毕达哥拉斯与形数.docx

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1、数学史论文数学史论文课题名称课题名称毕达哥拉斯与形数毕达哥拉斯与形数学学院院理学院理学院专专业业数学与应用数学（数学与应用数学（S S）班班级级数学四班数学四班学生姓名学生姓名任航任航佳 木 斯 大 学 理 学 院 数 学 系佳 木 斯 大 学 理 学 院 数 学 系摘摘要要毕达哥拉斯是古希腊时期著名的数学家、哲学家、天文学家，最早提出万物皆数的观点，他在古希腊数学史、哲学史、天文学史和音乐学史上都占有重要的地位。本文在对毕达哥拉斯其数学哲学思想的形成、发展研究的基础上，进而研究其数学哲学思想及其对后世的影响和思考，以期能为我国目前数学哲学的发展提供经验借鉴。毕达哥拉斯数学哲学思想的提出是对前

2、人智慧哲学的超越，另辟新的“诺亚方舟”。对数学哲学思想内容的介绍，紧紧围绕他的数是万物本原的思想进行理论分析。关键词：关键词：毕达哥拉斯；形数；和谐；数学哲学毕达哥拉斯与形数一、毕达哥拉斯简介毕达哥拉斯，出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛），生于公元前约 572 年，终于公元前约 497 年，享年 80 多岁。他是古希腊著名的数学家、哲学家和天文学家，在古希腊数学史、哲学史和美术史上具有重要地位，尤其他所创造的“万物皆数”的数学哲学思想在古希腊历史上有着深远的影响。毕达哥拉斯一生的学术贡献非常大，对数学的主要贡献有：“1、证明了勾股定理(直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和)。2、将自

3、然数区分为奇数、偶数、素数、完全数等。3、利用几何学的直观，巧妙地定义了三角形数、正方形数、五边形数等。4、发现了无理数根号 2，发现了数学上的黄金分割。对数学哲学的主要贡献有：把抽象的数作为万物的始基，建立了数是万物本原的数学哲学思想1。”二、形数即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数2。三、万物皆数（一）数的本原是“一”毕达哥拉斯万物的本原抽象于科学，抽象于一门具体科学，抽象于数学中的数。从纯数学的角度、从毕达哥拉斯时代数学的发展水平来看，毕达哥拉斯数的范围比较狭窄，仅指自然数和分数（有限循环小数），

4、无理数、负数的概念还没有出现，“负数概念在西方得到承认是近代数学时期的事。”他把数划分为奇数和偶数，包括完全数、过剩数和亏数。毕达哥拉斯的数与我们今天具有抽象意义的数是不同的，他的数不但具有数量的多寡，还有重量、大小等不同形状的几何体。这样看来毕达哥拉斯的数具有两种特点：一是事物的质料因，也就是造就事物所需要的物质材料，二是事物的形式因，也就是造就事物的性质、特点等所需要的精神元素。从几何、从数形结合的角度来看，毕达哥拉斯的数相当于有质量的原子和点，美国的数学史家 M 克莱因认为：“毕达哥拉斯心目中的数就如同我们心目中的原子一样。”古希腊毕达哥拉斯之前常用卵石计数，拉丁文“calculus”含

5、有卵石和计数的意思，卵石是一种计数工具，到了毕达哥拉斯时代还继续沿用。“毕达哥拉斯派继承了上古时代以卵石计数的传统，常用平面上的点来代表数（自然数），他们将这些点排成各种几何图形。借助几何图形来表示的数叫形数。”毕达哥拉斯把 1，3，6，10，15，21，28，这样的数称为“三角形数”，把 1，4，9，16，25，36，49，这样的数称为“正方形数”。总之，毕达哥拉斯天才地把数与几何图形有机结合起来的思想，是后来解析几何发展的萌芽。毕达哥拉斯把数是万物本原的思想深入到一是万物的本原，这个一就是元一，他和纯数学的 1 是有区别的，“元一对于毕达哥拉斯来说是一切数目所从出的一，是绝对的一，没有任何

6、和它相反的东西，因此它既不是奇数也不是偶数。”元一是指宇宙的统一性和整体性，纯数学上的 1 是对元一的分有，是由元一产生的，把数的终极本原规定为元一，把元一比作太阳，当作宇宙的第一制造者、推动者。曹兴对毕达哥拉斯数的本原是一，他是这样认为的：“数的最高规定是一。一是一切数得以确立、产生、发展的单位和尺度，因此一是有限事物的最终根源，一是有限者的真正化身。”毕达哥拉斯数的本原是一，这个一就是元一，是个万能的上帝，毕达哥拉斯有句格言：什么最智慧?数目。宇宙中包含着许多数目，数目中最基本的元素是一，由一可以组成无穷个数目，这里数目中的一应该指纯数学上的一。现在我们来研究毕达哥拉斯这个最具有智慧的数是

