灿烂的古希腊数学.ppt

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1、灿烂的古希腊数学现在学习的是第1页，共45页古希腊的地理范围，除了现在的希腊半古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前地。公元前5、6世纪，特别是希、波战争世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的影响。后世有深远的影响。现在学习的是第2页，共

2、45页希腊数学的发展历史可以分为三个时期。希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；纪；第二期是第二期是亚历山大前期，亚历山大前期，从欧几里得起从欧几里得起到公元前到公元前146年，希腊陷于罗马为止；年，希腊陷于罗马为止；第三期是第三期是亚历山大后期，亚历山大后期，是罗马人统治是罗马人统治下的时期，结束于下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯年亚历山大被阿拉伯人占领。人占领。现在学习的是第3页，共45页1.1万物皆数万物皆数米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是

3、米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒泰勒斯斯的故乡，的故乡，泰勒斯泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立扬。以后创立伊奥尼亚伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。源。现在学习的是第4页，共45页当时天文、数学和哲学是不可分的，当时天文、数学和哲学是不可分的，泰泰勒斯勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一同时也研究天文和数学。他曾预

4、测一次日食，促使米太次日食，促使米太(在今黑海、里海之南在今黑海、里海之南)、吕底亚吕底亚(今土耳其西部今土耳其西部)两国停止战争，多数两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前学者认为该次日食发生在公元前585年年5月月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。算出金字塔的高，使法老大为惊讶。现在学习的是第5页，共45页泰勒斯泰勒斯在数学方面的贡献是开始了在数学方面的贡献是开始了命题命题的证明的证明，它标志着人们对客观事物的认识，它标志着人们对客观事物的认识从从感性上升到理性感性上升到理性，这在数学史上是一个，这在数学史上是一

5、个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有还有阿纳克西曼德阿纳克西曼德和和阿纳克西米尼阿纳克西米尼等。他等。他们对后来的们对后来的毕达哥拉斯毕达哥拉斯有很大的影响。有很大的影响。现在学习的是第6页，共45页毕达哥拉斯毕达哥拉斯公元前公元前580年左右生于萨摩斯，年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，

6、但他的学派还继续存在两个世纪之久。派还继续存在两个世纪之久。现在学习的是第7页，共45页毕达哥拉斯学派企图毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现是数。他们以发现勾股定理勾股定理(西方叫做毕达西方叫做毕达哥拉斯定理哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致闻名于世，又由此导致不可通不可通约量约量的发现。的发现。现在学习的是第8页，共45页这个学派还有一个特点，就是将这个学派还有一个特点，就是将算术和几算术和几何何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公

7、式，即勾股定示直角三角形三边长的一种公式，即勾股定理。理。在一個在一個直角直角三角形，斜三角形，斜边边的平方是兩的平方是兩条条直角边的直角边的平方和。這個定理中平方和。這個定理中国国人（周朝的人（周朝的商高商高）和巴比倫人早在）和巴比倫人早在毕毕氏提出前一千年就氏提出前一千年就在使用，但一般人仍將定理在使用，但一般人仍將定理归属归属於於毕达哥拉毕达哥拉斯斯，是因，是因为为他他证证明了明了定理的普遍性定理的普遍性。毕毕氏氏认认为寻为寻找找证证明就是明就是寻寻找找认识认识，而這，而這种认识种认识比任比任何何训练训练所累所累积积的的经验经验都不容都不容置置疑，疑，数学逻辑数学逻辑是真理的仲裁者。是真

8、理的仲裁者。现在学习的是第9页，共45页它的重要意义可以概括为以下几个方面：它的重要意义可以概括为以下几个方面：（1）它的证明是）它的证明是论证数学论证数学的发端；的发端；（2）它是历史上第一个把）它是历史上第一个把数与形数与形联系起来联系起来的定理，即第一个把的定理，即第一个把几何与代数几何与代数联系起来联系起来的定理；的定理；（3）它导致了）它导致了不可公度量不可公度量的发现，由此引的发现，由此引发了发了第一次数学危机第一次数学危机，大大加深了人们对，大大加深了人们对数的理解；数的理解；（4）它是欧式（）它是欧式（欧几里得欧几里得）几何的基础定）几何的基础定理，并有巨大的使用价值。理，并有

