第五章基本图像变换优秀课件.ppt

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1、第五章基本图像变换第五章基本图像变换第1页，本讲稿共85页2/85第五章 基本图像变换v本章实质:频率域变换v重中之重:傅里叶变换第2页，本讲稿共85页3/85第5章 图象变换基础 为了有效和快速地对图象进行处理，常常 需要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图象空间以得到所需的效果。这些转换方法就是本章要着重介绍和讨论的图象变换技术 变换是双向的，或者说需要双向的变换。在图象处理中，一般将从图象空间向其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图象空间的变换称为反变换或逆变换 第3页，本讲稿共85页4/85第5章 图

2、象变换基础5.1可分离和正交图象变换5.2傅里叶变换 5.3沃尔什/哈达玛变换 5.4离散余弦变换5.5Radon变换第4页，本讲稿共85页5/855.1 可分离和正交图象变换v分离变换目的:简化计算,第5页，本讲稿共85页6/855.1 可分离和正交图象变换1-D可分离变换可分离变换正变换反变换 正向变换核反向变换核第6页，本讲稿共85页7/855.1 可分离和正交图象变换2-D可分离变换可分离变换（傅里叶变换是一个例子）反向变换核正向变换核变换核与原始函数及变换后函数无关第7页，本讲稿共85页8/85可分离可分离1个2-D变换分成2个1-D变换对称对称 (h1与h2的函数形式一样)5.1

3、可分离和正交图象变换第8页，本讲稿共85页9/85可分离且对称可分离且对称 图象矩阵对称变换矩阵反变换矩阵变换结果5.1 可分离和正交图象变换反变换反变换完全恢复不完全恢复第9页，本讲稿共85页10/85正交正交考虑变换矩阵：酉矩阵（*代表共轭）：如果A为实矩阵，且：则A为正交矩阵，式(5.1.3)和式(5.1.4)构成正交变换对 5.1 可分离和正交图象变换第10页，本讲稿共85页11/855.2傅里叶变换5.2.1 2-D傅里叶变换 5.2.2 傅里叶变换定理 5.2.3 快速傅里叶变换第11页，本讲稿共85页12/855.2傅里叶变换周期为 的周期函数用一系列三角函数 的和来表示为:这种

4、展开称为谐波分析。其中，为直流分量，为一次谐波（又做基波），而 依次称为二次谐波，三次谐波等等。傅里叶级数（三角级数）傅里叶级数（三角级数）第12页，本讲稿共85页13/855.2 傅里叶变换若函数若函数 以以为为周期的光滑或分段光滑函数，即周期的光滑或分段光滑函数，即为为将将展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数第13页，本讲稿共85页14/855.2傅里叶变换欧拉公式欧拉公式:第14页，本讲稿共85页15/855.2 傅里叶变换+复数形式的傅里叶级数第15页，本讲稿共85页16/855.2 傅里叶变换傅里叶展开的复数形式上式的物理意义为上式的物理意义为:一个周期为一个周期为2l 的函数的函数 可

5、以分解可以分解为频率为为频率为，复振幅为，复振幅为 的复简谐波的叠加的复简谐波的叠加 称为谱点，称为谱点，所有谱点的集合称为谱对于周期函数所有谱点的集合称为谱对于周期函数 而言，谱是离散的而言，谱是离散的第16页，本讲稿共85页17/855.2 傅里叶变换傅里叶变换对(三种):(1)(1)(2)(2)(3)(3)三者之间的关系:第17页，本讲稿共85页18/855.2傅里叶变换傅里叶谱（频谱，幅度）傅里叶相位角傅里叶功率谱第18页，本讲稿共85页19/855.2 傅里叶变换v傅立正反变换对是怎么确立的？假设非周期函数假设非周期函数 是一个周期函数是一个周期函数 的周期的周期 时的极限情况。由此

6、，时的极限情况。由此，的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式在在 时的极限形式就是所要寻找的非周期函数时的极限形式就是所要寻找的非周期函数 的傅里叶展开的傅里叶展开第19页，本讲稿共85页20/855.2傅里叶变换 设不连续的参量设不连续的参量 则傅立叶级数写为：则傅立叶级数写为：傅里叶系数为傅里叶系数为第20页，本讲稿共85页21/855.2傅里叶变换 对于系数对于系数，若，若 有限，则有限，则 对于余弦部分：对于余弦部分：当当，不连续参变量，不连续参变量 变为变为 连续参量，以符号连续参量，以符号 代替对代替对 的求和变为对连续参量的求和变为对连续参量 的积分。的积分。第21页，本讲稿共85

