复数在初等数学问题中的应用.docx

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1、复数在初等数学问题中的应用摘要 复数集是实数集的一种延拓，并且复数原理应用于各个领域. 利用复数的性质来解决一些初等数学问题，解决几个基本问题，例如代数，三角，几何向量等。这样可以从一个方面强化概念，揭示概念的本质，同时灵活把握概念之间的关系，加深理解理顺的条件，以解决实际问题的需要.另一方面有助于激发学生的逆向思维能力，为学生的解题提供另外一种有利的方法.更有助于培养学生的数学技能，促进学生的思维发展，都有着重要的意义2p1.因此本文论述了复数在几何关系、三角问题、解析几何等之间的桥梁以及在构造恰当的复数形式解决数学问题作出了一些探讨.关键词 复数 代数 初等数学 三角问题 解析几何 The

2、 application of complex number in elementary mathematical problemAbstract The complex number set is an extension of the set of real Numbers, and the principle of complex Numbers is applied to all fields. So can reinforcement from the aspects of a concept, reveals the essence of the concept, the rela

3、tionship between the flexible at the same time grasp the concept, deepen the understanding of straightening out conditions, in order to solve the problem of actual needs. On the other hand helps to stimulate students reverse thinking ability, provide another beneficial for students problem solving m

4、ethods. It helps to cultivate the students math skills, promote students thinking development, is of great significance. This article discusses the complex problems in geometric relations, the triangle, parse how few and in constructing a bridge between the plural form of appropriate made some discu

5、ssions to follow in solving math problems.Key words plural algebra elementary mathematics trigonometric problem analytic geometry目 录引言11.预备知识12.复数的几何表示22.1 复数的模22.2 复数的辐角 22.3 复数的表示形式43.复数的几何意义63.1复数绝对值的几何意义63.2共轭复数的几何意义73.3复数加法的几何意义73.4复数减法的几何意义83.5复数乘法的几何意义93.6复数除法的几何意义94.复数的综合应用94.1 运用复数的模构造复数104

6、.2 复数的开方104.3关于求解复数的一元二次方程124.4复平面上两点间的距离144.5积商复数表示旋转144.6和差复数表示平移平行四边形法则、三角形法则154.7运用复数知识求解三角问题164.7.1 证明三角不等式164.7.2 求解角的大小174.7.3利用复数的三角形式化归为相应的三角问题184.7.4利用三角形式求解最值问题194.8运用复数知识求解代数问题204.8.1 求函数的最值204.8.2 利用复数的代数形式化归为代数问题204.8.3 求函数的值域或最值问题214.8.4 证明无理不等式224.9 运用复数知识求解几何问题224.9.1 证明平面几何问题.224.9

7、.2 运用复数处理解析几何问题22结 论23参考文献25致 谢26引 言本文主要介绍了复数在初等数学中的应用。通过查阅参考文献，在阐明复数和复数的意义及其运算的几何意义的基础上，详细说明了复数在初等数学中的应用。利用与复数有关的性质，着重解决代数，三角函数，几何等问题。本文通过许多例子说明了复数在初等数学问题解决中的应用，重点突出了在解决过程中，运用复数及其相关知识后，问题就会变得更加简便、巧妙.1. 预备知识a） 设复数，其中为实数，则称为复数的实部，用符号表示，称为复数的虚部，用符号表示.b） 复数的共轭复数，用符号 表示，并规定， ，. c） 复数绝对值，用符号表示，并规定.d） 若复数

8、，则存在一个有向角，使 则式称为复数的极式，有向角称为辐角，当 时， 称为主辐角，用符号 表示.8p1e） 复数与的和定义如下：f） 复数与的差的定义如下：g） 复数与的积的定义如下：h） 复数与的商的定义如下：2. 复数的几何表示2.1 复数的模这种复数形式与复杂平面上的点一一对应，并将“点”用作“数”的同义词，从而为以几何语言和方法研究复杂函数的问题和将复杂函数应用于实际奠定了基础.向量的长度称为的模或绝对值，记作 2.2 复数的辐角在的情况，以正实轴为始边，以表示的向量为终边的角的弧度数称为的辐角，记，这时，有.辐角的主值可以由反正切 的主值.按下列关系来确定其中，又有（1）的辐角等于与