9、巨大的使用价值。现在学习的是第10页，共45页毕达哥拉斯又注意到从毕达哥拉斯又注意到从1起连续的奇数和起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。几何有关，他们还发现五种正多面体。公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及雄辩、修辞、哲学及数学数学等知识，于是等知识，于是“智人学派智人学派”应运而生。应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修他们以教授文法、逻辑、数

10、学、天文、修辞、雄辩等科目为业。辞、雄辩等科目为业。现在学习的是第11页，共45页在数学上，他们提出在数学上，他们提出“三大问题三大问题”：三三等分任意角等分任意角；倍立方倍立方，求作一立方体，使，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；其体积是已知立方体的二倍；化圆为方化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有没有刻度的尺刻度的尺)和圆规。和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些而是在尺规的限制下从理论上去

11、解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。过渡所迈出的重要的一步。现在学习的是第12页，共45页这个学派的这个学派的安提丰安提丰提出用提出用“穷竭法穷竭法”去去解决化圆为方问题，这是解决化圆为方问题，这是近代极限理论近代极限理论的的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得加倍，得8、16、32、边形。安提丰深信边形。安提丰深信“最后最后”的多边形与圆的的多边形与圆的“差差”必会必会“穷穷竭竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合。中国的

12、刘徽的割圆术思想不谋而合。现在学习的是第13页，共45页公元前三世纪，公元前三世纪，柏拉图柏拉图在雅典建立学派，在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。形之中。现在学习的是第14页，共45页这个学派培养出不少数学家，如这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯

13、欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了就曾就学于柏拉图，他创立了比例论比例论，是欧，是欧几里得的前驱。柏拉图的学生几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德亚里士多德也也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。逻辑体系之中开辟了道路。现在学习的是第15页，共45页1.2几何学无王者之路几何学无王者之路公元前四世纪以后的希腊数学，逐渐脱公元前四世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段的历史

14、于是进入一个新阶段初等数学初等数学时期时期。这个时期的特点是，这个时期的特点是，数学数学(主要是几何学主要是几何学)已建立起自己的已建立起自己的理论体系理论体系，从，从以实验和观以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题由少数几个原始命题(公理公理)出发，通过逻辑出发，通过逻辑推理得到一系列的定理推理得到一系列的定理。这是希腊数学的。这是希腊数学的基本精神。基本精神。现在学习的是第16页，共45页在这一时期里，初等几何、算术初等代在这一时期里，初等几何、算术初等代数大体己成为独立的科目。和数大体己成为独立的科目。和17世纪出现世纪出现的

15、解析几何学、微积分学相比，这一个时的解析几何学、微积分学相比，这一个时期的研究内容可以用期的研究内容可以用“初等数学初等数学”来概括，来概括，因此叫做初等数学时期。因此叫做初等数学时期。埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的枢纽，又经过托勒密王的加意经营，逐渐枢纽，又经过托勒密王的加意经营，逐渐成为新的希腊文化中心，希腊本土这时已成为新的希腊文化中心，希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及，经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及，以后移植于伊奥尼亚，其次繁盛于意大利以后移植于伊奥尼亚，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地。经过这一番和雅典，最后又回到

16、发源地。经过这一番培植，已达到丰茂成林的境地。培植，已达到丰茂成林的境地。现在学习的是第17页，共45页从公元前四世纪到公元前从公元前四世纪到公元前146年古希腊灭年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的盛时期。这里有巨大的图书馆图书馆和浓厚的和浓厚的学学术空气术空气，各地学者云集在此进行，各地学者云集在此进行教学和研教学和研究究。其中成就最大的是亚历山大前期三大。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家数学家欧几里得、阿基米德欧几里得、阿基米德和和阿波罗尼奥阿波

