 同数学四 第三、 （4）题 】 四、 （本题满分四、 （本题满分 6 分）分） 确定常数a和b，使函数2,1( ),1axb xf xxx，处处可导. 解：解：当1x 时，显然( )f x可导； 1 分 为使1x 时，导数( )fx存在，( )f x在1x 处必须连续， 故有(1 0)(1 0)(1)fff， 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 22 页 由此可得1ab. 3 分 又由(1 0),(1 0)2,fa f 4

44、 分 以及( )f x在1x 处的可导性，有(1 0)(1 0)ff.由此得2a ， 5 分 从而1b . 6 分 五、五、 （本题满分（本题满分 8 分分.） 【 同数学三 第五题 】 六、六、 （本题满分（本题满分 8 分分.） 【 同数学四 第六题 】 七、七、 （本题满分（本题满分 8 分分.） 【 同数学四 第七题 】 八、 （本题满分八、 （本题满分 6 分分.） 已知n阶方阵 A 满足矩阵方程0232EAA，其中 A 给定，而 E 是单位矩阵. 证明 A 可逆，并求出其逆矩阵1A. 解一：解一：由2320AAE，可见232AAE，(3 )2A AEE. 在上式两端同取行列式，得|

45、(3 )| |2|A AEE；| |(3 )| |2 | 20nAAEE 3 分 由此可见| 0A，从而 A 可逆. 4 分 在(3 )2A AEE两端同时左乘112A，得11(3 )2AAE. 6 分 解二：解二：由2320AAE，可见232AAE. 从而有 1(3 )2AAEE及1(3 )2AEAE. 3 分 记1(3 )2B AE，则ABBAE. 由逆矩阵的定义知A可逆，且B是A的逆矩阵：11(3 )2ABAE. 6 分 九、九、 （本题满分（本题满分 7 分分.） 【 同数学四 第八题 】 十、十、 （本题满分（本题满分 7 分分.） 【 同数学四 第十题 】 十一、 （本题满分十一、

46、 （本题满分 7 分）分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则倒掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望和方差. 解：解： 以X表示在取到正品前已取出的废品数. 知X是一随机变量，其有 3 个可能的取值：0,1,2. 1 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 23 页 （1）分布：800.810P X ；2 88110 945P X ； 2 1 81210 9 845P X . 4 分 （2）数学期望：8120 0.8 1245459EX . 5 分 （3）方差：222281400.8 12454515EX ， 6 分 2288()405DXEXEX. 7 分 十二、十二、 （本题满分（本题满分 5 分分.） 【 同数学四 第十二题 分值不同 】