第五章刚体优秀课件.ppt

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1、第五章刚体第1页，本讲稿共55页 平动平动当刚体运动时，当刚体运动时，刚体内任意一条固定直线刚体内任意一条固定直线始终保持方向不变。始终保持方向不变。5.1.2 刚体的基本运动形式刚体的基本运动形式平动和转动平动和转动第2页，本讲稿共55页 转动转动 刚体运动时，其上各点都绕同刚体运动时，其上各点都绕同一直线作圆周运动。一直线作圆周运动。第3页，本讲稿共55页 在转动过程中，刚体的转轴始在转动过程中，刚体的转轴始终不动。终不动。5.2 刚体定轴转动的角位移、角速度和角刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度加速度 5.2.1 角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度定轴转动定轴转动 第4

2、页，本讲稿共55页 一般规定，当刚体的转向和右手螺旋转一般规定，当刚体的转向和右手螺旋转向一致时，旋柄前进的方向代表角位移的方向一致时，旋柄前进的方向代表角位移的方向。向。刚体上任意一点到转轴的垂直连线与一过转轴的参考直线之间的夹角 定义为刚体角坐标，刚体在转动过程中，该垂直连线在一定时间间隔内转过的角度定义为这个时间间隔内的角位移，通常用 表示。常用单位为弧度。第5页，本讲稿共55页平均角速度平均角速度角速度的方向与角位移的方向一致，常用单角速度的方向与角位移的方向一致，常用单位为弧度位为弧度/秒。秒。平均角加速度平均角加速度瞬时角速度瞬时角速度瞬时角加速度瞬时角加速度第6页，本讲稿共55页

3、角加速度的方向与角速度的变化方向相同，角加速度的方向与角速度的变化方向相同，常用单位为弧度常用单位为弧度/秒秒2。例 求 时 ,的匀变速转动刚体 的运动规律。第7页，本讲稿共55页 5.2.2 线量与角量的关系线量与角量的关系 角量角量 角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度线量线量 位移、速度和加速度位移、速度和加速度（局部量）（局部量）（整体量）（整体量）o第8页，本讲稿共55页第9页，本讲稿共55页第10页，本讲稿共55页 5.3 刚体的动能刚体的动能 转动惯量转动惯量 5.3.1 刚体的动能刚体的动能 刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量 第第 个质点对转轴的转动惯量个质

4、点对转轴的转动惯量第11页，本讲稿共55页 5.3.2 刚体转动惯量的计算刚体转动惯量的计算 例例1 用长为用长为1m的硬而轻的杆将两个质量的硬而轻的杆将两个质量各为各为5kg的铅球连成哑铃，为计算方便，将两的铅球连成哑铃，为计算方便，将两球视为质点，试确定哑铃的球视为质点，试确定哑铃的:(1)绕通过中心绕通过中心o且垂直于杆的转轴的转动惯量；且垂直于杆的转轴的转动惯量；(2)绕通过一绕通过一球且垂直于杆的转轴的转动惯量。球且垂直于杆的转轴的转动惯量。第12页，本讲稿共55页解：（解：（1）第13页，本讲稿共55页(2)同理，当转轴移至同理，当转轴移至B处，有处，有第14页，本讲稿共55页例例

5、2 一飞轮质量为一飞轮质量为M=200kg，以每分钟以每分钟120转转的角速度绕几何中心轴转动，的角速度绕几何中心轴转动，1）飞轮的质量）飞轮的质量可以看作分布在半径可以看作分布在半径R=0.5m的轮缘上，求飞的轮缘上，求飞轮的动能；轮的动能；2）如果质量是分布在半径）如果质量是分布在半径R=0.5m的圆盘上，结果如何？的圆盘上，结果如何？解：解：刚体的转动动能公式：刚体的转动动能公式：（1）第15页，本讲稿共55页则有则有（2）第16页，本讲稿共55页例3 细杆长为 ，质量为 ，求垂直于杆并过杆中心的轴的转动惯量和垂直于杆并过杆的一端的轴的转动惯量。第17页，本讲稿共55页解：解：中心轴中心

