2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程模块复习课第2课时圆锥曲线的概念标准方程与简单几何性质课后篇巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx

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1、1模块复习课模块复习课第 2 课时圆锥曲线的概念、标准方程与简单几何性质课后篇巩固提升巩固提升基础巩固1.已知椭圆?29?2?2=1(n0)与双曲线?24?2?2=1(m0)有相同的焦点,则动点 P(n,m)的轨迹是()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分解析椭圆?29?2?2=1 与双曲线?24?2?2=1 有相同的焦点,9-n2=4+m2,即 m2+n2=5(0n0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点.设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.?24?21

2、2=1B.?212?24=1C.?23?29=1D.?29?23=1解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线 y=?x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点 F作 EFCD 于点 E.由题易知 EF 为梯形 ABCD 的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点 F(c,0)到 y=?x 的距离为|?-0|?2?2=b,所以 b=3,b2=9.因为 e=?=2,c2=a2+b2,所以 a2=3,所以双曲线的方程为?23?29=1.故选 C.答案 C23.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),?=(3,4)(0),?=-4?,若抛物线 y2=ax 经过 A 和

3、 B 两点,则 a 的值为()A.2B.-2C.-4D.4解析A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),?=(3,4)(0),直线 AB 的方程为 y=43(x-1),与 y2=ax 联立可得 y2-34ay-a=0.y1+y2=34a,y1y2=-a,?=-4?,y1=-4y2.由可得 a=4.故选 D.答案 D4.如果过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆?22+y2=1 有公共点,那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是()A.-,-22B.22,?C.-12,12D.-22,22解析设过点 M(-2,0)的直线 l的方程为 y=k(x+2),联立?=?(?2),?22?2=1,得

4、(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0.过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆?22+y2=1 有公共点,=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)0,整理得 k212,解得-22k22,直线 l 的斜率 k 的取值范围是-22,22.故选 D.答案 D5.已知圆 C1:x2+y2=b2与椭圆 C2:?2?2?2?2=1(ab0),若在椭圆 C2上存在一点 P,使得由点 P 所作的圆C1的两条切线互相垂直,则椭圆 C2的离心率的取值范围是()A.22,32B.12,1C.32,1D.22,13解析设 P(m,n),由题意知?2?2=2?2,?2?2?2?2=1,e2m2=b2,又 0|m

5、|a,0m2a2,即?2?2a2,解得22eb0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点,|PF1|=|PF2|12?2,F1PF2=2,则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1解析设 F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,可设|PF2|=t,可得|PF1|=t,即有(+1)t=2a.由F1PF2=2,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,即为(2+1)t2=4c2.由2,可得 e2=?2?1(?1)2.令 m=+1,可得=m-1,即有?2?1(?1)2=?2-2?2?2=21?-122?12.由12

6、2,可得32m3,即131?23,则当 m=2 时,取得最小值12;当 m=32或 m=3 时,取得最大值59.即有12e259,解得22e53.故选 B.答案 B7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线?2?2?2?2=1(a0,b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值为.解析因为双曲线的右焦点 F(c,0)到渐近线 y=?x 的距离为|?0|?2?2=?=b,所以 b=32c.因为 a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,所以 a=12c,e=2.4答案 28.抛物线 y2=-8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是.解析抛物线方程为 y2=-8x,可得

7、 2p=8,?2=2,抛物线的焦点为 F(-2,0),准线为 x=2.设抛物线上点 P(m,n),到焦点 F 的距离等于 6,根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离,即|PF|=-m+2=6,解得 m=-4,n2=8m=32,可得 n=4 2,因此,点 P 的坐标为(-4,4 2).答案(-4,4 2)9.已知双曲线 C:?2?2?2?2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点.若?1?=?,?1?2?=0,则 C 的离心率为.解析如图,由?1?=?,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得

8、 BF2OA,且|BF2|=2|OA|.由?1?2?=0,得 F1BF2B.则 OAF1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故BOF2=AOF1=2OF1B,得BOF2=60.则?=tan60=3.所以 e=?=1?2=1?3=2.答案 210.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点3,12,焦点为 F1(-3,0),F2(3,0),圆 O的直径为 F1F2.(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程;(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P.若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标;直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点.若OAB 的面积为2 67,求

9、直线 l 的方程.5解(1)因为椭圆 C的焦点为 F1(-3,0),F2(3,0),可设椭圆 C的方程为?2?2?2?2=1(ab0).又点3,12在椭圆 C 上,所以3?2?14?2=1,?2-?2=3,解得?2=4,?2=1.因此,椭圆 C 的方程为?24+y2=1.因为圆 O 的直径为 F1F2,所以其方程为 x2+y2=3.(2)设直线 l与圆 O 相切于 P(x0,y0)(x00,y00),则?02?02=3,所以直线 l 的方程为 y=-?0?0(x-x0)+y0,即 y=-?0?0 x+3?0.由?24?2=1,?=-?0?0?3?0,消去 y,得(4?02?02)x2-24x0

