2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价二十四第三章空间向量与立体几何2第2课时空间向量的数量积含解析北师大版选择性必修第一册202106042116.doc

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1、二十四二十四空间向量的数量积空间向量的数量积(15 分钟30 分)1空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则 cos OA，BC等于()A12B22C12D0【解析】选 D.因为OABCOA(OCOB)OAOCOAOB|OA|OC|cos3|OA|OB|cos30，所以OABC，所以 cos OA，BC0.2已知|a a|2，|b b|2，且 b b(a ab b)，则向量 a a 在 b b 方向上的投影数量为()A1B 2C2D22【解析】选 B.设 a 和 b 的夹角为，因为 b(ab)，所以 b(ab)abb22 2 cos 20，所以 cos 22.所以向量 a 在 b

2、 方向上的投影数量为 2cos 2.3已知 a a，b b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|a a3b b|等于_【解析】因为|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 6097，所以|a3b|7.答案：74 已知向量 a a，b b 满足：|a a|2，|b b|2，且 a a 与 2b ba a 互相垂直，则 a a 与 b b 的夹角为_.【解析】因为 a 与 2ba 垂直，所以 a(2ba)0，即 2ab|a|20.所以 2|a|b|cos a，b|a|20，所以 4 2 cos a，b40，所以 cos a，b22，又a，b0，所以 a 与 b 的夹角为4.答案：45

3、如图，已知线段 AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D 与 A 在的同侧，若 ABBCCD2，求 A，D 两点间的距离【解析】因为ADABBCCD，所以|AD|2(ABBCCD)2|AB|2|BC|2|CD|22ABBC2ABCD2BCCD122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，所以|AD|2 2，即 A，D 两点间的距离为 2 2.(30 分钟60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1(2021青岛高二检测)已知|a a|2，|b b|3，a a，b b60，则|2a a3b b|等于()A 97B97C 61D61【解析】选 C.|2a3b

4、|24a29b212ab449912|a|b|cos 609712231261.所以|2a3b|61.2设向量 a a，b b 满足|a ab b|10，|a ab b|6，则 a ab b 等于()A1B2C3D5【解析】选 A.|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左、右两边分别相减得 4ab4，所以 ab1.3(2021吉林高二检测)已知|a a|6，|b b|3，a ab b12，则向量 a a 在 b b 方向上的投影数量为()A4B4C2D2【解析】选 B.由题意得 cos a，bab|a|b|126323，所以向量 a 在 b 方

5、向上的投影数量为|a|cos a，b6234.4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：(1AAuuuu rADAB)23AB2；1A Cuuur(11A Buuuu r1A Auuur)0；1ADuuur与1A Buuur的夹角为60.其中正确命题的个数是()A1B2C3D0【解析】选 B.如图所示由(1AAuuuu rADAB)221AAuuuu rAD2AB22(1AAuuuu rAD1AAuuuu rABADAB)3AB2，知正确；由1A Cuuur(11A Buuuu r1A Auuur)1A Cuuur(11A Buuuu r1AAuuuu r)1A Cuuur1ABuu

6、ur0，知正确；1ADuuur与1A Buuur的夹角为 120，故不正确二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0分)5设 a a，b b，c c 是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是()A(a ab b)c c(c ca a)b b0 0B|a|a|b|b|a|ab|b|C(b ba a)c c(c ca a)b b 一定不与 c c 垂直D(3a3a2b2b)(3a3a2b2b)9|a|9|a|2 24|b|4|b|2 2【解析】选 BD.根据向量数量积的定义及性质，可知 a ab b 和 c ca a

7、 是实数，而 c c 与 b b 不共线，故(a ab b)c c 与(c ca a)b b 不一定相等，故 A 错误；因为(b ba a)c c(c ca a)b bc c(b ba a)c c2 2(c ca a)(b bc c)，所以当 a ab b，且 a ac c 或 b bc c 时，(b ba a)c c(c ca a)b bc c0 0，即(b ba a)c c(c ca a)b b 与 c c 垂直，故 C 错误；易知 BD 正确6在长方体 ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积能为 0 的有()AAD11B Cuuu rB1BDuuurACCAB1ADuuurD1BD

