考研数学历年真题(1987-1997)年数学一.pdf

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1、11997 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)2013sincoslim(1 cos )ln(1)xxxxxx=_.(2)设幂级数1nnna x的收敛半径为 3,则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为_.(3)对数螺线e在点2( , )(e ,)2 处切线的直角坐标方程为_.(4)设12243,311tAB为三阶非零矩阵,且,ABO则t=_.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放

2、回,则第二个人取得黄球的概率是_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字把所选项前的字母填在题后的括号内母填在题后的括号内)(1)二元函数( , )f x y 22( , )(0,0)0( , )(0,0) xyx yxyx y,在点(0,0)处（）(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间 , a b上( )0,( )0,( )0.f xfxfx令1231( ),( )(

3、), ( )( )(),2baSf x dx Sf b ba Sf af bba则（）(A)123SSS(B)213SSS(C)312SSS(D)231SSS(3)设2sin( )esin,xtxF xtdt则( )F x（）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,abcabcabc则三条直线1112223330,0,0a xb yca xb yca xb yc(其中220,1,2,3iiabi)交于一点的充要条件是:（）(A)123, 线性相关(B)123, 线性无关(C)秩123(,)r 秩12(,)r (D)123, 线性相关12, 线性无

4、关2(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为 4 和 2,则随机变量32XY的方差是（）(A)8(B)16(C)28(D)44三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)计算22(),Ixydv其中为平面曲线220yzx绕z轴旋转一周所成的曲面与平面8z 所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),czy dxxz dyxy dz 其中c是曲线2212xyxyz从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N在0t 时刻已掌握新技术的人数为0,x在任意时刻t已掌握

5、新技术的人数为( )(x t将( )x t视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k 求( ).x t四、四、(本题共本题共 2 小题小题,第第(1)小题小题 6 分分,第第(2)小题小题 7 分分,满分满分 13 分分)(1)设直线: l030 xybxayz在平面上,而平面与曲面22zxy相切于点(1, 2,5),求, a b之值.(2)设函数( )f u具有二阶连续导数,而(e sin )xzfy满足方程22222e,xzzzxy求( ).f u五、五、(本题满分本题满分 6 分分)设( )f x连续10, ( )(),xf xt dt且0

6、( )lim(xf xA Ax为常数),求( )x并讨论( )x在0 x 处的连续性.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设11110,()(1,2,),2nnnaaana证明(1)limnxa存在.(2)级数11(1)nnnaa收敛.3七、七、(本题共本题共 2 小题小题,第第(1)小题小题 5 分分,第第(2)小题小题 6 分分,满分满分 11 分分)(1)设B是秩为2的5 4矩阵123,1,1,2,3 , 1,1,4, 1 ,5, 1, 8,9TTT 是齐次线性方程组x B0的解向量,求x B0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111是矩阵2125312abA的一个特征向量.1)试确

7、定, a b参数及特征向量所对应的特征值.2)问A能否相似于对角阵?说明理由.八八、 （本题满分（本题满分 5 分）分）设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为.B(1)证明B可逆.(2)求1.AB九九、 （本题满分（本题满分 7 分）分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.十十、 （本题满分（本题满分 5 分）分）设总体X的概率密度为( )f x (1)0 x01x其它其中1 是未知参数12,nXXX是来自总体X的一个容量为n的简单随机

8、样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.41996 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xxxaxa则a=_.(2)设一平面经过原点及点(6, 3,2),且与平面428xyz垂直,则此平面方程为_.(3)微分方程22exyyy的通解为_.(4)函数22ln()uxyz在点(1,0,1)A处沿点A指向点(3, 2,2)B方向的方向导数为_.(5)设A是4 3矩阵,且A的秩()2,rA而102020 ,103B则()r AB

9、=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求)(1)已知2()()xay dxydyxy为某函数的全微分,a则等于（）(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设( )f x具有二阶连续导数,且0( )(0)0,lim1,xfxfx则（）(A)(0)f是( )f x的极大值(B)(0)f是( )f x的极小值(C)(0,(0)f是曲线( )yf x的拐点(D)(0)f不是( )f x的极值,(0,(0)f也不是曲线( )yf x的拐点(3)设0(1,2,