10、 x+36-4?02=0.(*)因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4?02?02)(36-4?02)=48?02(?02-2)=0.因为 x0,y00,所以 x0=2,y0=1.因此,点 P 的坐标为(2,1).因为三角形 OAB 的面积为2 67,所以12ABOP=2 67,从而 AB=4 27.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得,x1,2=24?0 48?02(?02-2)2(4?02?02),所以 AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1?02?0248?02(?02-2)(4?02?02)2.因为?02?02=3,所以 AB

11、2=16(?02-2)(?02?1)2=3249,即 2?04-45?02+100=0,解得?02=52(?02=20 舍去),则?02=12,因此 P 的坐标为102,22.6综上,直线 l的方程为 y=-5x+3 2.能力提升1.已知点 A(0,1),抛物线 C:y2=ax(a0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线相交于 M,与其准线相交于点 N,若|FM|MN|=25,则 a=()A.2B.4C.6D.8解析依题意点 F 的坐标为?4,0,设 M 在准线上的射影为 K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,|FM|MN|=25,则|KN|KM|=12,kFN=0-1?4-0=-4?,kFN

12、=-12.4?=2,求得 a=2.故选 A.答案 A2.双曲线 C:?24?22=1 的右焦点为 F,点 P 在 C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.3 24B.3 22C.2 2D.3 2解析由已知可得 a=2,b=2,则 c=?2?2=6,F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又 P 在 C的一条渐近线上,不妨设在渐近线 y=22x 上,yP=22?62=32.SPFO=12|OF|yP|=12?6?32=3 24.故选 A.答案 A73.设 F1,F2为椭圆 C:?236?220=1 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若MF

13、1F2为等腰三角形,则M 的坐标为.解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点 M 的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则?1?2=12|F1F2|y0=4y0.又?1?2=124 82-22=4 15,4y0=4 15,解得 y0=15.又点 M 在椭圆 C上,?0236?(15)220=1,解得 x0=3 或 x0=-3(舍去).点 M 的坐标为(3,15).答案(3,15)4.已知椭圆 M:?2?2?2?2=1(ab0),双曲线 N:?2?2?2?2=1.若双曲线

14、 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为;双曲线 N 的离心率为.解析根据题意可画出下图,其中 BD 和 AC 为双曲线的渐近线,ABF2CDF1是正六边形.由题意可知BOF2=3,故双曲线的渐近线 BD 的方程为 y=?x=3x,故双曲线的离心率e1=?2?2?=?2?(3?)2?=2.设 AB=x,由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=3x+x=2a,2c=2x,故 e2=22?=2?(3?1)?=3-1.答案 3-125.已知椭圆 C:?225?2?2=1(0m0,由题意知 yP0.由已知可得 B(5,0),直线 BP 的

15、方程为 y=-1?(x-5),所以|BP|=yP1?2,|BQ|=1?2.因为|BP|=|BQ|,所以 yP=1,将 yP=1 代入 C 的方程,解得 xP=3 或-3.由直线 BP 的方程得 yQ=2 或 8.所以点 P,Q的坐标分别为 P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线 P1Q1的方程为 y=13x,点 A(-5,0)到直线 P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为12?102?10=52.|P2Q2|=130,直线 P2Q2的方程为 y=79x+103,点 A 到直线 P2Q2的距离为13026,故AP2Q2的面积为12?130

16、26?130=52.综上,APQ 的面积为52.6.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为22,且一个焦点坐标为(2,0).(1)求椭圆 M 的方程;(2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A,B 两点,以线段 OA,OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其中点 P 在椭圆 M上,O 为坐标原点,求点 O 到直线 l 的距离的最小值.解(1)由题意可设椭圆的标准方程为?2?2?2?2=1(ab0),?=22,=2,?2=?2?2,解得 a=2,b=2,椭圆 M 的方程为?24?22=1.9(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,联立y=?,?2?2?2=4,化为(1+

17、2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)0,化为 2+4k2-m20,设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).x0=x1+x2=-4?1?2?2,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=2?1?2?2.点 P在椭圆 M 上,?024?022=1.4?2?2(1?2?2)2?2?2(1?2?2)2=1,化为 2m2=1+2k2,满足0.又点 O到直线 l 的距离 d=|?|1?2=12?21?2=1-12(1?2)1-12=22.当且仅当 k=0 时取等号.当直线 l 无斜率时,由对称性可知:点 P一定在 x轴上,从而点 P 的坐标为(2,0),直线 l 的方程为x=1,点 O 到直线 l 的距离为 1.点 O到直线 l 的距离的最小值为22.