考研数学历年真题(2008-2017)年数学一.pdf
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1、120172017 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)若函数1 cos,0( ),0 xxf xaxb x在0 x 处连续,则( )(A)12ab (B)12ab (C)0ab (D)2ab (2)设函数 fx可导,且 0f x fx则( )(A) 11ff(B) 11ff(C) 11ff(D) 11ff(3)函数22, ,f x y zx yz在点1,2,0处沿向量1,2,2n的方向导数为( )(A)12(B)6(C)4(D)
2、2(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处,如下图中,实线表示甲的速度曲线 1vv t(单位:m/s)虚线表示乙的速度曲线 2vvt,三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t(单位:s),则( )(A)010t (B)01520t(C)025t (D)025t (5)设为 n 维单位列向量,E 为 n 阶单位矩阵,则()(A)TE不可逆(B)TE不可逆(C)2TE不可逆(D)2TE不可逆(6)已知矩阵200021001A210020001B100020002C,则()2(A) A 与 C 相似,B 与 C 相似(B) A 与 C 相似
3、,B 与 C 不相似(C) A 与 C 不相似,B 与 C 相似(D) A 与 C 不相似,B 与 C 不相似(7)设,A B为随机事件,若0( )1,0( )1P AP B,则P A BP A B的充分必要条件是()A.P B AP B ABP B AP B AC.PPB AB AD.PPB AB A(8) 设12,.(2)nXXXn 来自总体( ,1)N的简单随机样本, 记11niiXXn则下列结论中不正确的是: ()(A)2()iX服从2分布(B)212()nXX服从2分布(C)21()niiXX服从2分布(D)2()n X服从2分布二、填空题:914 小题,每小题 4 分,共 24 分
4、。(9) 已知函数21( )1f xx,则(3)(0)f_(10)微分方程230yyy的通解为y _(11)若曲线积分Lyxdydyxdx122在区域22D,1x y xy内与路径无关,则a (12)幂级数1111nnnnx在区间(-1,1)内的和函数( )S x (13)设矩阵101112011A,123, 为线性无关的 3 维列向量组,则向量组123,AAA的秩为(14)设随机变量 X 的分布函数为 40.50.52xF xx,其中 x为标准正态分布函数,则 EX=三、解答题:1523 小题,共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分 10 分)设函数,f u
5、 v具有 2 阶连续偏导数,,xyf e cosx,求0dydxx,220ddxyx3(16)(本题满分 10 分)求21limln 1nnkkkknn(17)(本题满分 10 分)已知函数 y x由方程333320 xyxy确定,求 y x得极值(18)(本题满分 10 分)设函数( )f x在0,1上具有 2 阶导数,0( )(1)0, lim0 xf xfx证(1) 方程( )0f x 在区间(0,1)至少存在一个根;(2) 方程0)()()(2 xfxfxf在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.(19)(本题满分 10 分)设薄片型物体S是圆锥面22Zxy被 柱 面22Zx割 下
6、的 有 限 部 分 , 其 上 任 一 点 弧 度 为222( , , )9u x y zxyz。记圆锥与柱面的交线为C(1)求C在xOy平面上的投影曲线的方程(2)求S的质量M(20)(本题满分 11 分)设三阶行列式123(,)A 有 3 个不同的特征值,且3122(1)证明( )2r A (2)如果123求方程组Ax的通解4(21)(本题满分 11 分)设二次型132221232121323( ,)2282f x x xxxaxx xx xx x,在正交变换xQy下的标准型为221122yy求a的值及一个正交矩阵Q.(22)(本题满分 11 分)设随机变量 X,Y 互独立,且 的概率分布
7、为1P0P22XX,Y 概率密度为 2 ,010,yyfy其他(1)求P YEY(2)求ZXY的概率密度(23)(本题满分 11 分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做 n 次测量,该物体的质量是已知的,设 n 次测量结果12,nx xx相 互 独 立 , 且 均 服 从 正 态 分 布2,N , 该 工 程 师 记 录 的 是 n 次 测 量 的 绝 对 误 差,1,2,iizxin,利用12,nz zz估计(I)求1z的概率密度(II)利用一阶矩求的矩估计量(III)求的最大似然估计量520162016 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学(
8、 (一一) )试卷试卷一、选择题:一、选择题:18 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(1)若反常积分011badxxx收敛,则() 11111111A abB abC aabD aab且且且且(2)已知函数 21 ,1ln ,1xxf xx x,则 f x的一个原函数是() 22221,11,1ln1 ,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,1xxxxA F xB F xxxxx
9、xxxxxxC F xD F xxxxxxx(3)若22222211,11yxxyxx是微分方程 yp x yq x的两个解,则 q x () 2222313111xxAxxBxxCDxx(4)已知函数 ,0111,1,2,1x xf xxnn nn,则()(A)0 x 是 f x的第一类间断点(B)0 x 是 f x的第二类间断点(C) f x在0 x 处连续但不可导(D) f x在0 x 处可导(5)设 A,B 是可逆矩阵,且 A 与 B 相似,则下列结论错误的是()(A)TA与TB相似(B)1A与1B相似(C)TAA与TBB相似(D)1AA与1BB相似(6)设二次型22212312312