10、),nan且1nna收敛,常数(0,),2则级数21( 1) ( tan)nnnnan(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与有关(4)设有( )f x连续的导数220,(0)0,(0)0,( )() ( ),xffF xxtf t dt且当0 x 时,( )F x与kx是同阶无穷小,则k等于（）(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式1122334400000000abababba的值等于（）(A)12341 2 3 4a a a abb b b(B)12341 2 3 4a a a abb b b(C)121 2343 4()()a abba ab b(D)232 31

11、41 4()()a ab ba abb5三、三、(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 10 分分)(1)求心形线(1cos )ra的全长,其中0a 是常数.(2)设1110,6(1,2,),nnxxxn试证数列nx极限存在,并求此极限.四、四、(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 6 分分,满分满分 12 分分)(1)计算曲面积分(2),Sxz dydzzdxdy其中S为有向曲面22(01),zxyx其法向量与z轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2uxyvxay可把方程2222260zzzxx yy 简化为20,zu v 求常数. a五、五、(本题满分本题满分 7

12、 分分)求级数211(1)2nnn的和.六、六、(本题满分本题满分 7 分分)设对任意0,x 曲线( )yf x上点( ,( )x f x处的切线在y轴上的截距等于01( ),xf t dtx求( )f x的一般表达式.七七、 （本题满分（本题满分 8 分）分）设( )f x在0,1上具有二阶导数,且满足条件( ),( ),f xa fxb其中, a b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.（1）写出)(xf在点cx 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；6（2）证明( )2.2bfca八八、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设,TA I其中I是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置.证明

13、(1)2AA的充分条件是1.T (2)当1T 时,A是不可逆矩阵.九九、 （本题满分（本题满分 8 分）分）已知二次型222123123121323(,)55266f x xxxxcxx xx xx x的秩为 2,(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123( ,)1f x x x表示何种二次曲面.十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由A和B的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品

14、属A生产的概率是_.(2)设, 是两个相互独立且均服从正态分布21(0,() )2N的随机变量,则随机变量的数学期望()E=_.十一十一、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设, 是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为1(),1,2,3.3Pii又设max( , ),min( , ).XY (1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X的数学期望().E X71995 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)2

15、sin0lim(1 3 )xxx=_.(2)202cosxdxt dtdx= _.(3)设()2,a b c 则() () ()abbcca=_.(4)幂级数2112( 3)nnnnnx 的收敛半径R=_.(5)设三阶方阵,A B满足关系式16,A BAABA且1003100 ,41007A则B=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求)(1)设有直线:L321021030 xyzxyz ,及平面:4220,xyz则直线L（）(A)平行于(B)在上(

16、C)垂直于(D)与斜交(2)设在0,1上( )0,fx则(0),(1),(1)(0)ffff或(0)(1)ff的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)ffff(B)(1)(1)(0)(0)ffff(C)(1)(0)(1)(0)ffff(D)(1)(0)(1)(0)ffff(3)设( )f x可导,( )( )(1sin),F xf xx则(0)0f是( )F x在0 x 处可导的（）(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设1( 1) ln(1),nnun 则级数（）(A)1nnu与21nnu都收敛(B)1nnu与21nnu都

17、发散(C)1nnu收敛,而21nnu发散(D)1nnu收敛,而21nnu发散(5)设，100010101,100001010,2133313231232122211311121332313322212312111PPaaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA则必有（）8(A)12APP = B(B)21AP P = B(C)12PP A = B(D)21P PA = B三、三、(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 10 分分)(1)设2( , , ), (,e , )0,sin ,yuf x y zxzyx其中, f都具有一阶连续偏导数,且0.z求.dudx(2)

18、设函数( )f x在区间0,1上连续,并设10( ),f x dxA求110( ) ( ).xdxf x f y dy四、四、(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 6 分分,满分满分 12 分分)(1)计算曲面积分zdS其中为锥面22zxy在柱体222xyx内的部分.(2)将函数( )1(02)f xxx展开成周期为 4 的余弦函数.五、五、(本题满分本题满分 7 分分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为. A已知,MAOA且L过点3 3( , ),2 2求L的方程.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设函数( , )Q x y在平面xOy上

19、具有一阶连续偏导数,曲线积分2( , )LxydxQ x y dy与路径无关,并且对任意t恒有( ,1)(1, )(0,0)(0,0)2( , )2( , ),ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy求( , ).Q x y9七七、 （本题满分（本题满分 8 分）分）假设函数( )f x和( )g x在 , a b上存在二阶导数,并且( )0,( )( )( )( )0,gxf af bg ag b试证:(1)在开区间( , )a b内( )0.g x (2)在开区间( , )a b内至少存在一点,使( )( ).( )( )ffgg八八、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设三阶

