初中数学竞赛专题选讲《基本对称式》.doc

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1、初中数学竞赛专题选讲基本对称式初中数学竞赛专题选讲基本对称式一、内容提要一、内容提要1.上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质.形如 x+y 和 xy 是两个变量 x,y 的基本对称式.2.含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如 x2+y2,x3+y3,(2x5)(2y5),yx3232，yxxy都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量 x,y 的基本对称式来表示：x2+y2（x+y）22xy，x3+y3（x+y）33xy(x+y)，(2x 5)(2y 5)4xy 10(x+y)+25,yx3232=xyyx3)2（,yxxy=xyxy22=xyxyyx2)(2.

2、3.设 x+y=m,xy=n.则 x2+y2（x+y）22xym22n；x3+y3（x+y）33xy(x+y)=m33mn；x4+y4（x2+y2）22x2y2m44m2n+2n2；x5+y5（x2+y2）(x3+y3)x2y2(x+y)=m55m3n+5mn2；一般地，xn+yn(n 为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：xk+1+yk+1=(xk+yk)(x+y)xy(xk1+yk1)(k 为正整数).4.含 x,y 的对称式，x+y,xy 这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题二、例题例 1.已知 x=21(3+1),y=）（1321求下列代数式的值：x3+x2y+xy

3、2+y3；x2(2y+3)+y2(2x+3).解：含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.先求出x+y=3,xy=21.x3+x2y+xy2+y3（x+y）32xy(x+y)=(3)32321=23；x2(2y+3)+y2(2x+3)2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3（x+y）22xy+2xy(x+y)=3（21232）221336.例 2.解方程组53533yxyx分析：可由x3+y3,x+y 求出 xy，再由基本对称式，求两个变量 x 和 y.解：x3+y3,（x+y）33xy(x+y)把和代入，得355315xy.xy=6.解方程组6

4、5xyyx得32yx或23yx.例 3.化简321420321420.解：设321420 x,321420=y.那么x3+y3=40,xy=32196400=2.x3+y3（x+y）33xy(x+y)，40（x+y）36（xy）.设 x+y=u,得u36u40=0.(u4)(u2+4u+10)=0.u2+4u+10=0没有实数根，u40,u4.x+y=4.即3214203214204.例 4.a 取什么值时，方程 x2ax+a2=0的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为 x1,x2.根据韦达定理，得22121axxaxx22121)(xxxx212214)xxxx（842 aa

5、4)2(2a，当 a=2 时，21xx 有最小值是 2.三、练习三、练习1.已知 xy=a,xy=b.则 x2+y2=_；x3y3=_.2.若 x+y=1,x2+y2=2.则x3+y3=_；x5+y5=_.3.如果x+y=2k,xy=4,3xyyx.则k=_.4.已知 x+x1=4,那么 xx1=_，221xx=.5.若xx1.a,那么 x+x1=_,221xx=.6.已知：a=321,b=321.求：7a2+11ab+7b2；a3+b3a2b23ab+1.7.7.已知xx18，则xx12.（19901990 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）8.8.已知a2+a1=0则 a331a=.(1987(1987 年泉州市初二数学双基赛年泉州市初二数学双基赛)9.已知一元二次方程的两个根的平方和等于 5，两根积是 2，则这个方程可写成为：.（19901990 年泉州市初二数学双基赛）年泉州市初二数学双基赛）10.化简：335252；33725725.练习题参考答案练习题参考答案1.a2+2b,a3+3ab2.2.5,4.753.54.23或23，14，525.a22,a44a2+26.109,367.628.49.x23x2010.1，2