6、轴一端轴一端轴第18页，本讲稿共55页 5.3.3 转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理 dC例 已知长为 质量为 的细杆，垂直于杆并过杆质心的轴的转动惯量为垂直于杆并过杆的一端的轴的垂直于杆并过杆的一端的轴的转动惯量转动惯量第19页，本讲稿共55页 影响刚体转动惯量的因素影响刚体转动惯量的因素 1.刚体的总质量刚体的总质量 2.刚体的质量分布刚体的质量分布 3.刚体转轴的位置刚体转轴的位置 5.4 力矩力矩 力矩的功力矩的功 5.4.1 力矩力矩 刚体的转动状态不仅与所施力的大小有刚体的转动状态不仅与所施力的大小有关，而且与力的作用点的位置及力的作用方关，而且与力的作用点的位置及力的作用

7、方向有关。向有关。单位：单位：kg/m2第20页，本讲稿共55页例例 （a）（b）（c）第21页，本讲稿共55页5.4.2 力矩的功力矩的功.o恒力矩做功等于力矩和角位移的乘积，变力恒力矩做功等于力矩和角位移的乘积，变力矩做功应用不变代变的思想，即矩做功应用不变代变的思想，即第22页，本讲稿共55页 5.5 转动定律转动定律 刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理 5.5.1 转动定律及动能定理转动定律及动能定理牛顿第二定律在切牛顿第二定律在切向上的投影式：向上的投影式：两边同乘 第23页，本讲稿共55页刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度和它所刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度和它所受的合外力矩成正

8、比，和它相对于转轴的转受的合外力矩成正比，和它相对于转轴的转动惯量成反比。动惯量成反比。求和求和转动定律转动定律:考虑到 ，有第24页，本讲稿共55页定轴转动的动能定理：定轴转动的动能定理：5.5.2 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度,它与它与刚体的总质量、质量分布及转轴位置有关。刚体的总质量、质量分布及转轴位置有关。第25页，本讲稿共55页 5.6 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 5.6.1 质点的角动量质点的角动量(1)质点对固定点质点对固定点O的角动量的角动量P m LOr 人们发现，一个质点相对于空间某

9、点的力人们发现，一个质点相对于空间某点的力矩为零时，存在一个物理量不变，该物理量矩为零时，存在一个物理量不变，该物理量定义为质点相对于该空间点的角动量。定义为质点相对于该空间点的角动量。第26页，本讲稿共55页 (2)质点所受的外力对质点所受的外力对O点的合外力矩点的合外力矩质点对圆心的角动量行星在公转轨道上的角动量MOrp第27页，本讲稿共55页角动量随时间的变化率角动量随时间的变化率5.6.2 质点的角动量定理质点的角动量定理根据,有 质点所受的合力矩，等质点所受的合力矩，等于它的角动量对时间的变化率。于它的角动量对时间的变化率。质点的角动量定理质点的角动量定理 第28页，本讲稿共55页或

10、质点所受的合力矩对时间的累积效应，等于质点所受的合力矩对时间的累积效应，等于它的角动量的增量。它的角动量的增量。5.6.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 质点系对惯性系中某一固定点质点系对惯性系中某一固定点O的角动量为的角动量为第29页，本讲稿共55页 质点系所受的合外质点系所受的合外力矩，等于它的角动量对时间的变化率。力矩，等于它的角动量对时间的变化率。质点系的角动量定理进而推广到刚体，角动量定理的形式不变。进而推广到刚体，角动量定理的形式不变。第30页，本讲稿共55页 在刚体转动中 代表刚体的转动运动强度，称为刚体对某一转轴的角动量（动量矩），用 表示，即 5.6.4 刚体的角动量

