1992考研数一真题解析.pdf

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1、1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】sin()sin()x yx yeyxyexxy【解析】函数( )yy x是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方程两边对x求导,将y看做x的函数,得(1)sin()()0 x yeyxy xyy.解出y,即sin()sin()x yx ydyeyxyydxexxy .【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果( )ug x在点x可

2、导,而( )yf x在点( )ug x可导,则复合函数( )yf g x在点x可导,且其导数为( )( )dyf ug xdx或dydy dudxdu dx.2.两函数乘积的求导公式：( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x.(2)【答案】21,2, 29【解析】对函数u求各个分量的偏导数,有2222uxxxyz；2222uyyxyz；2222uzzxyz.由函数的梯度(向量)的定义,有2221,2 ,2 ,2uuugraduxyzxyzxyz,所以222122,4, 41,2, 212( 2)9Mgradu .【相关知识点】复合函数求导法则：如果( )ug x在

3、点x可导,而( )yf x在点( )ug x可导,则复合函数( )yf g x在点x可导,且其导数为( )( )dyf ug xdx或dydy dudxdu dx.淘宝店铺：光速考研工作室 (3)【答案】212【解析】x是, 区间的端点,由收敛性定理狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x处收敛于22111 (0)(0) 1 1222ff .【相关知识点】收敛性定理狄利克雷充分条件：函数( )f x在区间, l l上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；() 只有有限个极值点.则( )f x在, l l上的傅里叶级数收敛,而且01(cossin)2nnnannaxbxll ( ), (, )

4、( )1(0)(0) , (, )( )21(0)(0) , .2f xxl lf xf xf xxl lf xflf lxl 若为的连续点,若为的第一类间断点,若(4)【答案】coscos ,yxxCx C为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan1|cos|xdxex,方程两边同乘1cos x,得111coscosyyxCxx 积分.故通解为coscos ,yxxCx C为任意常数.(5)【答案】1【解析】因为矩阵A中任何两行都成比例(第i行与第j行的比为ijaa),所以A中的二阶子式全为 0,又因0,0iiab,知道1 10ab ,A中有一阶子式非零.故( )1r A

5、 .【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r阶子式不为零,而所有的1r 阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r.淘宝店铺：光速考研工作室 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(D)【解析】 对于函数在给定点0 x的极限是否存在需要判定左极限0 xx和右极限0 xx是否存在且相等,若相等,则函数在点0 x的极限是存在的.11211111limlim(1)01xxxxxexex,11211111limlim(1)1xxxxxexex ,0 ,故当1x 时函数没有极限,也不是.故应选(D).(

6、2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111 cos()2nnn ,22( 1) (1 cos)1 cos()2nnnnn ,又因为p级数：11pnn当1p 时收敛；当1p 时发散.所以有22112nn收敛.1( 1) (1 cos)nnn收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：注： 对于正项级数1nna,确定无穷小na关于1n的阶(即与p级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】B【解析】 先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点对应的t值.求曲线上的点,使该点处的切向量与平面24xyz的

7、法向量1,2,1n 垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量2( ),( ),( )1, 2 ,3x ty tz ttt,0nn ,即31 430tt,解得11,3tt.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B).淘宝店铺：光速考研工作室 (4)【答案】(C)【解析】 因33x处处任意阶可导,只需考查2|( )xxx,它是分段函数,0 x 是连接点.所以,写成分段函数的形式,有33,0,( ), 0,xxxxx对分段函数在对应区间上求微分,223,0,( )3, 0,xxxxx再考查( )x在连接点0 x 处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义

8、进行讨论.30(0)()0 xx,30(0)()0(0)0 xx ,即223,0,( )3, 0.xxxxx同理可得6 ,0,( )6 , 0,x xxxx(0)0,即6 ,0( )6|6 , 0 x xxxxx.对于yx有(0)1,(0)1.yy 所以yx在0 x 不可导,(0)不存在,应选(C).(5)【答案】(A)【解析】1,2向量对应的分量不成比例,所以1,2是0Ax 两个线性无关的解,故( )2nr A.由3n 知( )1r A .再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax ,有定理如下:对矩阵A按列

9、分块,有12nA, ,则0Ax 的向量形式为11220nnxxx.那么,0Ax 有非零解12n, 线性相关12nr,n r An.三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)淘宝店铺：光速考研工作室 (1)【解析】由等价无穷小有0 x 时,2221111()22xxx,原式=20021 sin1 sinlimlim1112xxxxexexxx ,上式为 “00” 型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cossinlimlim1xxxxexexx洛必达洛必达1 011.(2) 【