7、页22/855.2傅里叶变换同理可得正弦部分同理可得正弦部分第22页，本讲稿共85页23/855.2傅里叶变换若令若令则傅里叶变换可表示为：第23页，本讲稿共85页24/855.2 傅里叶变换由欧拉公式得：反变换反变换第24页，本讲稿共85页25/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换 1-D正变换对1个连续函数 f(x)等间隔采样第25页，本讲稿共85页26/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换 1-D反变换 变换表达频谱（幅度）相位角第26页，本讲稿共85页27/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换 二维傅里叶变换频谱（幅度）相位角功率谱 第27页，本讲稿共85页28/85

8、5.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换傅里叶频谱图，就是图像梯度的分布图。（实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小 第28页，本讲稿共85页29/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换v频率域由傅立叶变换和频率变量(u,v)定义的空间基本性质（1）变化最慢的频率成分(u=0,v=0)对应一幅图像的平均灰度（2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素（3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素第29页，本讲稿共85页30/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换第30页，本讲稿共85页31/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 0 0、分离性质

9、、分离性质 1次2-D 2次1-D O(N 4)减为O(N 2)第31页，本讲稿共85页32/851 1、平移定理、平移定理 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 第32页，本讲稿共85页33/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理2、旋转定理、旋转定理借助极坐标：表明：表明：对 旋转 对应于将其傅里叶变换 也旋转。反之亦然。第33页，本讲稿共85页34/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理v旋转定理示例旋转定理示例例5.2.3第34页，本讲稿共85页35/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理3、尺度定理(相似定理)u原函数在幅度方面变化导致对其傅里叶变换在幅度方面产

10、生对应的尺度变化。u原函数在空间尺度方面的缩放导致对其傅立叶变换在频域方面的相反缩放。第35页，本讲稿共85页36/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理v尺度定理例5.2.4第36页，本讲稿共85页37/854 4、剪切定理、剪切定理（水平方向）纯剪切 （垂直方向）纯剪切 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 图5.2.5(a)与(b)第37页，本讲稿共85页38/855 5、组合剪切定理、组合剪切定理平移旋转尺度 水平剪切 垂直剪切 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 图5.2.5第38页，本讲稿共85页39/856 6、仿射定理、仿射定理u=(eu dv)/D D和和v=

11、(bu+av)/D D 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 第39页，本讲稿共85页40/857 7、卷积定理、卷积定理 2-D2-D 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 u两函数在空间的卷积与其傅立叶变换在频率域的乘积构成一对变换u两函数在空间的乘积与其傅里叶变换在频率域的卷积构成一对变换第40页，本讲稿共85页41/858 8、相关定理、相关定理互相关：f(x)与g(x)不是同一个函数 自相关：f(x)=g(x)2-D2-D5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 第41页，本讲稿共85页42/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换直接进行一个N N的2-D傅里叶变换需要

12、N4次复数乘法运算和N2(N2 1)次复数加法运算1-D：复数乘法和加法的次数都正比于N2 快速傅里叶变换（FFT）：将复数乘法和加法的次数减少为正比于N log2N 逐次加倍法：复数乘法次数由N2减少为(N log2 N)/2 复数加法次数由N2减少为N log2 N 第42页，本讲稿共85页43/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换 考察一维有限长序列x(n)(0=n=N-1)的傅立叶变换：或记为或记为Wn，Wn-1第43页，本讲稿共85页44/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换计算复杂性：一个频率分量需计算复杂性：一个频率分量需N次乘法次乘法，N-1-1次加法次加法 整

13、个变换需整个变换需N2 2次乘法次乘法，N(N-1)-1)次加法次加法矩阵表示矩阵表示：第44页，本讲稿共85页45/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换结论：系数多数相同，且具有对称性结论：系数多数相同，且具有对称性例：例：N=4最小无重复最小无重复运算运算N=4第45页，本讲稿共85页46/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换N点的点的DFT转化为两个转化为两个求求N/2点的点的DFT 1965 1965年，年，库利库利-图基图基提出把原始提出把原始的的N N点序列点序列依次分解成依次分解成一系列短序一系列短序列，减少乘列，减少乘法运算法运算第46页，本讲稿共85页47/8