9、的辐角之和 （2）的辐角等于与的辐角之差例1 已知，求:（1） （2）解：（1）原式为（2）的一个辐角为，的一个辐角为，所以的一个辐角为，所以.例2 已知，求.解：因为，所以所以可设所以有2.3 复数的表示形式6p2根据复数的运算法则可知，两个复数和的加、减法运算和对应向量的加减法运算一致（如图1.2，图1.3） 图1.2 图1.3我们又知道，表示与之间的距离（图1.3），因此由图1.2和图1.3，我们有 (三角不等式)； 图1.4 图1.5一对共轭复数和在复平面内的位置是关于实轴对称的（如图1.5），因而，如果不在负实轴和原点上，还有利用直角坐标与极坐标的关系：， 称为复数的三角表示式.再利

10、用欧拉（Euler）公式：，有复数的指数表示式.例3： 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1）; 2)解： 1），有所以有z的三角表示式为则指数表示为.2），又 故三角表示式为所以其指数表示为例4 设，为两个任意复数，证明： 1）; 2）证：1） 2）因为所以另外，许多平面图形可以用方程式（或不等式）来确定它所表示的平面图形4p5-p6 圆的复数方程： 椭圆的复数方程：若，轨迹不存在.若，轨迹表示线段若，轨迹表示椭圆 双曲线的复数方程为若，轨迹表示双曲线若，轨迹表示两条射线若，轨迹不存在 线段的复数方程例4 求下列方程所表示的曲线：1）；2）；3）4）答：1）复数对应的点轨迹以原点为圆心，

11、以1为半径的圆周2）复数对应的点轨迹以为端点的中垂线3）复数对应的点轨迹以为圆心，1为半径的圆面（不包括边界）4）复数对应的点轨迹以为端点的线段的中点.3. 复数的几何意义23p6-p73.1 复数绝对值的几何意义设复数，则表示点到原点的距离，即，（如图3.1） 图3.1 图3.23.2 共轭复数的几何意义设在复数平面上所对应的点为（1）在复数平面上所对应的点为，则两点对称于实轴（轴）.（2）在复数平面上所对应的点为，则两点对称于虚轴（轴）（3）在复数平面上所对应的点为，则两点对称于原点3.3 复数加法的几何意义在复数平面上所对应的点为在复数平面上所对应的点为，在复数平面上所对应的点为，则：（

12、1） 当三点不共线时，则四边形为一个平行四边形，（如图3.3），则表示平行四边形的对角线的长度.（2） 当三点共线时，则线段与线段的中点会重合（如3.4） 图3.3 图3.43.4 复数减法的几何意义在复数平面上所对应的点为在复数平面上所对应的点为，在复数平面上所对应的点为（1） 当三点不共线时，则四边形为一个平行四边形，（如图3.5）则表示点到原点的距离，即平行四边形，边的长度为边的长度，也就是两点间的距离.（2） 当三点共线时，则线段与线段的中点会重合，（如图3.6） 图3.5 图3.63.5 复数乘法的几何意义在复数平面上所对应的点为在复数平面上所对应的点为，则在复数平面上所对应的点为旋

13、转角时，乘以；当向量顺时针旋转角时，乘以3.6 复数除法的几何意义在复数平面上所对应的点为在复数平面上所对应的点为，在复数平面上所对应的点为4. 复数的综合应用复数的多种复数形式，决定复数的多面性，因此在数学中复数可以作为数学的缩影。通过沟通代数，三角，几何之间的关系，三者就有了复数的联系和统一。但是，教材中对复数的几何意义及其应用进行了分析的较少，下面就复数的几何意义及其应用做出分析：4.1 运用复数的模构造复数例5 求函数的最大值.解：设， 则有，故有.4.2 复数的开方9p10-p111) 若，则，.2) .3) 若非零复数，则z的n次方根有n个，即4) i的乘法法则：，（其中nz）.5