17、罗尼奥斯斯。现在学习的是第18页，共45页欧几里得的欧几里得的几何原本几何原本是一部划时代是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。的系统之中，才能建成宏伟的

18、大厦。几几何原本何原本体现了这种精神，它对整个体现了这种精神，它对整个数学数学的发展的发展产生深远的影响。产生深远的影响。现在学习的是第19页，共45页数学界的一代宗师数学界的一代宗师欧几里得欧几里得大约生于公元前大约生于公元前325年，他是年，他是古希腊数学家，他的名字与几何学结下了古希腊数学家，他的名字与几何学结下了不解之缘，他因为编著不解之缘，他因为编著几何原本几何原本而闻而闻名于世，但关于他的生平事迹知道的却很名于世，但关于他的生平事迹知道的却很少，他是少，他是亚历山大学派亚历山大学派的奠基人。早年可的奠基人。早年可能受教于柏拉图，应托勒密王的邀请在亚能受教于柏拉图，应托勒密王的邀请在

19、亚历山大授徒，托勒密曾请教欧几里得，问历山大授徒，托勒密曾请教欧几里得，问他是否能把证明搞得稍微简单易懂一些，他是否能把证明搞得稍微简单易懂一些，欧几里得顶撞国王说：欧几里得顶撞国王说：“在几何学中是没在几何学中是没有皇上走的平坦之道的。有皇上走的平坦之道的。”他是一位温良他是一位温良敦厚的教育家。敦厚的教育家。现在学习的是第20页，共45页另外有一次，一个学生刚刚学完了第一另外有一次，一个学生刚刚学完了第一个命题，就问：个命题，就问：“学了几何学之后将能得学了几何学之后将能得到些什么？到些什么？”欧几里得随即叫人给他三个欧几里得随即叫人给他三个钱币，说：钱币，说：“他想在学习中获取实利。他想

20、在学习中获取实利。”足见，欧几里得治学严谨，反对不肯刻苦足见，欧几里得治学严谨，反对不肯刻苦钻研投机取巧的思想作风。钻研投机取巧的思想作风。现在学习的是第21页，共45页在公元前在公元前6世纪，古埃及、巴比伦的几何世纪，古埃及、巴比伦的几何知识传入希腊，和希腊发达的哲学思想，知识传入希腊，和希腊发达的哲学思想，特别是形式逻辑相结合，大大推进了几何特别是形式逻辑相结合，大大推进了几何学的发展。在公元前学的发展。在公元前6世纪到公元前世纪到公元前3世纪世纪期间，希腊人非常想利用逻辑法则把大量期间，希腊人非常想利用逻辑法则把大量的、经验性的、零散的几何知识整理成一的、经验性的、零散的几何知识整理成一

21、个严密完整的系统，到了公元前个严密完整的系统，到了公元前3世纪，已世纪，已经基本形成了经基本形成了“古典几何古典几何”，从而使数学，从而使数学进入了进入了“黄金时代黄金时代”。柏拉图就曾在其学。柏拉图就曾在其学派的大门上书写大型条幅派的大门上书写大型条幅“不懂几何学的不懂几何学的人莫入人莫入”。欧几里得的。欧几里得的几何原本几何原本正是正是在这样一个时期，继承和发扬了前人的研在这样一个时期，继承和发扬了前人的研究成果，取之精华汇集而成的究成果，取之精华汇集而成的现在学习的是第22页，共45页千古佳作千古佳作几何原本几何原本 欧氏几何原本推论了一系列公理、公设，并以此作为全书的起点。共13 卷，