11、刚体的角动量5.6.5 角动量守恒定律角动量守恒定律由角动量定理当第31页，本讲稿共55页 如果系统所受的合外力矩如果系统所受的合外力矩为零，则该系为零，则该系统的总角动量守恒。统的总角动量守恒。角动量守恒条件是合外力矩为零。角动量守恒条件是合外力矩为零。M外外和和 L 必须是对惯性系中的同一转轴。必须是对惯性系中的同一转轴。若系统所受的外力是中心力，且转轴过若系统所受的外力是中心力，且转轴过力心，有力心，有 系统的角动量守恒。系统的角动量守恒。第32页，本讲稿共55页 例例1 一人坐在一个可绕无摩擦铅直轴转一人坐在一个可绕无摩擦铅直轴转动的转台上，他将双臂水平伸直，并且每只动的转台上，他将双

12、臂水平伸直，并且每只手中各拿手中各拿5kg重的哑铃，起初他以重的哑铃，起初他以弧弧/秒的角秒的角速度转动，之后将两手靠近身躯，人的身体速度转动，之后将两手靠近身躯，人的身体与转台的转动惯量恒为与转台的转动惯量恒为1.6kgm2,设最初两哑设最初两哑铃离转轴的距离各为铃离转轴的距离各为0.8m，最后的距离为，最后的距离为0.2m，试求最后的角速度（胳膊质量忽略不，试求最后的角速度（胳膊质量忽略不计）。计）。第33页，本讲稿共55页解：解：角动量守恒角动量守恒 始：末：第34页，本讲稿共55页 例例2 一根长为一根长为L，质量为，质量为M的均匀直棒，一端挂在水平的均匀直棒，一端挂在水平光滑轴上并静

13、止在竖直位置。光滑轴上并静止在竖直位置。今有一子弹今有一子弹,质量为质量为 m,以水以水平速度平速度vo射入棒的下端。求射入棒的下端。求棒和子弹开始一起运动时的棒和子弹开始一起运动时的角速度及棒的最大偏转角。角速度及棒的最大偏转角。o第35页，本讲稿共55页解解:系统的动量不守恒系统的动量不守恒!角动量守恒角动量守恒!mLvo=mLv+J v=L=3m3m+Mvo L射入后的过程，对于原射入后的过程，对于原系统系统+地球满足机械能地球满足机械能守恒，取子弹射入位置为零势点，有守恒，取子弹射入位置为零势点，有E1=E2第36页，本讲稿共55页第37页，本讲稿共55页CO例3 一匀质细棒长为 l，

14、质量为m，可绕通过其端点O 的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m，它与地面的摩擦系数为。相撞后，物体沿地面滑行一距离 s 而停止。求相撞后棒的质心C离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。第38页，本讲稿共55页 第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与重力外，其余内力与外力都不作功，所以机外力都不作功，所以机械能守恒。取棒在竖直位置时质心所在处为械能守恒。取棒在竖直位置时质心所在处为重力势能零点，用重力势能零点，用 表示棒这时的角速度，表示棒这时的角速度，则

15、则解：解：（1）这个问题可分为三个阶段进行分析。这个问题可分为三个阶段进行分析。第39页，本讲稿共55页 第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过过程程。因因碰碰撞撞时时间间极极短短，产产生生的的冲冲力力极极大大，物物体体所所受受地地面面的的摩摩擦擦力力可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受到到的的对对转转轴轴O的的合合外外力力矩矩为为零零，所所以以，此此系系统统对对轴轴O的的角角动动量量守守恒恒。用用 v表表示示物体碰撞后的速度，则物体碰撞后的速度，则（2）第40页，本讲稿共55页式式中中 可可正正可可负负，是是棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度

16、度。取取正正值值，表表示示碰碰后后棒棒继继续续向向左左摆摆；反反之之，表示棒向右摆。表示棒向右摆。第第三三阶阶段段是是碰碰撞撞后后物物体体的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减减速速直直线线运运动动，加加速速度度由由牛牛顿顿第第二二定定律求得为律求得为由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（3）（4）第41页，本讲稿共55页由上述四式联合求解，即得由上述四式联合求解，即得（5）当当 取负值时棒取负值时棒向右摆向右摆，其条件为，其条件为当当 取正值时棒取正值时棒向左摆向左摆，其条件为，其条件为，亦即l 6 s；第42页，本讲稿共55页棒棒的的质质心心C上上升升的的最最大大高高度度与与