20、实对称矩阵A的特征值为1231,1, 对应于1的特征向量为101 ,1 求.A九九、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设A为n阶矩阵,满足( AAI I是n阶单位矩阵,A是A的转置矩阵),0,A求.AI十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设X表 示 10 次 独 立重 复 射 击 命中 目 标 的次 数 , 每 次 射中 目 标 的 概率 为 0.4,则2X的 数 学期 望2()E X=_.(2)设X和Y为两个随机变量,且340,0, 00,77P XYP XP Y则max(, )0PX

21、 Y _.十一十一、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量X的概率密度为( )Xfx e0 x00 xx,求随机变量eXY 的概率密度( ).Yfy101994 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)011limcot()sinxxx= _.(2)曲面e23xzxy在点(1,2,0)处的切平面方程为_.(3)设esin,xxuy则2ux y 在点1(2,)处的值为_.(4)设区域D为222,xyR则2222()Dxydxdyab=_.(5)

22、已知1 11,2,3,1, ,2 3设TA 其中T是的转置,则nA=_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字把所选项前的字母填在题后的括号内母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxx则有(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN(2)二元函数( , )f x y在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfx

23、y存在是( , )f x y在该点连续的（）(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数21nna收敛,则级数21( 1)nnnan（）(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)设20tan(1 cos )lim2,ln(1 2 )(1)xxaxbxcxde其中220,ac则必有（）(A)4bd(B)4bd (C)4ac(D)4ac (5)已知向量组1234, 线性无关,则向量组（）(A)12233441, 线性无关(B)12233441, 线性无关(C)12233441, 线性无关(D)1223

24、3441, 线性无关三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)11(1)设2221cos( )1cos( )cos2txtyttuduu,求dydx、22d ydx在2t的值.(2)将函数111( )lnarctan412xf xxxx展开成x的幂级数.(3)求xxdxsin22sin.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)计算曲面积分2222,Sxdydzz dxdyxyz其中S是由曲面222xyR及,(0)zR zR R 两平面所围成立体表面的外侧.五、五、(本题满分本题满分 9 分分)设( )f x具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,ff 且2

25、()( ) ( )0 xy xyf x y dxfxx y dy为一全微分方程,求( )f x及此全微分方程的通解.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设( )f x在点0 x 的某一邻域内具有二阶连续导数,且0( )lim0,xf xx证明级数11( )nfn绝对收敛.七七、 （本题满分（本题满分 6 分）分）已知点A与点B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为. S求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.12八八、 （本题满分（本题满分 8 分）分）设四元线性齐次方程组()为122400 xxxx,又已知某线性齐次方程组()的通解为12(

26、0,1,1,0)( 1,2,2,1).kk(1)求线性方程组()的基础解析.(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九九、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设A为n阶非零方阵*,A是A的伴随矩阵TA是A的转置矩阵,当*AA时,证明0.A十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知A、B两个事件满足条件()(),P ABP AB且( ),P Ap则( )P B=_.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y具有同一分布率,且X的分布率为X01

27、P1212则随机变量max, ZX Y的分布率为_.十一十一、 （本题满分（本题满分 6 分）分）已知随机变量),(YX服从二维正态分布，并且YX和分别服从正态分布2(1,3 )N和2(0,4 ),NX与Y的相关系数1,2xy 设,32XYZ (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2)求X与Z的相关系数.xz(3)问X与Y是否相互独立?为什么?131993 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)函数11( )(2)(0)xF xdt xt的单调减少

28、区间为_.(2)由曲线2232120 xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_.(3)设函数2( )()f xxxx的傅里叶级数展开式为01(cossin),2nnnaanxbnx则其中系数3b的值为_.(4)设数量场222ln,uxyz则div(grad )u=_.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1,n则线性方程组AX0的通解为_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求)(1)设sin2340(

29、 )sin( ), ( ),xf xtdt g xxx则当0 x 时,( )f x是( )g x的（）(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为（）(A)402cos2 d (B)404cos2 d (C)402cos2 d (D)2401(cos2 )2d(3)设有直线1158:121xyzl与2:l623xyyz则1l与2l的夹角为（）(A)6(B)4(C)3(D)2(4)设曲线积分 ( )e sin( )cosxLf tydxf xydy与路径无关,其中( )f x具有一阶连续导数,且(0)