22、目前中学几何教材的绝大部分都是欧氏几何原本的内容。勾股定理在欧氏几何原本中的地位是很突出的，在西方，勾股定理被称作毕达哥拉斯定理，但是追究其发现的时间，在我国和古代的巴比伦、印度都比毕达哥拉斯早几百年，所以我们称它勾股定理或商高定理。现在学习的是第23页，共45页在欧氏在欧氏几何原本几何原本中，勾股定理的证中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明，人们非常赞同这种巧妙的构思，以证明，人们非常赞同这种巧妙的构思，因此目前中学课本中还普遍保留这种方法。因此目前中学课本中还普

23、遍保留这种方法。据说，英国的哲学家霍布斯一次偶然翻阅据说，英国的哲学家霍布斯一次偶然翻阅欧氏的欧氏的几何原本几何原本，看到勾股定理的证，看到勾股定理的证明，根本不相信这样的推论，看过后十分明，根本不相信这样的推论，看过后十分惊讶，情不自禁地喊道：惊讶，情不自禁地喊道：“上帝啊，这不上帝啊，这不可能可能”，于是他就从后往前仔细地阅读了，于是他就从后往前仔细地阅读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终每个命题的证明，直到公理和公设，最终还是被其证明过程的严谨、清晰所折服。还是被其证明过程的严谨、清晰所折服。现在学习的是第24页，共45页欧氏欧氏几何原本几何原本的部分内容与早期智的部分内容与早期智人

24、学派研究三个著名几何作图问题有关，人学派研究三个著名几何作图问题有关，特别是圆内接正多边形的作图方法。欧氏特别是圆内接正多边形的作图方法。欧氏的的几何原本几何原本只把用没有刻度的直尺画只把用没有刻度的直尺画直线，用圆规画圆列为公理，限定了直线，用圆规画圆列为公理，限定了“尺尺规规”作图。于是几何作图就出现了作图。于是几何作图就出现了“可能可能”与与“不可能不可能”的情况。在这里欧几里得的情况。在这里欧几里得只给出了正三、四、五、六、十五边形的只给出了正三、四、五、六、十五边形的作法，加上连续地二等分弧，可以扩展到作法，加上连续地二等分弧，可以扩展到正正2n、32n、52n、152n边形。因此，

25、边形。因此，我们可以想象欧几里得一定还尝试过别的我们可以想象欧几里得一定还尝试过别的正多边形的作图方法，只是没有作出来而正多边形的作图方法，只是没有作出来而已。已。现在学习的是第25页，共45页所以欧氏所以欧氏几何原本几何原本问世后，正多边问世后，正多边形作图引起了人们的极大兴趣。欧氏形作图引起了人们的极大兴趣。欧氏几几何原本何原本中的中的比例论比例论，是全书的最高成就。，是全书的最高成就。在这之前，毕达哥拉斯派也有比例论，但在这之前，毕达哥拉斯派也有比例论，但并不适用于不可公度的量的比，欧几里得并不适用于不可公度的量的比，欧几里得为了摆脱这一困境，在这里叙述了欧道克为了摆脱这一困境，在这里叙

26、述了欧道克索斯的比例论。定义了两个比相等即定义索斯的比例论。定义了两个比相等即定义了比例，适用于一切可公度与不可公度的了比例，适用于一切可公度与不可公度的量，它挽救了毕氏学派的相似形等理论，量，它挽救了毕氏学派的相似形等理论，是非常重要的成就。是非常重要的成就。现在学习的是第26页，共45页据说有一位捷克斯洛伐克的牧师布尔查据说有一位捷克斯洛伐克的牧师布尔查诺，在布拉格度假时，突然间生了病，浑诺，在布拉格度假时，突然间生了病，浑身发冷，疼痛难耐。为了分散注意力便拿身发冷，疼痛难耐。为了分散注意力便拿起了欧氏的起了欧氏的几何原本几何原本，当他阅读到比，当他阅读到比例论时，即被这种高明的处理所震撼