14、) 1的三次方根可以根据复数的性质得出：6) 若设，则三个根为或 具有的性质为：，.7) 共轭复数的性质：；例6 计算（1） （2） （3）解：（1）原式=；（2）原式=（3）原式：例7 解方程解：用公式解原方程，即有于是，即有，所以有.例8 求方程的所有根.解：由，得，于是有取，得，取，得取，得，故方程共有三个根，分别为，.4.3 关于求解复数的一元二次方程a） 对于复数的一元二次方程，求根公式，根与系数关系成立.b） 如果一元二次方程的系数有虚数，则用来判断根的情况，即是实系数方程实根的判别式.c） 实系数一元二次方程若有虚根，则两个虚根互为共轭复数.例9 方程有实根，求实数a的值.解：设

15、，则有由得出 或.将代入，得，可得对应的，.将代入，得，可得对应的，.所以，此时方程两根为3， 或，此时方程两根为-1，.例10 已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.解：因为，解得，所以 . 又，因为，所以，. 因此得方程无实根.例11 已知复数w满足（i为虚数单位），求一个以z为根的实系数一元二次方程.解：因为，所以，所以. 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根， 因为， 所以所求得一元二次方程为.4.4 复平面上两点间的距离设两复数，分别对应复平面上两点，故有. 故复平面上两点之间的距离可以用：来表示例12 1）设复数，在复平面内对应的点分别是，则，两点间的距离？2）

16、设，求的取值范围.解：1）由题意可得，两点间的坐标为、，故，两点间的距离为 2）设，则有， 又因为，即有. 因此有.4.5 积商复数表示旋转8p14-p15由复数积的运算，复数商得运算知，有表示把向量绕逆时针方向旋转角度后再将模伸长为原来的倍的向量所表示的复数；有表示把向量OZ绕顺时针方向旋转角度后再将模缩为原来的分之一的向量所表示的复数 .例13 复数在复平面上对应的向量顺时针旋转一个角，得向量，若对应的复数为，则旋转的最小正角？解：例14 已知复数乘法，i为虚数单位.其几何意义是将复数在复平面内对应的点绕原点逆时针旋转角，求将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标 ？解：设点，设与轴的夹角为，则

17、， 所以，若逆时针旋转得到的点，则，.所以点的坐标为.4.6 和差复数表示平移平行四边形法则、三角形法则10p15-p16.例15 设点所对应的复数分别是和，复数对应点在线段上，复数满足，（1）当固定而变化时，分别求与的对应点在复平面上的轨迹；（2）当同时变化时，分别求，的对应点所形成的曲线族在复平面上的覆盖的面积.解：（1）依题意可设，由此有 ，故的轨迹是以为圆心的单位圆故的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆（2）由复数和的意义知，表示把单位圆向右平移一个单位后，再向上、下平移个单位（正上负下），由于，故所覆盖的区域为两个半圆夹正方形，而由于，故表示圆旋转后模伸长的圆，其所覆盖的区域为夹在与的

18、两圆之间的圆环.4.7 运用复数知识求解三角问题13p16-p174.7.1 证明三角不等式例16 已知，.求证：证明：设，则，所以4.7.2 求解角的大小例17 （1）已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A，B，C满足，设，求的值 解：因为，所以 有因为，所以有；，又，所以， 上述化简得，所以，所以当， 当时，（2）已知为锐角，且，.求的值解：设，由已知条件得，所以因为为锐角，所以4.7.3 利用复数的三角形式化归为相应的三角问题例18 （1）已知复数、满足条件且，求复数的值解：因为 设， 代入，根据复数相等的性质，有：解得 所以有故所求得（3） 设，求.解法1：设，则有化简得：，于是也有

