2021考研数一答案.pdf

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1、12021 考研数学真题及答案解析考研数学真题及答案解析数学（一）数学（一）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)函数1,0( )=1,0 xexf xxx,在0 x 处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案答案】D.【解析解析】因为001lim( )=lim1(0)xxxef xfx

2、 ，故( )f x在0 x 处连续；因为200011( )(0)11lim=limlim002xxxxxef xfexxxxx ，故1(0)2f ，正确答案为 D.(2)设函数,f x y可微，且2(1,)(1)xf xex x，22( ,)2lnf x xxx，则(1,1)df(A)dxdy.(B)dxdy.(C)dy.(D)dy.【答案答案】C.【解析解析】212(1,)(1,)(1)2 (1)xxxf xee fxexx x2212( ,)2( ,)4 ln2fx xxfx xxxx分别将00 xy，11xy带入式有12(1,1)(1,1)1ff，12(1,1)2(1,1)2ff联立可得

3、1(1,1)0f ，2(1,1)1f ，12(1,1)(1,1)(1,1)dffdxfdydy，故正确答案为 C.(3)设函数2sin( )1xf xx在0 x 处的 3 次泰勒多项式为23axbxcx，则(A)71,0,6abc .(B)71,0,6abc.(C)71,1,6abc .(D)71,1,6abc .【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有3323332sin7( )()1()()166xxf xxo xxo xxxo xx2故71,0,6abc ，本题选 A.(4) 设函数 f x在区间0,1上连续，则 10f x dx (A)1211lim22nnkkfnn.(B)121 1l

4、im2nnkkfnn.(C)211 1lim2nnkkfnn.(D)2012lim2nxkkfnn.【答案】B.【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将0,1分 成n份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则10121 1( )lim,2nnkkf x dxfnn即选 B.(5)二次型222123122331( ,)()()()f x xxxxxxxx的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案答案】B.【解析解析】22221231223312122313( ,)()()()2222f x xxxxxxxxxx xx xx x所

5、以011121110A，故特征多项式为11|121(1)(3)11EA 令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.(6)已知1101 ，2121 ，3312 ，记11，221k，331122ll，若1，2，3两两正交，则1l，2l依次为(A)5 1,.2 2(B)5 1,.2 2(C)51,.22(D)51,.22【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知21221110,2,0 ，313233121122, ，故31111,5,2l ，32222,1,2l，故选 A.(7)设,A B为n阶实矩阵，下列不成立的是3(A) 2TAOrr AO

6、A A(B) 2TAABrr AOA(C) 2TABArr AOAA(D) 2TAOrr ABAA【答案】C.【解析】(A)( )()2 ( ).TTAOrr Ar A Ar AOA A故A正确.(B)AB的列向量可由A的列线性表示，故( )()2 ( ).0TTTAABAOrrr Ar Ar AOAA(C)BA的列向量不一定能由A的列线性表示.(D)BA的行向量可由A的行线性表示，( )()2 ( ).0TTTABAAOrrr Ar Ar AOAA本题选 C.(8)设A，B为随机事件，且0( )1P B，下列命题中不成立的是(A)若(|)( )P A BP A，则(|)( )P A BP A

7、.(B)若(|)( )P A BP A，则(|)( )P A BP A(C)若(|)(|)P A BP A B，则(|)( )P A BP A.(D)若(|)(|)P A ABP A AB，则( )( )P AP B.【答案】D.【解析】( ()( )(|)()( )( )()P A ABP AP A ABP ABP AP BP AB( ()()( )()(|)()()( )( )()P A ABP ABP BP ABP A ABP ABP ABP AP BP AB因为(|)(|)P A ABP A AB，固有( )( )()P AP BP AB，故正确答案为 D.(9)设 1122,nnX

8、YXYXY为来自总体221212,;,;N 的简单随机样本，令121111,nniiiiXX YYXYnn则(A)是的无偏估计， 2212Dn(B)不是的无偏估计， 2212Dn(C)是的无偏估计， 2212122Dn (D)不是的无偏估计， 2212122Dn 【答案】C.【解析】因为,X Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则XY也服从二维正态分布，即12( )()()( )EE XYE XE Y，42212122( )()()( )cov(,)DD XYD XD YX Yn ，故正确答案为 C.(10) 设1216,XXX是 来 自 总 体,4N的 简 单 随 机 样 本 ，

9、 考 虑 假 设 检 验 问 题 ：01:10,:10.HH x表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为11WX，其中161116iiXX，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为(A)10.5(B) 11(C)11.5(D) 12【答案】B.【解析】所求概率为11P X 1(11.5, )4XN，11.511 11.5111(1)1122XP XP 故本题选 B.二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)2022dxxx.【答案答案】4【解析解析】22000arct