10、解析】 这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx,再求()zyx.由复合函数求导法则得221212(sin )()sin2xxzfeyfxyfeyfxxxx,212(sin2 )xzf eyfxx yy 111212122(cos2 )sincos(cos2 )2xxxxf eyfy eyf eyf eyfyx21112221sincos2( sincos )4cosxxxfeyyfeyyxyfxyfey.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数( , ),( , )ux y vx y都在点

11、( , )x y具有对x及对y的偏导数,函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数,则复合函数( ( , ),( , )zfx yx y在点( , )x y的两个偏导数存在,且有12zzuzvuvffxuxv xxx ；12zzuzvuvffyuyv yyy .(3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2xt,则.dxdt当1x 时,1t ；当3x 时,1t ,于是310121110(2)( )1tf xdxf t dttdte dt分段01301171.33tttee淘宝店铺：光速考

12、研工作室 四、(本题满分 6 分.)四、(本题满分 6 分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程223(1)(3)0rrrr有两个根为11,r 23r ,而非齐次项2,3xer 为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解3xYx ae,代入方程可得14a ,故所求通解为33124xxxxyC eC ee,其中12,C C为常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*( )yx是二阶线性非齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x的一个特解.( )Y x是与之对应的齐次方程( )( )0yP x yQ x y的通解,则*( )( )y

13、Y xyx是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解( )Y x,可用特征方程法求解：即( )( )0yP x yQ x y中的( )P x、( )Q x均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e(2) 两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCC x e(3) 一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程(

14、 )( )( )yP x yQ x yf x的一个特解*( )yx,可用待定系数法,有结论如下：如果( )( ),xmf xP x e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*( )( )kxmyxx Qx e的特解,其中( )mQx是与( )mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )( )yp x yq x yf x的特解可设为*(1)(2)( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx,其中(1)( )mRx与(2)(

15、 )mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征淘宝店铺：光速考研工作室 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.五、(本题满分 8 分)五、(本题满分 8 分)【解析】将原式表成IPdydzQdzdxRdxdy,则2223()PQRxyzxyz.以考虑用高斯公式来求解,但曲面不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S zxya,法向量朝下,S与围成区域,S与取的外法向量.在上用高斯公式得323232222()()()3()SIxazdydzyaxdzdxzaydxdyxyzdV.用球坐标变换求右端的三重积分得222

16、22220003()3sinaxyzdVddd 455200163 2sin3 2155addaa .注意S垂直于平面yOz与平面xOz,将积分投影到xOy平面上,所以左端S上的曲面积分为SPdydzdxQdzdxRdxdy2200( , ,0)xySSDR x ydxdyay dxdyay dxdy 22200sinaadrrdr (极坐标变换)4223500sin44aaadr draa .因此5556295420Iaaa.【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数( , , )P x y z、( , , )Q x y z、( , , )R x y z在上具有

17、一阶连续偏导数,则有,PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz 淘宝店铺：光速考研工作室 或coscoscos,PQRdvPQRdSxyz 这里是的整个边界曲面的外侧,cos、cos、cos是在点( , , )x y z处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sincos ,sinsin ,cos ,xryrzr其中为向量与z轴正向的夹角,0；为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到向量在xOy平面上投影线段的角,02；r为向量的模长,0r .球面坐标系中的体积元素为2sin,dvrdrd d 则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(

18、 , , )( sincos , sinsin , cos )sin.f x y z dxdydzf rrrrdrd d 六、(本题满分 7 分)六、(本题满分 7 分)【解析】证法一:证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.不妨设210 xx,要证的不等式是1221()()()(0)f xxf xf xf.在10,x上用中值定理,有111()(0)( ) ,0f xffxx；在212,x xx上用中值定理,又有1221212()()( ) ,f xxf xfx xxx由( )0,fx所以( )fx单调减,而12xx,有( )( )ff,所以12211()()()(0)()f xxf xf xff

19、 x,即1212()()()f xxf xf x.证法二：证法二：用函数不等式来证明.要证11()()( ),0f xxf xf x x,构造辅助函数11( )()( )()xf xf xf xx,则1( )( )()xfxfxx.由( )0,( )fxfx单调减,1( )(),( )0fxfxxx.由此,11( )(0)()(0)()0(0)xf xff xx.改x为2x即得证.淘宝店铺：光速考研工作室 【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数( )f x满足在闭区间 , a b上连续,在开区间, a b内可导,那么在, a b内至少有一点()ab,使等式( )( )( )()f bf af