30、0,f则( )f x等于（）(A)ee2xx(B)ee2xx(C)ee12xx(D)ee12xx(5)已知12324,369tQP为三阶非零矩阵,且满足0,PQ则（）(A)6t 时P的秩必为 1(B)6t 时P的秩必为 2(C)6t 时P的秩必为 1(D)6t 时P的秩必为 214三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求21lim(sincos) .xxxx(2)求e.e1xxxdx(3)求微分方程22,x yxyy满足初始条件11xy的特解.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)计算22,xzdydzyzdzdxz dxdy 其中是由曲面2

31、2zxy与222zxy所围立体的表面外侧.五、五、(本题满分本题满分 7 分分)求级数20( 1) (1)2nnnnn的和.六、六、(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 10 分分)(1)设在0,)上函数( )f x有连续导数,且( )0,(0)0,fxkf证明( )f x在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设,bae证明.baab七七、 （本题满分（本题满分 8 分）分）已知二次型22212312323(,)2332(0)f x xxxxxax x a通过正交变换化成标准形22212325,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵.15八八、 （本题满分（本题满分 6

32、分）分）设A是n m矩阵,B是m n矩阵,其中,nmI是n阶单位矩阵,若,ABI证明B的列向量组线性无关.九九、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点( 1,0)与A同时出发,其速度大小为2 , v方向始终指向,A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2) 设

33、 随 机 变 量X服 从(0,2)上 的 均 匀 分 布 , 则 随 机 变 量2YX在(0,4)内 的 概 率 分 布 密 度( )Yfy=_.十一十一、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量X的概率分布密度为1( )e,.2xf xx (1)求X的数学期望EX和方差.DX(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关?(3)问X与X是否相互独立?为什么?161992 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设函数( )yy x由方程ecos

34、()0 x yxy确定,则dydx=_.(2)函数222ln()uxyz在点(1,2, 2)M处的梯度gradMu=_.(3)设( )f x 211x00 xx,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于_.(4)微分方程tancosyyxx的通解为y=_.(5)设1 11 212 12 1212,nnnnnnabababa ba ba ba ba ba bA其中0,0,(1,2, ).iiabin则矩阵A的秩()r A=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符

35、合题目要求)(1)当1x 时,函数1211e1xxx的极限（）(A)等于 2(B)等于 0(C)为(D)不存在但不为(2)级数1( 1) (1 cos)(nnan常数0)a （）(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线23,xt ytzt 的所有切线中,与平面24xyz平行的切线（）(A)只有 1 条(B)只有 2 条(C)至少有 3 条(D)不存在(4)设32( )3,f xxx x则使( )(0)nf存在的最高阶数n为（）(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100 ,121 都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为（）(A)212(B)201011

36、(C)102011(D)011422011三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求20esin1lim.11xxxx17(2)设22(e sin ,),xzfy xy其中f具有二阶连续偏导数,求2.zx y (3)设( )f x 21exx00 xx,求31(2).f xdx四、四、(本题满分本题满分 6 分分)求微分方程323exyyy的通解.五、五、(本题满分本题满分 8 分分)计算曲面积分I323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy其中为上半球面222zaxy的上侧.六六、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设

37、( )0,(0)0,fxf证明对任何120,0,xx有1212()()().f xxf xf x七七、 （本题满分（本题满分 8 分）分）在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc上第一卦限的点( , , ),M 问当、取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八八、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设向量组123, 线性相关,向量组234, 线性无关,问:(1)1能否由23, 线性表出?证明你的结论.18(2)4能否由123, 线性表出?证明你的结论.九九、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设 3 阶矩阵A的特征值为1231,2,3,

38、对应的特征向量依次为1231111 ,2 ,3 ,149 又向量12 .3 (1)将用123, 线性表出.(2)求(nnA 为自然数).十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知11( )( )( ),()0,()(),46P AP BP CP ABP ACP BC则事件A、B、C全不发生的概率为_.(2)设随机变量X服从参数为 1 的指数分布,则数学期望2eXE X=_.十一十一、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量X与Y独立, X服从正态分布2( ,),NY 服从, 上的均匀分

39、布,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中221( )e)2txxdt.191991 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设21cosxtyt ,则22d ydx=_.(2)由方程2222xyzxyz所确定的函数( , )zz x y在点(1,0, 1)处的全微分dz=_.(3)已知 两条直线 的方程 是1212321:;:.101211xyzxyzll则过1l且平 行于2l的平 面方程是_.(4)已知当0 x 时123,

