行列式线性代数教程幻灯片.ppt

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1、行列式线性代数教程第1页，共37页，编辑于2022年，星期二7.1 7.1 行列式行列式主要内容：主要内容：1.1.二阶行列式二阶行列式.2.2.三阶行列式三阶行列式.3.n3.n阶行列式阶行列式.4.4.行列式的性质行列式的性质.5.5.克莱姆法制克莱姆法制.第2页，共37页，编辑于2022年，星期二我们先从解二元线性方程组引入二阶行列我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算考虑二元线性方程组式的概念及计算考虑二元线性方程组 一、一、二阶行列式二阶行列式第3页，共37页，编辑于2022年，星期二如果如果 那么方程组的解为那么方程组的解为 第4页，共37页，编辑于2022年，星期二

2、如果对于方程组的系数如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置相按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表应地排列成一个方形表 引入记号引入记号|那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为 此式的右端称为二阶行列式的展开式此式的右端称为二阶行列式的展开式 aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列称为列第5页，共37页，编辑于2022年，星期二例例1 1 计算下列各行列式计算下列各行列式第6页，共37页，编辑于2022年，星期二类似地，三元线性方程组类似地，三元线性方程组

3、二、二、三阶行列式三阶行列式第7页，共37页，编辑于2022年，星期二的系数所构成的行列式规定为的系数所构成的行列式规定为 此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式第8页，共37页，编辑于2022年，星期二 三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法这种展开法称为对角线展开法 这种展开法称为对角线展开法这种展开法称为对角线展开法第9页，共37页，

4、编辑于2022年，星期二下面介绍三阶行列式的展开式下面介绍三阶行列式的展开式：第10页，共37页，编辑于2022年，星期二其中其中A11、A12、A13分别称为分别称为a11、a12、a13的代数余子式，的代数余子式，第11页，共37页，编辑于2022年，星期二例例2 2 计算下列三阶行列式：计算下列三阶行列式：第12页，共37页，编辑于2022年，星期二第13页，共37页，编辑于2022年，星期二三、三、n n阶行列式阶行列式 一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列可以用二阶行列式来定义三阶

5、行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，式来定义四阶行列式，依此类推，一般地，可以用，依此类推，一般地，可以用n n个个n n-1-1阶行列式来定义阶行列式来定义n n阶行列式，下面给出阶行列式，下面给出n n阶行列式的定阶行列式的定义：义：定义定义 设设n-1阶行列式已经定义，规定阶行列式已经定义，规定n阶行列式阶行列式第14页，共37页，编辑于2022年，星期二其中其中 A A1j1j=(-1)=(-1)1+j1+jM M1j 1j(j=1,2,=1,2,n)这里这里M1j为元素为元素a1j的余子式，即为划掉的余子式，即为划掉A的第的第1行第行第j列后所得的列后所得的n-1阶行列式，阶行

6、列式，A1j称为称为a1j的代数余子式的代数余子式第15页，共37页，编辑于2022年，星期二由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第式的第1行展开行展开第16页，共37页，编辑于2022年，星期二解解 因为因为a12=a13=0 所以由定义所以由定义第17页，共37页，编辑于2022年，星期二例例4 4 计算行列式计算行列式.第18页，共37页，编辑于2022年，星期二解解 由定义，将

7、由定义，将Dn 按第一行展开，得按第一行展开，得第19页，共37页，编辑于2022年，星期二行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和（列）不变的两各行列式的和四、行列式的性质四、行列式的性质性质性质1 1性质性质2 2第20页，共37页，编辑于2022年，星期二 如果把行列式如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个

8、的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数常数k则此行列式的值等于则此行列式的值等于kD也就是说，行列式中某一列（行）所有也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面元素的公因子可以提到行列式记号的外面 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反式与原行列式的绝对值相等，符号相反 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此如果行列式的某两列（或两行

9、）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零行列式的值等于零 “行列式的两列对应元素成比例行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数就是指存在一个常数k，使使ali=kalj(l=1,2n)性质性质3 3性质性质4 4推论推论性质性质5 5第21页，共37页，编辑于2022年，星期二第22页，共37页，编辑于2022年，星期二 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的值相等倍，则所得行列式与原行列式的值相等由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和由于行列式

10、的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：1.以（以（r）代表行，（）代表行，（c）代表列）代表列2.把第把第i 行（或第行（或第i 列）的每一个元素加上第列）的每一个元素加上第j 行（或第行（或第j 列）对应元列）对应元素的素的k倍，记作（倍，记作（ri）+k（rj）或（或（ci）+k（cj）3.互换互换i 行（列）和行（列）和j 行（列），记作（行（列），记作（ri）（rj）或（或（ci）（cj）性质性质6 6第23页，共37页，编辑于2022年，星期二04320-1-110447第24页，共37页，编辑

11、于2022年，星期二00-1600011第25页，共37页，编辑于2022年，星期二第26页，共37页，编辑于2022年，星期二第27页，共37页，编辑于2022年，星期二 行列式行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （i=1,2,n）行列式行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 （i,j=1,2,n,ij）例例按第三行展开计算行列

12、式按第三行展开计算行列式 性质性质7 7推论推论第28页，共37页，编辑于2022年，星期二第29页，共37页，编辑于2022年，星期二设设n元元n个方程组为个方程组为 其系数行列式为其系数行列式为 五、五、克莱姆法则克莱姆法则.第30页，共37页，编辑于2022年，星期二 在系数行列式在系数行列式D 中第中第 j 列的元素依次改换为列的元素依次改换为b1，b2，bn，得，得到的行列式记作到的行列式记作Dj，即：，即：第31页，共37页，编辑于2022年，星期二关于线性方程组（关于线性方程组（1）的解有下述法则：）的解有下述法则：当线性方程组（当线性方程组（1）的系数行列式）的系数行列式D0时，时，该方程组有且只有唯一解：该方程组有且只有唯一解：例例 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 克莱姆法则克莱姆法则第32页，共37页，编辑于2022年，星期二解解 因为因为第33页，共37页，编辑于2022年，星期二经计算还可得到经计算还可得到第34页，共37页，编辑于2022年，星期二第35页，共37页，编辑于2022年，星期二方程组的解为方程组的解为第36页，共37页，编辑于2022年，星期二、行列式的概念、行列式的概念.、行列式的性质、行列式的性质.、行列式的计算、行列式的计算.七、小结七、小结作业作业4、克莱姆法则、克莱姆法则第37页，共37页，编辑于2022年，星期二