27、，无例论时，即被这种高明的处理所震撼，无比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。事后，比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。事后，每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧氏氏几何原本几何原本的比例论。的比例论。现在学习的是第27页，共45页证明和演绎推理证明和演绎推理，完整的体现了亚里士，完整的体现了亚里士多得的多得的数学逻辑思想数学逻辑思想，成为，成为公理化方法公理化方法建建立演绎体系的最早典范，更是数学逻辑思立演绎体系的最早典范，更是数学逻辑思维训练的最好教材。但是，它在某些方面维训练的最好教材。但是，它在某些方面还存在着逻辑上的缺陷，并曾经引发了数还存在着逻辑上的缺陷，

28、并曾经引发了数学史上著名的学史上著名的“第五公设试证第五公设试证”活动，活动，19世纪初因此而诞生了罗巴切夫斯基几何。世纪初因此而诞生了罗巴切夫斯基几何。罗氏几何的诞生，打破了欧氏几何一统空罗氏几何的诞生，打破了欧氏几何一统空间的观念，促进了人类对几何学广阔的领间的观念，促进了人类对几何学广阔的领域作进一步的探讨。域作进一步的探讨。现在学习的是第28页，共45页随后，展开了大规模的欧氏随后，展开了大规模的欧氏几何原本几何原本公理系统的逻辑修补工作。德国数学家公理系统的逻辑修补工作。德国数学家希尔伯特希尔伯特，用近代的观点集修补之精华，用近代的观点集修补之精华，在在1879年发表了年发表了几何基

29、础几何基础，提出了欧，提出了欧氏几何一个完整的简洁的公理系统，使欧氏几何一个完整的简洁的公理系统，使欧氏几何达到了高度的抽象化、逻辑化、数氏几何达到了高度的抽象化、逻辑化、数学化，把公理化方法推向了现代化，建立学化，把公理化方法推向了现代化，建立起了一种统一的公理体系。这也是欧氏起了一种统一的公理体系。这也是欧氏几何原本几何原本对几何学发展作出的重大贡对几何学发展作出的重大贡献。献。现在学习的是第29页，共45页欧氏欧氏几何原本几何原本一出世就迅速而且彻一出世就迅速而且彻底地取代了在它之前的一切同类型著作，底地取代了在它之前的一切同类型著作，甚至使它们就此消声匿迹。最早的中译本甚至使它们就此消

30、声匿迹。最早的中译本是是1607年（明代万历年（明代万历35年）由意大利传教年）由意大利传教士士利玛窦利玛窦和和徐光启徐光启合译出版的，只译了合译出版的，只译了15卷本的前卷本的前6卷，它是我国第一部数学翻译著卷，它是我国第一部数学翻译著作。取名为作。取名为几何原本几何原本，中文，中文“几何几何”的名称就是从这里开始的。而后的名称就是从这里开始的。而后9卷的引入卷的引入是在两个半世纪后的是在两个半世纪后的1857年由清朝的学者年由清朝的学者李善兰李善兰和英国人和英国人韦列亚力韦列亚力翻译补充的。翻译补充的。现在学习的是第30页，共45页1.3我将撬动地球我将撬动地球“给我一个支点，我将撬动地球

31、。给我一个支点，我将撬动地球。”阿基米德阿基米德与与欧几里得欧几里得同是亚历山大时期同是亚历山大时期的伟大的数学家。他代表了亚历山大时期的伟大的数学家。他代表了亚历山大时期的的最高数学成就最高数学成就，他的许多创造在今天仍，他的许多创造在今天仍然具有重要的科学价值。他怀着把科学的然具有重要的科学价值。他怀着把科学的理论研究和实际应用结合起来的思想，创理论研究和实际应用结合起来的思想，创造了许多机器，这些机器在他的祖国造了许多机器，这些机器在他的祖国叙拉叙拉古古的守卫战中起了很大的作用。阿基米德的守卫战中起了很大的作用。阿基米德的墓碑上刻有他最引为自豪的数学发现的的墓碑上刻有他最引为自豪的数学发

