【备战2013】高考数学 6年高考母题精解精析 专题12 概率02 理 .doc

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1、-1-【备战备战 20132013】高考数学高考数学 6 6 年高考母题精解精析年高考母题精解精析 专题专题 1212 概率概率 0202 理理 一、选择题一、选择题:1.(2011(2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 9)9)有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A）15（B）25（C）35（D）45解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有 3 种方法，两位同学个参加一个小组共有933种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为3193点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分

2、析问题、解决问题的能力。4.4.(2011(2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6)6)甲、甲、乙乙两队进行排球决赛现在的情形是甲队两队进行排球决赛现在的情形是甲队只只要再赢一局就要再赢一局就获冠军获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同若两队胜每局的概率相同，则则甲甲队获得队获得冠冠军的概率为军的概率为（）A.A.12B B.35C.C.23D.D.345(2011(2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 7)7)如图，用 K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当 K 正常工-2-作且 A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.

3、已知 K、A1、A2正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576答案：B解析：系统正常工作概率为120.90.8(10.8)0.90.80.80.864C，所以选 B.6(2011(2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 10)10)甲乙两人一起去“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（A）136（B）19（C）536（D）167.(2011(2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 12)12)

4、在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 a a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则mn()（A）415（B）13（C）25（D）238(2011(2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 4)4)如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于A14B13C12D23-3-【答案】C二、填空题二、填空题:1.(2011(2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷

5、理科 15)15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若1(0)12P，则随机变量的数学期望E2.(2011(2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 12)12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为【答案】1316【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是

6、去打篮球;所以小波周末不在家看书的概率为14161316.3.(2011(2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 15)15)如图 4，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE（阴影部分）内”，则（1）AP;（2）ABP.4.(2011(2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 12)12)在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期，从这 30 瓶饮料中任-4-取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保质期的概率为（结果用最简分数表示）答案：28145解析：因为 30

7、 瓶饮料中未过期饮料有 30-3=27 瓶，故其概率为227230281145CPC.5.(2011(2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 13)13)将一枚均匀的硬币投掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为6.(2011(2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 5)5)从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_7(2011(2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 13)13)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_。【答

8、案】358(2011(2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 9)9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E。【答案】29(2011(2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 12)12)随机抽取 9 个同学中，至少有 2 个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到0.001）。【答案】0.985三、解答题三、解答题:1.1.(2011(2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 18)18)（本小题满分（本小题满分 1212 分

9、）分）红队队员甲红队队员甲、乙乙、丙与蓝队队员丙与蓝队队员 A A、B B、C C 进行围棋比赛进行围棋比赛，甲对甲对 A A，乙对乙对 B B，丙对丙对 C C 各一盘各一盘，已已知甲胜知甲胜 A A，乙胜，乙胜 B B，丙胜，丙胜 C C 的概率分别为的概率分别为 0.6,0.5,0.50.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。，假设各盘比赛结果相互独立。-5-（）求红队至少两名队员获胜的概率；）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用）用表示红队队员获胜的总盘数，求表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望的分布列和数学期望E.【解析】（）红队至少两名队员获胜的概率为0.6 0.

10、5 0.5 2 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5=0.55.（）取的可能结果为 0,1,2,3,则(0)P 0.4 0.5 0.5=0.1;(1)P 0.6 0.5 0.5+0.4 0.5 0.5+0.4 0.5 0.5=0.35;(2)P 0.6 0.5 0.5 2 0.4 0.5 0.5=0.4;(3)P 0.6 0.5 0.5=0.15.所以的分布列为0123P0.10.350.40.15数学期望E=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6.2.(2011(2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 19)19)（本小题满分 12 分）某农场计划种植某种新作物，为

11、此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙.（I）假设 n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X，求 X 的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据 x1，x2，xa的样本方差2222111nsxxxxxxn，其中x为样本平均数

12、.-6-即 X 的分布列为X01234P1708351835835170X 的数学期望是：1818810123427035353570E X .3.(2011(2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 20)20)（本小题满分 13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,p pp，假设,p pp互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任

13、务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,q q q，其中,q q q是,p pp的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；（）假定ppp，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。【解析】：（）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是()()()ppp ，所以任务能被完成的概率为-7-()()()ppp =pppp pp pp pp p p（）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为,q q q时，所需派出人员数目X的分布列

14、为X123Pq()qq()()qq 所需派出人员数目X的均值（数字期望）EX是()()()EXqqqqqqqq q ()EXqqq qq，若交换前两人的顺序，则变为()EXqqq qq，由此可见，当qq时，交换前两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。（ii）也可将（）中EXqqq q 改写为()EXqqq ，若交换后两人的顺序则变为()EXqqq ，由此可见，保持第一个人不变，当qq时，-8-交换后两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。组合（i）（ii）可知，当(,)(,)q q qp pp时EX达到最小，即优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值，这一结论也合乎常理。

15、4.(2011(2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 19)19)（本小题满分 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组94,9098,94102,98106,102110,106频数82042228B 配方的频数分布表指标值分组94,9098,94102,98106,102110,106频数41242328（）分别估计用 A 配方，B

