第7讲 最值问题二.doc

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1、第7讲 最值问题二第七讲最值问题二内容概述各种类型的复杂最值问题，处理时应先考虑引起变化的关键量，通常采用枚举、局部调整和极端分析p 等方法找出最大最小值；利用一笔画，对称等思想分析p 几何问题中的最值问题.有些情况下，既要构造出取得最值得具体实例，又要对此方案的最优性进行论证.典型问题兴趣篇：1用0，1，2，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e.请问：a-b+c-d+e最大可能是多少？答案：222【解析】将a-b+c-d+e整理为（a+c+e）-(b+d)a+c+e要尽可能大，它们的十位数字应该分别为9、8、7，个位数字分别为6、5、4，和最大为255; b+d 要尽可能小，

2、它们的十位数字分别为2、1，个位数字分别为3、O，和为33，所以a+c+e-b-d最大值为255-33=2222将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？答案：15组 1个人或2个人【解析】要使分组最多，那么应该每组人越少越好，最少情形就是第一组1人，第二组2人，以此类推，进行估算，15162 3有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？答案：25场【解析】假设两组人数分别为a和b在两组都进行单循环比赛之后，假如甲红的每个人都再跟乙组的每个人比赛一次，即再比赛ab场，那么11

3、个人中任意两人都比赛过了，共1110552?=场；因此两组内的单循环比赛共有55-a6场，要使这个数最小，则ab应最大，a和b尽量接近，取5和6，结果是55 -56=25场.4我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8=3+5有的数有几种不同的表示方法，例如100=3+97=11+89=17+83.请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？答案：16【解析】讨论小于等于6的数后，知遒恰有两种方法表示的数大于6由于奇数必定拆分成一奇一偶，而质数中只有一个偶数是2；所以所求的数必须为偶数，讨论8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=3+11,16=5+11=3+13满足，所以满足题

4、目最小数为16.5一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？答案：最大100，最小90【解析】方法一：假设这个三位数为abc ，那么三位数除以它的各位数字之和为10000100100100a b c a b c a b c a b c+=+，所以商最大为100，此时a 可以使19中任意整数，b=0,c=010010999999908190811191109999a b c a b a b a a a b c a b c a b a b a +-=+=+ 当a=1时，90811099a a -+最小，是90，因此10010a b c a b c +的商的最小值是90，此时a=1

5、,b=9,c=9.方法二：想象三种不同浓度的溶液，浓度分别是100、10、1，题目相当于从三种溶液中各取出若干升(09中的整数)，使得混合溶液的浓度最大或最小， 要使混合浓度最大，则只选取浓度为100的即可，结果依然是100.要使混合浓度最小；则浓度为100的尽量少取，至少取1；浓度为1的尽量多取，最多取9；此时得到的溶液浓度是1100919910?+?=+，比10要大，因此尽量多加入浓度为10的溶液，能使结果变小；结果是11009109199919?+?+?=+6(1)在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？ (2)从1至9中选取四个不同的数字填入算式+中，使算式的结果小

6、于1这个结果最大是多少？答案：(1)172 (2)7172 【解析】(1)若两分数分母相同，设为a ，则差最小是119a ； 假设两分数的分母不同，设分别为a 、b ；两数差最小是1119872a b =-； 因此差最小是172，例如1118972-=符合条件 (2)设两个分母分别为a 、b ，则结果与1的差最小为1119872a b =-； 因此结果最大是7172，例如17719872+=.7如图7 -1，等腰直角三角形ABC 中，CA=CB =4厘米在其中作一个矩形CDEF，矩形CDEF的面积最大可能是多少？答案：4平方厘米【解析】因为DE=BD，所以CD+DE=CD+DB=4厘米，所以C

7、D=DE时，CDBD最大，为4平方厘米8如图7-2，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？答案：70【解析】这个八边形是由一个长方形减去两个小长方形得来的，由此可知，减去的两个小长方形的面积尽量要小，1、2、3、4是这列数中最小的，由此可得出两个面积最小的长方形：14=4，23=6这个八边形的底边要尽量长，那就是8顶边就是8-1-2=5.现在只剩下一个7和一个6，把它们分配给3和4，那么原长方形的长就是3+7=4+6=10.由此得出此八边形的面积为8l0-4-6=70如图所示.9在44的方格表

8、中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点请问：最多可以将多少个方格染成黑色？答案：4个【解析】将44的方格表分成4个22的小方格表，要使任意两个黑格都没有公共顶点，则每个22的方格衰中只能把一个方格染成黑色，因此最多可以将4个方格染成黑色.10.古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦，他精通数学、物理，聪慧过人有一天，一位将军向他请教一个问题：如图7-3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水?答案：在下图中的C地饮水【解析】如图，假如不在C地，而在河边的其他一点P，则有AP+PB=AP+PDAD=AC+CD=AC+CB

9、，因此在C地走的路线是最短的.拓展篇：1如图7-4所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，请问：这个长方体的体积最大可能是多少？答案：294平方厘米【解析】长方体满足：长+宽+高=804=20厘米，要使体积最大，就应该使三迈长度尽量接近所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为776=294立方厘米2把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大问：这个乘积最大可能是多少？答案：162【解析】14比较大，可以先从较小的数开始尝试，可以发现规律“多拆3，少拆2，不拆1”，所以把14拆成3+3+3+3+2时乘积最大，为342=162.3三个自然数的乘积是100，这三个自然数的和最大是多少？最小是多少？答案：102 14【解析】积一定时，相差越大，和越大，所以和最大是100+1+1=102.最小是当3个数最接近时，为4+5+5=144由1、2、3、4、8、9组成两个三位数，这两个三位数的差最小是多少？答案：14【解析】两个三位数的差要最小，那么首位最好差1，然后大数尽可能小，小数尽可能大，所以本题最小的差是412-398=14.5从1，2，9中选出8个数填入下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果答案：91(8+7)-(23+4-6)，计算结果为131第 5 页 共 5 页