32、现的象征图形象征图形球及其外切圆柱球及其外切圆柱，足见他对，足见他对数学的热爱。数学的热爱。现在学习的是第31页，共45页阿基米德生于叙拉古城（今意大利西西阿基米德生于叙拉古城（今意大利西西里岛），父亲是天文数学家，阿基米德从里岛），父亲是天文数学家，阿基米德从小就受到良好的家庭教育，他小就受到良好的家庭教育，他11岁时到了岁时到了智慧之都智慧之都亚历山大城。在那里追随欧亚历山大城。在那里追随欧几里得的门生学习。阿基米德才智高超，几里得的门生学习。阿基米德才智高超，回到叙拉古以后，就专心于数学研究。这回到叙拉古以后，就专心于数学研究。这些研究使他在力学（静力学，液体力学）些研究使他在力学（静力

33、学，液体力学）和技术方面也有了一些发现。和技术方面也有了一些发现。现在学习的是第32页，共45页阿基米德的数学著作的最大特点是：用阿基米德的数学著作的最大特点是：用严格的数学方法严格的数学方法对对力学和物理学力学和物理学问题进行问题进行详尽的研究。这是详尽的研究。这是数学阐述数学阐述的典范，在一的典范，在一定程度上类似于现代杂志的论文。写得完定程度上类似于现代杂志的论文。写得完整、简练，显示出巨大的创造性、计算技整、简练，显示出巨大的创造性、计算技能和证明的严谨性。能和证明的严谨性。现在学习的是第33页，共45页阿基米德第一个提出阿基米德第一个提出圆周长、圆面积圆周长、圆面积和和扇形面积扇形面

34、积的准确公式。并提出了这些公式的准确公式。并提出了这些公式中的一个常数中的一个常数的近似值。他在这些计算中的近似值。他在这些计算中已经利用了已经利用了穷竭法穷竭法圆可以被它的内接圆可以被它的内接多边形所多边形所“穷竭穷竭”，即两者的面积之差可，即两者的面积之差可以小于任意给定的量。以小于任意给定的量。现在学习的是第34页，共45页他不仅要求出圆周对直径的比的近似值，他不仅要求出圆周对直径的比的近似值，而且还要确定这样所造成的误差的极限。为而且还要确定这样所造成的误差的极限。为此他写了一本份量不多但是非常重要的著作此他写了一本份量不多但是非常重要的著作“圆的量度圆的量度”。圆的周长介于边数相同的

35、内。圆的周长介于边数相同的内接多角形和外切多角形的周长之间。把这个接多角形和外切多角形的周长之间。把这个内接多角形和外切多角形的边数一次又一次内接多角形和外切多角形的边数一次又一次地加上去就能地加上去就能无限制地接近圆周的长度无限制地接近圆周的长度。阿。阿基米德从正三角形开始，极其巧妙地算到了基米德从正三角形开始，极其巧妙地算到了正正96边形，得到所谓阿基米德值边形，得到所谓阿基米德值=22/7，用小数来表示就得到准确度达用小数来表示就得到准确度达0.01的近似值的近似值（3.14）。）。现在学习的是第35页，共45页现在我们绝大多数时候用阿基米德值来现在我们绝大多数时候用阿基米德值来计算圆周

36、长、圆面积和球体积。这个伟大计算圆周长、圆面积和球体积。这个伟大的发现的重要意义是十分明显的。阿基米的发现的重要意义是十分明显的。阿基米德所用的方法是以穷竭法的最简单的形式德所用的方法是以穷竭法的最简单的形式提出来的，我们有充分的理由把这种方法提出来的，我们有充分的理由把这种方法认作是认作是积分计算积分计算现代数学中最重要的现代数学中最重要的方法的先驱。穷竭法是方法的先驱。穷竭法是极限理论极限理论的最初形的最初形式。阿基米德把它作为一种工具，算出了式。阿基米德把它作为一种工具，算出了各种曲线围成的面积和各种曲面围成的体各种曲线围成的面积和各种曲面围成的体积，并且得出的结果与初等微积分课本所积，