14、55.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第47页，本讲稿共85页48/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第48页，本讲稿共85页49/85X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)-1-1-1-11111X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)N/2点点DFTN/2点点DFTX1(0)X1(1)X1(3)X1(2)5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第49页，本讲稿共85页50/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第50页，本讲稿共85页51/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变

15、换第51页，本讲稿共85页52/85完整的蝶形图如下页：完整的蝶形图如下页：5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第52页，本讲稿共85页53/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第53页，本讲稿共85页54/85时间复杂性：Nlog2N注意：输出X(m)是以m从小到大排列，而输入序列x(n)不是以n从小到大排列。采用码位倒序法排序：将自然顺序数转换成二进制数，然后首尾位倒序，再转换成十进制数，那么十进制数就是输入序列中的位置。如：N=8X(3)的位置是：011110(6)5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第54页，本讲稿共85页55/85二维FFT逆逆FFT5.2.3 快速傅

16、里叶变换快速傅里叶变换第55页，本讲稿共85页56/85v傅立叶变换注意的问题 两个缺点：(1)要进行复数运算，计算比较费时 实用中还采用如沃尔什(Walsh)变换等。(2)很多图像的高频项衰减的很快，在频域不清楚。解决方法：5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第56页，本讲稿共85页57/855.3沃尔什/哈达玛变换5.3.1 沃尔什变换 5.3.2 哈达玛变换 5.3.3 关于两种变换的讨论沃尔什和哈达码变换都是可分离和正交变换 第57页，本讲稿共85页58/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换正变换核正变换核N=2nbk(z)：z 的二进制表达中的第 k 位如 n=3对 z=6（11

17、02）有 b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1对 z=2（102）有 b0(z)=?，b1(z)=?，b2(z)=?第58页，本讲稿共85页59/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换N=4N=4和和8 8时的沃尔什变换核时的沃尔什变换核第59页，本讲稿共85页60/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换正变换正变换变换核组成的矩阵是一个对称矩阵 并且其行和列正交（反变换核与 正变换核只差1个常数1/N）反变换核反变换核反变换反变换第60页，本讲稿共85页61/852-D沃尔什变换正反 5.3.1 沃尔什沃尔什变换变换第61页，本讲稿共85页62/852-D沃尔什变换核：可分离且对称 都

18、可分成两步计算,每步计算用1D变换实现5.3.1 沃尔什沃尔什变换变换正变换核反变换核第62页，本讲稿共85页63/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换v沃尔什变换中,正向变换核与反向变换核只依赖于x,y,u,v，而与f(x,y)或W(u,v)的值无关。这些核可看一组基本函数，一旦图像尺寸确定，这些函数也就完全确定。N=4时的二维沃尔什变换图5.3.1第63页，本讲稿共85页64/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换第64页，本讲稿共85页65/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换v离散傅里叶变换是浮点数的运算，因此计算量会比较大，而且浮点数运算产生的误差会比较大；v沃尔什变换矩阵的系数是1或

19、是1，只需要使用加法即可实现，计算复杂度小；v离散傅立叶转换相当于把信号拆解成在不同频率的正弦函数与余弦函数的分量，而使用沃尔什转换相当于把信号拆解成在许多不同震荡频率的方波上，因此，除非所要分析的信号拥有类似方波组合的特性，否则沃尔什转换作频谱分析的效果会比使用离散傅立叶转换分析的效果要差，这是降低运算复杂度所要付出的代价。第65页，本讲稿共85页66/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换沃尔什变换具有某种能量集中。而且原始沃尔什变换具有某种能量集中。而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔什变换可越集中于矩阵的边角上

20、。因此沃尔什变换可以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换快。以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换快。第66页，本讲稿共85页67/85正变换核正变换核bk(z)：z 的二进制表达中的第 k 位指数上的求和以2为模正变换正变换5.3.2 哈达玛哈达玛变换变换N=8时，哈达玛变换核表5.3.2第67页，本讲稿共85页68/85反变换核反变换核反变换核与正变换核只差1个常数1/N反变换反变换用于正变换的算法也可用于反变换5.3.2 哈达玛哈达玛变换变换第68页，本讲稿共85页69/852-D变换核变换核2-D变换对变换对5.3.2 哈达玛哈达玛变换变换第69页，本讲稿共85页70/855.3.2 哈达玛哈