20、ba成立.七、(本题满分 8 分)七、(本题满分 8 分)【解析】(1)先求出在变力F的作用下质点由原点沿直线运动到点( , , )M 时所作的功W的表达式.点O到点M的线段记为L,则LLWF dsyzdxzxdyxydz.(2)计算曲线积分：L的参数方程是,xt yt ztt从0到1,11222200()3Wtttdtt dt.化为最值问题并求解： 问题变成求W在条件2222221(0,0,0)abc下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222( , , , )1Fabc ,则有22222222220,20,20,10.FaFbFcFabc 解此方程组：对前三个方程

21、,分别乘以, , 得222222,abc(0时)代入第四个方程得111,333abc.相应的1393 3Wabcabc.当0时相应的, , 得0W .淘宝店铺：光速考研工作室 因为实际问题存在最大值,所以当111( , , )(,)333ab 时W取最大值39abc.【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数( , )zf x y在附加条件( , )0 x y下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数( , )( , )( , ),L x yf x yx y其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：( , )( , )0,( , )( , )0,( , )0.xxyyfx

22、 yx yfx yx yx y由这方程组解出, x y及,这样得到的( , )x y就是函数( , )f x y在附加条件( , )0 x y下的可能极值点.八、(本题满分 7 分)八、(本题满分 7 分)【解析】(1)1能由23、线性表出.因为已知向量组234、线性无关,所以23、线性无关,又因为123、线性相关,故1能由23、线性表出.(2)4不能由123、线性表出,反证法：若4能由123、线性表出,设4112233kkk.由(1)知,1能由23、线性表出,可设11223ll,那么代入上式整理得41 1221 233()()k lkk lk.即4能由23、线性表出,从而234、线性相关,这

23、与已知矛盾.因此,4不能由123、线性表出.【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12mk ,k ,k,使11220mmkkk,则称12m, 线性相关；否则,称12m, 线性无关九、(本题满分 7 分)九、(本题满分 7 分)淘宝店铺：光速考研工作室 【解析】(1)设1 12233xxx,即是求此方程组的解.对增广矩阵123( ,) 作初等行变换,第一行乘以1分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以3加到第三行上,第三行自乘12,有1 1 111 1 111 1 11123 10120012014930382001 1,第三行乘以2、1分别加到第二行和第一行上,再第二

24、行乘以1加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1.解出31x ,22x ,12x ,故12322.(2) 由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘A,得22()()AA AAA ,再一直这样操作下去,有nnA .因为0,故0.按特征值定义知n是nA的特征值,且为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)nniiiiiiAAi ,据(1)结论12322,有123123(22)22AAAAA,于是123123112233(22)2222nnnnnnnnAAAAA 121322231112 12 2233223149223nnnnnnnn .【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A

25、是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.)十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.)【解析】由条件概率和乘法公式：从()0P AB ,可知()() (|)P ABCP AB P AB C0,由加法公式：淘宝店铺：光速考研工作室 ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC1111150044416168,故3()()1()8P ABCP ABCP ABC .(2)【解析】依题意,随机变量X服从参数为1的指数分布,故X的

26、概率密度为,0,( )0,0,xexf xx 根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出2220()() ( )()XxxxE Xexef x dxxee dx30014133xxxe dxedx .十一、(本题满分 6 分)十一、(本题满分 6 分)【解析】方法一：方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2( ,)XN ,所以X的密度函数为22()1( )2xXfxe,因Y服从, 上的均匀分布,故Y的密度函数为11( )()2Yfy .因为随机变量X与Y相互独立,所以二维随机变量(, )X Y的联合概率密度为( , )( )( )XYf x yfx fy.要求Z的密度函数,先求Z的分布函数

27、( )()()ZFzP ZzP XYz( , )x y zf x y dxdy ( )( )XYx y zfx fy dxdy 22()1122xx y zedxdy .2222()()11112222xxz yz ydyedxdyedx12zydy(由标准正态分布来表示一般正态分布)求出Z的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z的密度函数为淘宝店铺：光速考研工作室 11( )( )2ZZzyfzFzdy其中( ) x是标准正态分布的概率分布密度.由于( ) x是偶函数,故有zyyz于是111( )22Zyzzzfzdy.最终用标准正态分布函数( ) x表示出来ZXY的概率分布密度.方法二方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求( )Zfz更为简单.因为随机变量X与Y相互独立,由卷积公式1( )()( )2ZXYfzfzy fy dy2222()()11112222z yz yedyedy 22()1122yzedy 12yzdy112yzdy12zz.最终用标准正态分布函数( ) x表示出来ZXY的概率分布密度.淘宝店铺：光速考研工作室