8、uuurBC【解析】选 ABC.对于选项 A，当四边形 ADD1A1为正方形时，可得 AD1A1D，而 A1DB1C，所以 AD1B1C，此时有1ADuuur1B Cuuu r0；对于选项 B，当四边形 ABCD 为正方形时，易得 ACBD，可得 AC平面 BB1D1D，故有 ACBD1，此时1BDuuurAC0；对于选项 C，由长方体的性质可得 AB平面 ADD1A1，所以 ABAD1，所以AB1ADuuur0.对于选项 D，由于1BDuuur与BC不可能垂直，所以1BDuuurBC不可能为 0.三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7 如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是 B

9、C 的中点，则AECD_AE BC.(填“”)【解题指南】判断数量积的符号，主要是判断向量的夹角的大小，也可以用已知长度和夹角的向量表示要求的数量积，获得其符号【解析】由题AECD(ABBE)CDAB(BDBC)12BCCD|AB|BD|cos 120|AB|BC|cos 12012|BC|CD|cos 1200，所以AECDAEBC.答案：8 已知|a a|2，|b b|10，a a，b b 120，则向量 b b 在向量 a a 方向上的投影数量是_，向量 a a 在向量 b b 方向上的投影数量是_.【解析】根据向量投影的定义，向量 b 在向量 a 方向上的投影数量是|b|cosa，b

10、10cos1205；向量 a 在向量 b 方向上的投影数量是|a|cos a，b2cos 1201.答案：51四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9(2021延安高二检测)已知向量 a a，b b 满足|a a|2，|b b|1，|a a2b b|a ab b|.(1)求 a a 在 b b 方向上的投影数量；(2)求 a a 与 a a2b b 夹角的余弦值【解析】(1)由|a a2b b|a ab b|得(a a2b b)2(a ab b)2，即 a a24a ab b4b b2a a22a ab bb b2，所以 6a ab b3b b2，所以 a ab b12，设 a a 和

11、b b 的夹角为，则 a a 在 b b 方向上的投影数量为|a a|cos a ab b|b b|12.(2)设 a a 与 a a2b b 夹角为，cos a a(a a2b b)|a a|a a2b b|a a22a ab b|a a|a a24a ab b4b b2412 424104.10如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，M，N 分别是 A1B，B1C1上的点，且 BM2A1M，C1N2B1N.设ABa a，ACb b，1AAuuuu rc c.(1)试用 a a，b b，c c 表示向量MN；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求 MN 的长【解析】(1)

12、MN1MAuuuu r11A Buuuu r1B Nuuur131BAuuurAB1311B Cuuuu r13(c ca a)a a13(b ba a)13a a13b b13c c.(2)因为(a ab bc c)2a a2b b2c c22a ab b2b bc c2a ac c111021112211125，所以|a ab bc c|5，所以|MN|13|a ab bc c|53，即 MN53.1已知空间向量 a a，b b，c c 满足 a ab bc c0，|a a|3，|b b|1，|c c|4，则 a ab bb bc cc ca a的值为_.【解析】因为 abc0，所以(ab

13、c)20，所以 a2b2c22(abbcca)0，所以 abbcca321242213.答案：132如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为 1，求证：AB1BC1；(2)设 AB1与 BC1的夹角为3，求侧棱的长【解析】(1)1ABuuurAB1BBuuu r，1BCuuu r1BBuuu rBC.因为 BB1平面 ABC，所以1BBuuu rAB0，1BBuuu rBC0.又ABC 为正三角形，所以AB，BCBA，BC323.因为1ABuuur1BCuuu r(AB1BBuuu r)(1BBuuu rBC)AB1BBuuu rABBC1BBuuu r21BBuuu rBC|AB|BC|cos AB，BC1BBuuu r2110，所以 AB1BC1.(2)结合(1)知1ABuuur1BCuuu r|AB|BC|cos AB，BC1BBuuu r21BBuuu r21.又|AB1|21(ABBB)uuu r212BBuuu r|1BCuuu r|，所以 cos 1ABuuur，1BCuuu r2121BB12BBuuu ruuu r12，所以|1BBuuu r|2，即侧棱长为 2.