19、.所以有解法2：，所以是一个三角形的三边，根据余弦定理，向量，的夹角满足所以，从而4.7.4 利用三角形式求解最值问题例19 设满足，求的最大值和最小值解：设，由已知的，即有.因为，所以有、又因为，则有.即可知解之得：所以有；.4.8 运用复数知识求解代数问题12p20-p214.8.1 求函数的最值例20 已知，求函数u=f(x，y)=(x3-3xy2-3x-2)+(3x2y-y3-3y)2的最大值.解：设，则所以因为.所以 当且仅当，即 (此时时取等号），的最大值为4.8.2 利用复数的代数形式化归为代数问题例21 已知复数满足条件且，求的取值范围解： 设，则代入题设等式得所以有，消去，得

20、又因为，所以，所以可解得又因为，所以有所以.所以解得所以可得的取值范围为.4.8.3 求函数的值域或最值问题.例22 已知复数满足.求的最大值和最小值解：设，因为.所以满足方程.只需求得.由，则又因为，即所以有当，即时，可得所以当时，即有时所以有4.8.4 证明无理不等式例23 设， ，求证：证明：设，又可知因此原命题得证.4.9 运用复数知识求解几何问题4.9.1 证明平面几何问题 115p22例24 证明：三个复数，成为一个等边三角形的充要条件为解：假若，为等边三角形，则要使向量旋转，则满足，两边同时平方，得：4.9.2 运用复数处理解析几何问题14p22-p23例25 已知正方形ABCD

21、中两个顶点和，求B、D两点的坐标.解:线段AC中点E为（1，-1），所以点B的复数表示为：，点D的复数表示为：，即B、D两点的坐标分别为，.例 4.9.3：设，三点适合条件，.证明：，三点是内接于单位圆的一个正三角形的顶点.解:设 则 ，是方程的三个根.又，所以有又因为，.所以有化简得，所以，是的三个根.又因为，所以，均匀的分布在单位圆上.即命题得证.结 论复数是解决数学问题的主要工具之一，基于复数的特性和几何意义及其综合应用本文大致就从几个方面说明了.首先，通过复数的加减乘除法研究了几何方面的应用；然后从复数在初等数学中的应用阐述了在几何问题上的证明；最后，运用复数的知识进一步探讨用复数方法

22、解决几何问题和三角问题.运用复数的方法证明几何问题具有很强的说服力，此外，它的应用不仅仅限于本文所提到的事例，而且在其他数学方法中发挥不可替代的作用多深入的了解探讨复数方法，可以培养我们解决问题的能力，也可培养我们的思维能力等.参考文献1周阳，金康彪.复几何在平面几何上的应用及教学启示J.白城师范学院学报，2018，32(Z1):62-68.2 赵秀.复数几何意义在初等数学中的应用J.黑龙江科学，2017，8(02):42-43.3 何中立.复数几何意义在解题中的应用J.洛阳师范学院学报，2004(05):139-140.4 刘绛玉，石宁，许景彦.复数的几何意义及其应用J.石家庄职业技术学院学

23、报，2001(04):41-44.5 向剑平.复数几何意义的重要性及其应用J.贵州教育学院学报(自然科学)，2001(02):61-62.6 林金平.复数的几何意义及应用J.宁德师专学报(自然科学版)，1998(01):81-82+85.7 朱时.复数几何意义的一点应用J.数学教学通讯，1982(02):36-38.8 石英.教案复数乘法的几何意义及应用的研究报告J.数学通报，1997(11):20-22.9 何荣峰，张光田.复数zp/z的几何意义及应用J.数学教学研究，1998(02):35-37.10 张琦，周福南.利用复数四则运算的几何意义解有关轨迹问题J.中学数学教学，1986(01):1-3.11 李明，赵洁，郑平.复数在初等数学解题中的应用J.数学教学研究，2014，33(04):65-67.12 李平兰.复数在代数与几何中的应用J.邵阳师范高等专科学校学报，2000(02):70-72.13 蒋和天.复数在三角中的应用J.甘肃教育，1999(03):41.14 张倩，沈林.浅谈数学教学中复数在解析几何中的应用J.企业导报，2012(01):236.15张翔.复数在几何学上的某些应用J.甘肃师范大学学报(自然科学版)，1964(03):73-83.25