37、并且得出的结果与初等微积分课本所用的定积分计算的结果相符。用的定积分计算的结果相符。现在学习的是第36页，共45页阿基米德在阿基米德在“圆的度量圆的度量”中奠定了积分计中奠定了积分计算的基础，而在算的基础，而在“论螺线论螺线”这篇著作中引入这篇著作中引入数学史上第一个足够微小的三角形。它在本数学史上第一个足够微小的三角形。它在本质上扮演着质上扮演着17世纪提出的微分三角形的角色，世纪提出的微分三角形的角色，成为把握微分概念和方法的关键。如果说成为把握微分概念和方法的关键。如果说莱莱布尼兹布尼兹和和牛顿牛顿是现代微积分之父的话，那阿是现代微积分之父的话，那阿基米德就要算是它的基米德就要算是它的“

38、老祖宗老祖宗”了。了。现在学习的是第37页，共45页阿基米德除了是伟大的数学家，还是杰阿基米德除了是伟大的数学家，还是杰出的力学家与军事家。他使用天平，用实出的力学家与军事家。他使用天平，用实验的方法研究机械学。首次使用了验的方法研究机械学。首次使用了“重心重心”概念，他一生发明的实用机械共有概念，他一生发明的实用机械共有40多多种，被誉为种，被誉为“力学之父力学之父”。著名的。著名的“阿基阿基米德原理米德原理”和和“阿基米德螺线阿基米德螺线”等仍然收等仍然收入现行中学物理和数学课本中。入现行中学物理和数学课本中。现在学习的是第38页，共45页我们学过的浮力定律据说是在这样的情我们学过的浮力定

39、律据说是在这样的情况下发现的。况下发现的。希伦王怀疑王冠被首饰匠偷掺了银子，希伦王怀疑王冠被首饰匠偷掺了银子，国王请阿基米德去测定首饰匠刚刚为其做国王请阿基米德去测定首饰匠刚刚为其做好的王冠是纯金的还是掺有银子的混合物，好的王冠是纯金的还是掺有银子的混合物，并且告诫他不得毁坏王冠。起初，阿基米并且告诫他不得毁坏王冠。起初，阿基米德茫然不知所措。直到有一天，当自己泡德茫然不知所措。直到有一天，当自己泡大一满盆洗大一满盆洗澡水里时，溢出水量的体积等澡水里时，溢出水量的体积等于他身体浸入水中的那部分体积。于他身体浸入水中的那部分体积。现在学习的是第39页，共45页就说明王冠是纯金的；假如掺有银子的就

40、说明王冠是纯金的；假如掺有银子的话，王冠的体积就会大一些。他兴奋地从话，王冠的体积就会大一些。他兴奋地从浴盆中跃出，全身赤条条地奔向皇宫，大浴盆中跃出，全身赤条条地奔向皇宫，大喊着：喊着：“我找到了！找到了！我找到了！找到了！”他为此而他为此而发明了发明了浮力原理。浮力原理。这个故事可能会令我们发笑，但阿基米这个故事可能会令我们发笑，但阿基米德那种全神贯注于自己研究的精神却很值德那种全神贯注于自己研究的精神却很值得我们学习得我们学习。现在学习的是第40页，共45页古代的历史学家把阿基米德描写成一位古代的历史学家把阿基米德描写成一位天天才的军事工程师才的军事工程师。据说，在保卫叙拉古反击。据说，

41、在保卫叙拉古反击罗马的围攻中，他运用他提出的罗马的围攻中，他运用他提出的杠杆原理杠杆原理，第一个使用滑轮组，配合其它的简单机械，第一个使用滑轮组，配合其它的简单机械，设计了设计了灵巧的机械装置灵巧的机械装置。他发明了可调整射。他发明了可调整射程且带活动射杆的程且带活动射杆的射石机射石机；可把敌舰从水中；可把敌舰从水中吊起的吊起的简易吊车简易吊车；还制造了；还制造了点火玻璃点火玻璃和和反射反射镜镜，使敌舰着火。正是阿基米德的聪明才智，使敌舰着火。正是阿基米德的聪明才智击溃了强大的罗马军队的一次次进攻，使叙击溃了强大的罗马军队的一次次进攻，使叙拉古城在两年内未被攻陷。拉古城在两年内未被攻陷。现在学