10、1323,444f x x xxxxx xx xx x,则123,2f x x x在空间直角坐标下表示的二次曲面为()(A)单叶双曲面 (B)双叶双曲(C)椭球面(D)柱面(7)设随机变量0,2NX,记2XPp,则()(A)p随着的增加而增加(B)p随着的增加而增加(C)p随着的增加而减少(D)p随着的增加而减少6(8)随机试验E有三种两两不相容的结果321,AAA,且三种结果发生的概率均为31,将试验E独立重复做 2 次,X表示 2 次试验中结果1A发生的次数,Y表示 2 次试验中结果2A发生的次数,则X与Y的相关系数为()(A)21(B)31(C)21(D)31二、填空题:二、填空题:9
11、14 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分,请将答案写在分,请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(9)_cos1sin1lnlim200 xdttttxx(10)向量场zkxyjizyxzyxA,的旋度_rotA(11)设函数vuf,可微,yxzz,由方程yzxfxyzx,122确定,则_1 , 0dz(12)设函数 21arctanaxxxxf,且1)0( f,则_a(13)行列式1000100014321_.(14)设12,.,nx xx为来自总体2,N 的简单随机样本,样本均值9.5x ,参数的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8,则的置信度
12、为 0.95 的双侧置信区间为_.三、解答题:三、解答题:1523 小题,共小题,共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知平面区域,22 1 cos,22Drr,计算二重积分Dxdxdy.(16)(本题满分 10 分)设函数( )y x满足方程02 kyyy其中01k. 证明:反常积分0( )y x dx收敛; 若1)0(, 1)0(yy,求0( )y x dx的值.7(17)(本题满分 10 分)设函数( , )f x y满足2( , )(21),
13、x yf x yxex且(0, )1,tfyyL是从点(0,0)到点(1, ) t的光滑曲线,计算曲线积分( , )( , )( )tLf x yf x yI tdxdyxy,并求( )I t的最小值(18)设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成,为整个表面的外侧,计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212(19)(本题满分 10 分) 已知函数( )f x可导, 且(0)1f,10( )2fx, 设数列 nx满足1()(1,2.)nnxf xn,证明:(I)级数11()nnnxx绝对收敛;(II)limnnx存在,且0lim2nnx.(20)(本题满分 11 分)设矩阵11
14、12221,11112AaBaaa 当a为何值时,方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分 11 分)已知矩阵011230000A(I)求99A8(II)设 3 阶矩阵23( ,)B 满足2BBA,记100123(,)B 将123, 分别表示为123, 的线性组合。(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量(, )X Y在区域2,01,Dx yxxyx上服从均匀分布,令1,0,XYUXY(I)写出(, )X Y的概率密度;(II)问U与X是否相互独立?并说明理由;(III)求ZUX的分布函数( )F z.(23) 设总体X的概率密度为其他, 00 ,3,32xxxf, 其中,
15、0为未知参数,321,XXX为来自总体X的简单随机样本,令321,maxXXXT 。(1)求T的概率密度(2)确定a,使得aT为的无偏估计920152015 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、选择题一、选择题(1) 设函数( )f x在(- ,+ )连续, 其 2 阶导函数( )fx的图形如下图所示, 则曲线( )yf x的拐点个数为 ()(A)0(B)1(C) 2(D) 321123xxxyexeyaybyce(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则:()(A)3,1,1.(B)3,2,1.(C)3,2,1.(D)3,2,
16、1.abcabcabcabc 11(3)331(A)(B)(C).(D)nnnnnaxxnax若级数条件收敛,则与依次为幂级数的:收敛点,收敛点.收敛点,发散点.发散点,收敛点发散点,发散点.()(4)设 D 是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域,函数( , )f x y在 D 上连续,则( , )Df x y dxdy ()(A)13sin2142sin2( cos , sin )df rrrdr(B)1sin23142sin2( cos , sin )df rrrdr(C)13sin2142sin2( cos , sin )df rrdr( D)1sin23
17、142sin2( cos , sin )df rrdr10(5)设矩阵21111214Aaa,21bdd,若集合1,2 ,则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为()(A),ad(B),ad(C),ad(D),ad(6) 设二次型123( ,)f x x x在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy, 其中123( ,)Pe e e, 若132( ,)Qee e,则123( ,)f x x x在正交变换xQy下的标准形为()(A)2221232yyy(B)2221232yyy(C)2221232yyy(D)2221232yyy(7)若,A B为任意两个随机事件,则()(A)()(