17、第第一一阶阶段段情情况况相似，也可由机械能守恒定律求得：相似，也可由机械能守恒定律求得：（6）把式 代入上式，所求结果为(5)当棒静止则当棒静止则=0，其条件为，其条件为，亦即l=6 s第43页，本讲稿共55页例例4 一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的物物体体，m1m1，物体，物体1向上运动，向上运动，物体物体2向下运动，滑轮以向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，顺时针方向旋转，Mr的指的指向垂直于屏幕向外。向垂直于屏幕向外。T2T1T1T2m2gm1gaa第45页，本讲稿共55页取转轴向内为正方向，可列出下

18、列方程：取转轴向内为正方向，可列出下列方程：式式中中是是滑滑轮轮的的角角加加速速度度，a是是物物体体的的加加速速度度。滑滑轮轮边边缘缘上上的的切切向向加加速速度度和和物物体体的的加加速速度度相相等，即等，即第46页，本讲稿共55页由以上各式可解得由以上各式可解得第47页，本讲稿共55页第48页，本讲稿共55页 本本题题中中的的装装置置叫叫阿阿特特伍伍德德机机，是是一一种种可可用用来来测测量量重重力力加加速速度度g的的简简单单装装置置。因因为为在在已已知知m1、m2、r和和J的的情情况况下下，能能通通过过实实验验测测出出物物体体1和和2的的加加速速度度a，再再通通过过加加速速度度把把g算算出出来

19、来。在在实实验验中中可可使使两两物物体体的的m1和和m2相相近近，从从而而使使它它们们的的加加速速度度a和和速速度度v都都较较小小，这这样样就就能较精确地测出能较精确地测出a来。来。第49页，本讲稿共55页例例5 工工程程上上常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使两两飞飞轮轮以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线上上，A轮轮的的转转动动惯惯量量为为JA=10kg m2，B轮轮的的转转动动惯惯量量为为JB=20kg m2。开开始始时时A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两

20、轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合过程中，两轮的机械能有何变化？合过程中，两轮的机械能有何变化？AACBACB第50页，本讲稿共55页式中式中 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是 解：解：以飞轮以飞轮A、B和啮合器和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守内力矩。系统没有受到其他外力矩，所

21、以系统的角动量守恒。由角动量守恒定律可得恒。由角动量守恒定律可得第51页，本讲稿共55页或共同转速为或共同转速为在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为部分机械能将转化为热量，损失的机械能为以各量的数值代入得以各量的数值代入得第52页，本讲稿共55页 例例6 一一半半径径为为R，质质量量为为m的的匀匀质质圆圆盘盘，平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平桌桌面面上上。设设盘盘与与桌桌面面间间的的摩摩擦擦系系数数为为，令令圆圆盘盘最最初初以以角角速速度度 绕绕通通过过中中心心且且垂垂直直盘盘面面的的轴轴旋旋转转，问问它它

22、经经过过多少时间才停止转动？多少时间才停止转动？rRdre第53页，本讲稿共55页因因m=e R2，代入得，代入得解解：由由于于摩摩擦擦力力不不是是集集中中作作用用于于一一点点，而而是是分分布布在在整整个个圆圆盘盘与与桌桌子子的的接接触触面面上上，力力矩矩的的计计算算要要用用积积分分法法。在在图图中中，设设e为为盘盘的的厚厚度度，把把圆圆盘盘看看成成许许多多半半径径不不 同同 的的同同 心心环环 带带 的的 集集 合合，每每 个个 环环 带带 的的 质质 量量 为为dm=e2 rdr，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r gdm，则有，则有 第54页，本讲稿共55页设圆盘经过时间设圆盘经过时间 t 停止转动，则有停止转动，则有由此求得由此求得根根据据定定轴轴转转动动定定律律，阻阻力力矩矩使使圆圆盘盘减减速速，即即获获得得负负的的角角加速度，有加速度，有第55页，本讲稿共55页