40、(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_.(5)设 4 阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字把所选项前的字母填在题后的括号内母填在题后的括号内)(1)曲线221 e1 exxy（）(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数( )f x满足关系式20( )( )ln2,2tf xfdt则( )f x等于（

41、）(A)e ln2x(B)2eln2x(C)eln2x(D)2eln2x(3)已知级数12111( 1)2,5,nnnnnaa则级数1nna等于（）(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D是平面xOy上以(1,1)、( 1,1)和( 1, 1) 为顶点的三角形区域1,D是D在第一象限的部分,则(cos sin )Dxyxy dxdy等于（）(A)12cos sinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cos sin )Dxyxy dxdy(D)0(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵,则必有（）(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE三、

42、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求20lim(cos) .xx20(2)设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数.(3)22(),xyz dv其中是由曲线220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所围城的立体.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)过点(0,0)O和( ,0)A的曲线族sin (0)yax a中,求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积分3(1)(2)Ly dxxy dy的值最小.五、五、(本题满分本题满分 8 分分)将函数( )2( 11)f

43、xxx 展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数211nn的和.六六、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设函数( )f x在0,1上连续,(0,1)内可导,且1233( )(0),f x dxf证明在(0,1)内存在一点, c使( )0.f c21七七、 （本题满分（本题满分 8 分）分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1, 1,2,1),(1,2,4,8)aa及(1,1,3,5).b(1)a、b为何值时,不能表示成1234, 的线性组合?(2)a、b为何值时,有1234, 的唯一的线性表示式?写出该表示式.八八、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设A是n阶正定

44、阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于 1.九九、 （本题满分（本题满分 8 分）分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点( , )P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为 2、方差为2的正态分布,且240.3,PX则0P X =_.(2)随机地向半圆202(yaxxa为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点

45、的连线与x轴的夹角小于4的概率为_.十一十一、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设二维随机变量(, )X Y的密度函数为( , )f x y (2 )2e0,00 xyxy其它求随机变量2ZXY的分布函数.221990 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)2xt (1)过点(1,2 1)M且与直线34yt垂直的平面方程是_.1zt (2)设a为非零常数,则lim()xxxaxa=_.(3)设函数( )f x 1011xx,则 ( )f f x=_.(

46、4)积分2220eyxdxdy的值等于_.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量组的秩是_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求)(1)设( )f x是连续函数,且e( )( ),xxF xf t dt则( )F x等于（）(A)e(e)( )xxff x(B)e(e)( )xxff x(C)e(e)( )xxff x(D)e(e)( )xxff x(2)已知函数( )f x具

47、有任意阶导数,且2( ) ( ) ,fxf x则当n为大于 2 的正整数时,( )f x的n阶导数( )( )nfx是 （）(A)1! ( )nnf x(B)1 ( )nn f x(C)2 ( )nf x(D)2! ( )nnf x(3)设a为常数,则级数21sin()1nnann（）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知( )f x在0 x 的某个邻域内连续,且0( )(0)0,lim2,1 cosxf xfx则在点0 x 处( )f x（）(A)不可导(B)可导,且(0)0f (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1、2是非齐次线性方程组AXb的两个

48、不同的解1,、2是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是（）(A)1211212()2kk(B)1211212()2kk(C)1211212()2kk(D)1211212()2kk三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求120ln(1).(2)xdxx23(2)设(2, sin ),zfxy yx其中( , )f u v具有连续的二阶偏导数,求2.zx y (3)求微分方程244exyyy的通解(一般解).四、四、(本题满分本题满分 6 分分)求幂级数0(21)nnnx的收敛域,并求其和函

49、数.五、五、(本题满分本题满分 8 分分)求曲面积分2SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z 的部分.六六、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设不恒为常数的函数( )f x在闭区间 , a b上连续,在开区间( , )a b内可导,且( )( ).f af b证明在( , )a b内至少存在一点,使得( )0.f七七、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002BC且矩阵A满足关系式1() A EC B CE其中E为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵, C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A24

50、八八、 （本题满分（本题满分 8 分）分）求一个正交变换化二次型22212312132344448fxxxx xx xx x成标准型.九九、 （本题满分（本题满分 8 分）分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功.十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数1( )e,2xf xx 则X的概率分布函数(