21、达玛变换变换v二维哈达玛变换（正变换和反变换）都可分成两个步骤计算，每个步骤用一个1维变换实现。第70页，本讲稿共85页71/855.3.3 关于两种变换的讨论关于两种变换的讨论v两种变换核里的数值都是1和-1，但是在行列的秩序上两者有所不同。（下页说明）v在绝大多数图像变换应用中，常混合使用沃尔什变换和哈达玛变换，所以被统称为“沃尔什哈达玛”变换，通常用来指两者中的任意一个。第71页，本讲稿共85页72/85 阶（序）阶（序）列中符号变换的次数表5.3.2中8列的序依次为0，7，3，4，1，6，2，5随 u 增加而序也增加 的哈达玛变换核5.3.3 关于两种变换的讨论关于两种变换的讨论对比表

22、5.3.2与表5.3.3第72页，本讲稿共85页73/85N=8 时经过排序的1-D哈达玛变换核的值行和列都满足序单增的条件 5.3.3 关于两种变换的讨论关于两种变换的讨论第73页，本讲稿共85页74/85哈达玛矩阵的迭代方便地获得变换矩阵5.3.3 关于两种变换的讨论关于两种变换的讨论同样适合于哈达玛反变换第74页，本讲稿共85页75/85沃尔什变换和哈达玛变换比较可分离且对称，正反变换核相同行列正交（即各行向量与各列向量的内积为0）沃尔什变换特点有快速算法（类似快速傅里叶变换）哈达玛变换特点有迭代性质5.3.3 关于两种变换的讨论关于两种变换的讨论第75页，本讲稿共85页76/85一种可

23、分离、正交、对称的变换1-D离散余弦变换（DCT）5.4 离散余弦变换第76页，本讲稿共85页77/852-D离散余弦变换（DCT）图5.4.2N=4时2D的DCT基本函数+可分离性和对称性 5.4 离散余弦变换第77页，本讲稿共85页78/855.4 离散余弦变换第78页，本讲稿共85页79/85原始图像原始图像 傅立叶变换傅立叶变换离散余弦变换离散余弦变换 沃尔什变换沃尔什变换5.4 离散余弦变换第79页，本讲稿共85页80/855.4 离散余弦变换v可借助离散傅里叶变换的实部计算来进行（公式5.4.6)v可减少图像分块边界处的间断，在图像压缩中（特别是JPEG标准）中得到广泛应用。v与傅

24、立里变换一样都定义在整个空间，任意变换域点都要用到所有原始数据的信息，被认为是全局基本函数。第80页，本讲稿共85页81/855.5 Radon变换变换vRadon(拉东)变换是投影重建（第9章）的基础。第81页，本讲稿共85页82/855.5 Radon变换变换radon变换大致可以这样理解：一个平面内沿不同的直线（直线与原点的距离为p，方向角为）对f（x，y）做线积分，得到的像F(p,)就是函数f 的Radon变换。第82页，本讲稿共85页83/855.5 Radon变换变换v也就是说，平面（p，）的每个点的像函数值对应了原始函数的某个线积分值。v直观的理解是，假设你的手指被一个很强的平行

25、光源透射，你迎着光源看到的手指图像就是手指的光衰减系数的三维Radon变换在给定方向（两个角坐标）的时候的值，v最简单而直接的应用就是拿来检测图像里面含有的直线成分，因为，任何直线都会导致Randon像在该直线对应（p，）处的极值。第83页，本讲稿共85页84/855.5 Radon变换变换vf(x,y)的2-D傅里叶变换与f(x,y)先进行Radon变换后再进行1-D傅里叶变换得到结果相等。式5.5.3对f(x,y)沿固定角度 的投影的1-D傅里叶变换是f(x,y)的2-D傅里叶变换中的一层，而且这层在傅里叶空间由角度所决定。第84页，本讲稿共85页85/85本章结束本章结束作业：1.深入学习傅里叶变换的特点。2.自学快速离散傅立叶变换的原理。第85页，本讲稿共85页