16、配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为)102(10294()94(422ttty从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）-9-5.5.(2011(2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 16)16)（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）学校游园活动有这样一个游戏项目学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有甲箱子里装有 3 3 个白球个白球、2 2 个黑球个黑球，乙箱子里装有乙

17、箱子里装有 1 1 个白个白球球、2 2 个黑球个黑球，这些球除颜色外完全相同这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 2 个球个球，若摸若摸出的白球不少于出的白球不少于 2 2 个，则获奖个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在一次游戏中求在一次游戏中，（i i）摸出）摸出 3 3 个白球的概率个白球的概率；（iiii）获奖的概率；）获奖的概率；（）求）求在两次游戏中获奖次数在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望的分布列及数学期望()E X.（）由题意可知X的所有可能取值为 0,1,2,P(X=0)

18、=279(1)10100,P(X=1)=127721(1)101050C,P(X=2)=2749()10100,所以X的分布列是X012P9100215049100X的数学期望()E X=9010021150+492100=75.6(2011(2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 16)16)（本小题满分 12 分）-10-某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料若 4 杯都选对，则月工资定为 35

19、00 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元，否则月工资定为 2100 元，令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数，假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力（1）求 X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望7.(2011(2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 18)18)（本小题满分 12 分）某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至3 件，否则不进货.将频率视为概率.求当天商店不进货的

20、概率；记X为第二天开始营业时该商品视为件数，求X的分布列和数学期望 由题意知，X的可能取值为 2，3.-11-2XP件”“当天销售量为 1P412053XP件”“当天商品销售量为 0P+件”“当天销售量为 2P+件”“当天销售量为 3P43205209201故X的分布列为X23P4143所以X的数学期望为411433412EX.8 8.(2011(2011年高考广东卷理科年高考广东卷理科17)17)（本小题满分（本小题满分1313分）分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取1

21、414件和件和5 5件件，测量产品中微量元素测量产品中微量元素x x，y y的含量的含量（单位单位：毫克毫克）.下表是乙厂的下表是乙厂的5 5件产品的测量数据件产品的测量数据：（1 1）已知甲厂生产的产品共）已知甲厂生产的产品共9898件，求乙厂生产的产品数量；件，求乙厂生产的产品数量；（2 2）当产品中的微量元素当产品中的微量元素x x，y y满足满足175175且且y y7575，该产品为优等品该产品为优等品，用上述样本数据估计乙用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；厂生产的优等品的数量；（3 3）从乙厂抽出的上述从乙厂抽出的上述 5 5 件产品中件产品中，随即抽取随即抽取 2 2 件

22、件，求抽取的求抽取的 2 2 件产品中优等品数件产品中优等品数的分布的分布列及其均值（即数学期望）列及其均值（即数学期望）.（3）的取值为 0，1，2。-12-21123323222555331(0),(1),(2)10510CCCCPPPCCC所以的分布列为012P310610110故3314012.105105E 的均值为9.(2011(2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 20)20)（本小题满分 13 分）如图，A 地到火车站共有两条路径1L和2L，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）102020303040405050601L

23、的频率0.10.20.30.20.22L的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。（）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（）用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（）的选择方案，求 X 的分布列和数学期望。（）A、B 分别表示针对（）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（）知()0.6P A()0.9P B 又由题意知，A，B 独立，(0)P X()()()0.4 0.10.04P ABP A P B(1)()()()()()P XP ABABP A P BP A

24、P B0.4 0.90.6 0.10.42()()()()0.6 0.90.54P XP ABP A P B X 的分布列为X012-13-P0.040.420.540 0.04 1 0.422 0.541.5EX 10.(2011(2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 17)17)（本小题满分 13 分。（）小问 5 分（）小问 8 分.）某市公租房房屋位于 A.B.C 三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任 4 位申请人中:（）若有 2 人申请 A 片区房屋的概率;（）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。-14-（2）设甲，

25、乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,81(0)81 11 15(2)4 42 2161 11 11 15(4)4 42 42 4161 11 13(6)4 42 4161 11(8)4 416PPPPP分布列02468P185165163161165591784822E.12.(2011(2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 18)18)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 03,设各车主购买保险相互独立(I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率；()X

26、 表示该地的 l00 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求的期望。-15-13(2011(2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 17)17)本小题共 13 分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示。（）如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y的分布列和数学期望。（注注：方差2222121nsxxxxxxn，其中x为1x，2x，nx的平均数）-16-同理可得;41)18(YP;41)19(YP.81)21(;41)20(YPYP所

27、以随机变量 Y 的分布列为：Y1718192021P8141414181EY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=1781+1841+1941+2041+2181=19.14(2011(2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 19)19)（本小题满分 13 分）某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，8，其中 X5 为标准 A，X为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

28、（I）已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下所示：1x5678P04ab01且 X1的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性解析：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分 13 分。解：（I）因为16,5 0.4678 0.16,673.2.EXabab 所以即又由 X1的概率分布列得0.40.11,0.5.abab即由673.2,0.3,0.5.0.2.abaabb解得（II）由已知得，样本的频率分布表如下：2X345678f030202010101-17-用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2的概率分布列如下：2X345678P030202010101所以