42、习的是第41页，共45页然而一天晚上，罗马人趁叙拉古人庆祝然而一天晚上，罗马人趁叙拉古人庆祝节日时偷袭成功。当时阿基米德正凝视着节日时偷袭成功。当时阿基米德正凝视着一幅几何图。他是那么专心，连罗马人占一幅几何图。他是那么专心，连罗马人占领了城市都不知道。忽然在他面前出现了领了城市都不知道。忽然在他面前出现了一个士兵，要他去见将军，但是阿基米德一个士兵，要他去见将军，但是阿基米德想要把问题证明了再去。于是士兵大怒，想要把问题证明了再去。于是士兵大怒，拔出剑来刺死了他。有些人说，当那个士拔出剑来刺死了他。有些人说，当那个士兵拿着出鞘的剑走过去杀他的时候，阿基兵拿着出鞘的剑走过去杀他的时候，阿基米德

43、恳求他留一点时间给他，免得给世上米德恳求他留一点时间给他，免得给世上留一道尚未证完的问题，但士兵不理会，留一道尚未证完的问题，但士兵不理会，一剑刺死了他。一剑刺死了他。现在学习的是第42页，共45页还有第三种传说，罗马士兵闯入阿基米还有第三种传说，罗马士兵闯入阿基米德家，把画在沙盘上的几何图形踩坏，他德家，把画在沙盘上的几何图形踩坏，他怒斥士兵：怒斥士兵：“不要弄坏我的图！不要弄坏我的图！”士兵拔士兵拔出短剑，杀死了这位旷古绝伦的数学家、出短剑，杀死了这位旷古绝伦的数学家、力学家和机械师。不管怎样阿基米德和他力学家和机械师。不管怎样阿基米德和他的创作永远受到世人的无比尊敬。的创作永远受到世人的

44、无比尊敬。现在学习的是第43页，共45页有人说阿基米德具有极高的天分，另有有人说阿基米德具有极高的天分，另有人说是由于辛勤的劳动，他才得以把自己人说是由于辛勤的劳动，他才得以把自己的发现清楚的表达出来，使每个人不费气的发现清楚的表达出来，使每个人不费气力就很容易弄懂。他常常被人逼着才去洗力就很容易弄懂。他常常被人逼着才去洗澡，擦香膏，可是就在这时候他还要在地澡，擦香膏，可是就在这时候他还要在地上画几何图形。用手指在涂抹了香膏的身上画几何图形。用手指在涂抹了香膏的身上画几何线。后人给阿基米德以极高的评上画几何线。后人给阿基米德以极高的评价，将其与价，将其与牛顿牛顿和和高斯高斯并称为历史上最伟并称

45、为历史上最伟大的三位数学家。无怪乎人们称他是大的三位数学家。无怪乎人们称他是“数数学之神学之神”，这充分反映出后人对他的崇敬。，这充分反映出后人对他的崇敬。现在学习的是第44页，共45页现在看来，古希腊数学家现在看来，古希腊数学家使数学成为一使数学成为一门抽象科学门抽象科学；建立了演绎证明建立了演绎证明；创建了；创建了几几何学、三角学何学、三角学，奠定了，奠定了数论数论基础；萌芽了基础；萌芽了一些一些高等数学思想高等数学思想，如极限等。当然古希，如极限等。当然古希腊数学由于历史局限也存在不足，如重几腊数学由于历史局限也存在不足，如重几何轻代数，认为几何方法是数学证明的惟何轻代数，认为几何方法是数学证明的惟一方法；畏于无理数的存在，不将算术应一方法；畏于无理数的存在，不将算术应用于几何等等。用于几何等等。现在学习的是第45页，共45页