10、an(1)22(1)1244dxdxxxxx(12)设函数( )yy x由参数方程221,04(1),0ttxetxytetx 确定,则202td ydx.【答案答案】23.【解析解析】由4221ttdytetdxe，得223(442)(21)(42 )2(21)ttttttd yeteetetedxe，将0t 带入得20223td ydx.(13)欧拉方程240 x yxyy满足条件(1)1,(1)2yy得解为y .【答案答案】2x.【解析解析】令txe，则222,dyd ydyxyx ydtdxdx，原方程化为2240d yydx，特征方程为240，特征根为122,2 ，通解为222212

11、12ttyC eC eC xC x，将初始条件(1)1,(1)2yy带入得121,0CC，故满足初始条件的解为2yx.(14) 设为 空 间 区 域22( , , )44,02x y z xyz表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分22x dydzy dzdxzdxdy.【答案答案】4.5【解析解析】由高斯公式得原式=20(221)4DxydVdzdxdy.(15)设ijAa为 3 阶矩阵，ijA为代数余子式，若A的每行元素之和均为 2，且3A ，112131AAA=.【答案答案】32.【解析解析】1112 111A ,1,2,11A ,则*A的特征值为A，对应的特征向量为111 ,*AA

12、而112131*122232132333,AAAAAAAAAA112131*122232132333111111AAAAAAAAAAA ，即11213132AAA.(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球， 先从甲盒中任取一球， 观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数.【答案】15.【解答】联合分布率(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(, )3113105510X Y,011122X011122Y1cov(, )20X Y ，11,44DXDY,即15XY.三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 小题，共

13、小题，共 70 分分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分 10 分)求极限20011lim1sinxtxxe dtex.【答案】12.【解析】解：2200001sin11limlim1sin(1)sinxxttxxxxe dtxe dtexex 又因为22233001(1( )()3xxte dtto tdtxxo x，故原式=33332220111()(1()()3!3!2limxxxo xxxo xxxo xx=22201()12lim2xxo xx.6(18)(本题

14、满分 12 分)设11( )(1,2,)(1)nxnnuxexnn n，求级数1( )nnux的收敛域及和函数.【答案】(1)ln(1),(0,1)1( ),11xxexxx xeS xexe.【解析】1111( )( ),(1)nxnnnnS xuxexn n收敛域(0,1,11( ),(0,11xnxxneS xexe11121111( )(1)1nnnnnnxxSxxn nnnln(1) ln(1)xxxx (1)ln(1),(0,1)xxxx221(1)lim( )1xSSx(1)ln(1),(0,1)1( ),11xxexxx xeS xexe(19)(本题满分 12 分)已知曲线2

15、226:4230 xyzCxyz，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.【答案】66【解析】设拉格朗日函数222, , , ,26(4230)L x y zzxyzxyz 240 xLxu420Lyyu20zLzu2226xyz4230 xyz解得驻点：(4,1,12),( 8, 2,66)C 上的点( 8, 2,66)到 xoy 面距离最大为 66.(20)(本题满分 12 分)设2DR是有界单连通闭区域，22()(4)DI Dxy dxdy取得最大值的积分区域记为1D.(1)求1()I D的值.(2)计算222214422()(4)4xyxyDxey dxyex dyxy，其中1D是1D的

16、正向边界.【答案答案】.【解析解析】 （1）由二重积分的几何意义知：22(D)(4)DIxyd，当且仅当224xy在D上大于 0 时，(D)I达到最大，故2214：Dxy且222100(D )=(4)8Idrrdr.(2)补2222:4Dxyr（r很小） ，取2D的方向为顺时针方向，222214422()(4)4xyxyDxey dxyex dyxy=72222222212244442222()(4)()(4)44xyxyxyxyDDDxey dxyex dyxey dxyex dyxyxy2222222211142rrDDDexdxydyeydxxdydrrr .(21)(本题满分 12 分

17、)已知111111aAaa.(1)求正交矩阵P,使得TP AP为对角矩阵；(2)求正定矩阵C,使得2(3).CaEA【答案】(1)11132611132612036P；(2)51135113315133C .【解析】(1)由21111(1) (2)011aEAaaaa得1232,1aa当12a时211101(2)121011112000aEAr 的特征向量为1111，当231a所111111(1)111000111000aEAr 的特征向量为23111,102，令312123111326111,32612036P，则211TaP APaa ，(2)21(3)(3)44TTP C PPaEA P

18、aE 8114242TTTP CPP CPP CP，故51131512133215133TCPP .(22)(本题满分 12 分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y,令YZX.(1)求X的概率密度；(2)求Z的概率密度.(3)求XEY.【答案】(1)1,01( )0,xXf x其他；(2)22,1(1)( )( )0,其他ZZzzfzFz.(3)12ln2 .【解析】(1)由题知：1,01( )0,xXf x其他；(2)由2YX，即2XZX，先求Z的分布函数：22( )1ZXFzP ZzPzPzXX 当1z 时，( )0ZFz ；当1z 时，210222( )1111111zZFzPzP XdxXzz ；22,1(1)( )( )0,其他ZZzzfzFz；(3)10112ln222XXxEEdxYXx .