18、) ( )P ABP A P B(B)()( ) ( )P ABP A P B(C)( )( )()2P AP BP AB(D)( )( )()2P AP BP AB(8)X,Y2,1,3,2EXEYDXE X XY设随机变量不相关,且则()(A)3(B)3(C)5(D)5二、填空题二、填空题(9 9)20lncoslim_.xxx(1010)dxxxx22|cos1sin_._.(1111)若函数由方程+cos2xexyz xx确定,则(0,1)dz.(1212)设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域,则(23 )xyz dxdydz(1313)n阶行列式2002-12020022
19、00-1211(1414)设二维随机变量服从正态分布,则三、解答题三、解答题(1515)设函数,3( )g xkx,若( )f x与( )g x在0 x 是等价无穷小,求a,b,k值。(1616)设函数( )f x在定义域I上的导数大于零,若对任意的0 xI,曲线( )yf x在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成的区域的面积为 4,且(0)2,f求求( )f x的表达式。的表达式。(17)已知函数xyyxyxf),(,曲线3:22xyyxC,求),(yxf在曲线C上的最大方向导数.(1818)(本题满分)(本题满分 1010 分)分)()设函数( ), ( )u x v
20、x可导,利用导数定义证明()设函数12( ),( ).( )nu x uxux可导,12( )( )( ).( ),nf xu x u xux写出( )f x的求导公式.(1919)(本题满分)(本题满分 1010 分)分)已 知 曲 线L的 方 程 为222,zxyzx起 点 为(0, 2,0)A, 终 点 为(0,2,0)B, 计 算 曲 线 积 分2222()()()LIyz dxzxy dyxydz12(2020)(本题满分)(本题满分 1111 分)分)设向量组123, 是 3 维向量空间3的一个基,11322k,222,313(1)k。()证明向量组123, 是3的一个基;()当
21、k 为何值时,存在非零向量在基123, 与基123, 下的坐标相同,并求出所有的。(2121)(本题满分)(本题满分 1111 分)分)设矩阵02-3-1331-2Aa相似于矩阵1-2000031Bb.()求, a b的值.()求可逆矩阵P,使得1P AP为对角阵.(2222)(本题满分)(本题满分 1111 分)分)设随机变量X的概率密度为-2 ln20( )=00 xxf xx对X进行独立重复的观测,直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止,记Y为观测次数.()求Y的概率分布;()求EY.(2323)(本题满分)(本题满分 1111 分)分)设总体X的概率密度为11( ; )= 10 x
22、f x 其他其中为未知参数,12.nXXX,为来自该总体的简单随机样本.()求的矩估计.()求的最大似然估计.1320142014 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、选择题 18 小题每小题 4 分,共 32 分下列曲线有渐近线的是()(A)xxysin (B)xxysin 2(C)xxy1sin (D)xxy12sin 2设函数)(xf具有二阶导数,xfxfxg)()()(110 ,则在, 10上()(A)当0 )( xf时,)()(xgxf (B)当0 )( xf时,)()(xgxf (C)当0 )(xf时,)()(xgxf (D)
23、当0 )(xf时,)()(xgxf 3设)(xf是连续函数,则 yydyyxfdy11102),(()(A) 210011010 xxdyyxfdxdyyxfdx),(),((B) 0101110102xxdyyxfdxdyyxfdx),(),((C) sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrrfddrrrfd(D) sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd4若函数 dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,,则 xbxasincos11()(A)xsi
24、n2(B)xcos2(C)xsin 2(D)xcos 25行列式dcdcbaba00000000等于()(A)2)(bcad (B)2)(bcad (C)2222cbda (D)2222cbda 6设321 ,是三维向量,则对任意的常数lk,,向量31 k ,32 l 线性无关是向量321 ,线性无关的(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件7设事件 A 与 B 想到独立,3050.)(,.)( BAPBP则 )(ABP()(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.48设连续型随机变量21XX ,相互独立,且方差均存在,21XX ,的概率密度分别
25、为)(),(xfxf21,随机变量1Y的概率密度为)()()(yfyfyfY21211 ,随机变量)(21221XXY ,则()(A)2121DYDYEYEY ,(B)2121DYDYEYEY ,(C)2121DYDYEYEY ,(D)2121DYDYEYEY ,二、填空题(本题共二、填空题(本题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,满分分,满分 24 分分. 把答案填在题中横线上)把答案填在题中横线上)149曲面)sin()sin(xyyxz 1122在点),(101处的切平面方程为10设)(xf为周期为 4 的可导奇函数,且 2012,),()( xxxf,则 )(7f11微分方程0
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