7、如何产生万物的。（二）万物由数生成毕达哥拉斯的伟大之处就在于关于世界本原的叙述中，他超越了古希腊神话关于“混沌神”创世的叙述，超越了泰勒斯学派把感性具体事物当作世界的本原，另辟新的诺亚方舟，把世界的本原归功于某种抽象-数。关于数是如何产生万物的问题，毕达哥拉斯关于数产生万物的过程可以大体上分为三个阶段：数的产生过程；几何体的产生过程；物体的产生过程；下面我们对每一个具体过程逐一分析4。（1）数目由一生成古希腊哲学家对数目一非常重视，亚里士多德就曾经指出：“一表示着众多的尺度，数目表示着已经被度量过的多和诸尺度的多（所以很有理由认为，一并不是数目，因为一个尺度不能是多个尺度，一是尺度，是本原。”

8、这段话说明了毕达哥拉斯把一当作万物的本原，一是神秘宇宙的创造者，一是奇数和偶数的复合体，一是使宇宙运动起来的发动机，一具有雌雄的特性，万数皆由一生成，由完满的一和不定的二共同作用产生一切数目，至于如何相互作用，根据目前的记载不得而知。（2）由数目生成几何图形毕达哥拉斯时代继承了卵石计数法，把一颗颗卵石当成一个个点，一和点等同，曹兴指出：“毕达哥拉斯数的本原是一和点。一切皆由一组成，一切皆由点形成。点和一是相通的。任何一个点都是一个一。点和一是不可再分的最小单位。”这说明了点和一是构成物体不可分割的最小单位，但是由点和一不能直接构成物体，还要经过一个中间环节：线、面、体。关于点、线、面、体的生成

9、历来有两种观点，第一种观点认为，点、线、面、体分别由数字 1、2、3、4 生成，“我们可以依据普罗克路斯和其他评注者的方法，把毕达哥拉斯学派在几何学方面的发现归纳为：1，点是由确定位置来界说的元一。2，点可以类比为一元，线为二元，面为三元，体为四元。”这说明 1 生成点，2 个点生成一条最短的线段，不在同一直线上的 3 点确定一个平面（三角形），3 点确定一个平面外加一点就确定一个体（角锥体），即体是由 4 产生的。格思里指出：“杨布利柯在其算术的神学原理中提到，斯彪西波说，1 是点，2 是线，3 是三角形，4 是角锥体，这些对于其所属类别的其他图形而言都是最初的和根本的；格思里认为，斯彪西波

10、的这一讲法极可能来自菲洛劳或阿其泰，而后者则可能来自更早的毕达哥拉斯学派。”格思里的言外之意，斯彪西波的说法线、面、体分别是由数目 2、3、4 产生的，这种观点在毕达哥拉斯学派前期就提出了，很可能是毕达哥拉斯本人的观点。另一种观点认为，由于点的运动形成了线、面、体，点动成线，线动成面，面动成体，从运动的角度来解释线、面、体的形成5。（三）数与事物的关系毕达哥拉斯的数不是纯粹的数，他的数是指事物的几何数和图形数。美国哲学家梯利说：“（毕达哥拉斯）数一定是真正的实在，事物的实体和根基。”毕达哥拉斯的数虽然从具体事物中抽象出来，但它仍然存在于具体事物之中，这和柏拉图的理念和亚里士多德的实体有着本质的区别，理念也好实体也好，它们都是先于具体事物而存在，和具体事物是分离的。毕达哥拉斯认为事物即数，事物摹仿数来刻画自己，数存在于具体事物之中。参考文献参考文献1 曹兴.超越神话古希腊人的哲学智慧M.民族出版社，2005 年.2 罗素.西方哲学史M.何兆武、李约瑟译注,商务印书馆，1963 年.3 黑格尔.哲学史讲演录（第一卷）M.北京：商务印书馆，1983 年.4 恩格斯.自然辨证法M.北京：北京人民出版社，1984 年.5 杨适.古希腊哲学探本（第一卷）M.北京：商务印书馆，2003 年.6 叶秀山.前苏格拉底哲学研究M.北京：北京人民出版社，1982 年.