2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价二十四第二章平面解析几何2.5.2.1椭圆的几何性质含解析新人教B版选择性必修第一册202106042115.doc

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1、二十四二十四椭圆的几何性质椭圆的几何性质(15 分钟30 分)1已知椭圆 C：16x24y21，则下列结论正确的是()A长轴长为12B焦距为34C短轴长为14D离心率为32【解析】选 D.椭圆 C：16x24y21，化为标准形式为x2116y2141，可得 a12，b14，则 c1411634，可得离心率为 eca341232.2若焦点在 x 轴上的椭圆x22y2m1 的离心率为12，则 m 等于()A 3B32C83D23【解析】选 B.因为 a22，b2m，eca1b2a21m212，所以 m32.3设 F1，F2是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P 为直线 x3a2上

2、一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为()A12B23C34D45【解析】选 C.如图，F2PF1是底角为 30的等腰三角形|PF2|F2F1|232ac2ceca34.【补偿训练】某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为 100 km，远月点与月球表面距离为 400 km.已知月球的直径约为 3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为()A125B340C18D35【解析】选 B.如图(示意图)：F 为月球的球心，月球半径约为123 4761 738(km).依题意得|AF|1001 7381 838，|BF|4001 73

3、82 138.所以 2a1 8382 1383 976，解得 a1 988.由 ac2 138 得 c2 1381 988150，所以椭圆的离心率 eca1501 988340.4(2020盘锦高二检测)已知 F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 与圆(xc3)2y2b29(其中 c 为椭圆的半焦距)相切于点 Q，且PQ2QF，则椭圆 C的离心率等于()A53B23C22D12【解析】选 A.如图所示，设椭圆的左焦点为 F1，连接 PF1，设圆心为 C，则圆心坐标为c3，0，半径为 rb3，所以|F1F|3|FC|，因为 PQ2QF，所以 P

4、F1QC，|PF1|b，所以|PF|2ab，因为线段 PF 与圆相切于点 Q，所以 CQPF，所以 PF1PF，所以 b2(2ab)24c2，所以 b2(2ab)24(a2b2)，所以 a32b，则ba23，所以 eca1b2a253.5椭圆 C：x24y21 的左右焦点分别为 F1，F2，点 M 为其上的动点，当F1MF2为钝角时，求点 M 的纵坐标的取值范围【解析】设 M(x，y)，焦点 F1(3，0)，F2(3，0).因为F1MF2为钝角，所以 cos F1MF2|MF1|2|MF2|2|F1F2|22|MF1|MF2|0，即|MF1|2|MF2|2|F1F2|2(x 3)2y2(x 3

5、)2y212.整理得 x2y233或 y1)的离心率为32，则其焦距为()A 3B2 3C 5D2 5【解析】选 B.根据题意得 ec2a2a2b2a2a212a232，解得 a24，因此 ca21 3，所以焦距为 2 3.2方程x2ka2y2kb21(ab0，k0 且 k1)与方程x2a2y2b21(ab0)表示的椭圆，那么它们()A有相同的离心率B有共同的焦点C有等长的短轴、长轴D有相同的顶点【解析】选 A.对于椭圆x2ka2y2kb21(ab0，k0 且 k1)，a ka2 k a，b kb2 k b，c ka2kb2 k(a2b2)，则椭圆x2ka2y2kb21 的离心率为 ecak(

6、a2b2)kaa2b2a，焦点坐标为(k(a2b2)，0)，短轴长为 2 k b，长轴长为 2 k a，顶点坐标为(ka，0)和(0，kb)；对于椭圆x2a2y2b21(ab0)，离心率为 ecaa2b2a，焦点坐标为(a2b2，0)，短轴长为 2b，长轴长为 2a，顶点坐标为(a，0)和(0，b).因此，两椭圆有相同的离心率3 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右顶点是圆 x2y24x30 的圆心，其离心率为32，则椭圆 C 的方程为()Ax24y21Bx23y21Cx22y21Dx24y231【解析】选 A.由圆的方程知圆心为(2，0)，所以 a2，又椭圆的离心率为 eca32，

7、所以 c 3，b a2c21，所以椭圆 C 的方程为x24y21.4(2020盘锦高二检测)若点 O 和点 F 分别为椭圆x22y21 的中心和右焦点，P 为椭圆上任意一点，则OPFP的最小值为()A14B13C12D23【解析】选 C.设点 P 的坐标为(x，y)，则 y21x22，且有 2 x 2，F(1，0)，FP(x1，y)，OPFPx2xy2x2x112x212x2x112(x1)212，因为2 x 2，所以当 x1 时，OPFP取得最小值12.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5(2020南京高二检测)在平面直

8、角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)上存在点 P，使得 PF13PF2，其中 F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为()A14B12C3 5 6D34【解析】选 BD.设椭圆的焦距为 2c(c0)，由椭圆的定义可得PF13PF2PF1PF22a，解得 PF13a2，PF2a2，由题意可得a2ac3a2ac，解得ca12，又 0ca1，所以12cab0)的焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半径作圆，过点a2c，0作圆的两切线互相垂直，则离心率 e_.【解析】如图，切线 PA，PB 互相垂直，半径 OA 垂直于 PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故a2c 2

9、 a，解得 eca22.答案：228设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A.在 x 轴负半轴上有一点 B，满足11 2BFFF ，且AB2AF，则椭圆的离心率为_【解析】由题意，根据11 2BFFF ，可知点 B 的坐标为(3c，0)，因为 A(0，b)，F2(c，0)，所以AB(3c，b)，2AF(c，b)，所以AB2AF3c2b23c2a2c2a24c20，解得c2a214，即 eca12.答案：12四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围(2)求

10、证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关【解析】(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，则 mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mn cos 60(mn)23mn4a23mn4a23mn224a23a2a2(当且仅当 mn 时取等号).所以c2a214，即 e12.又 0eb0)的离心率 e12，右焦点为 F(c，0)，方程 ax2bxc0 的两个实根 x1，x2，则点 P(x1，x2)()A必在圆 x2y22 内B必在圆 x2y22 上C必在圆 x2y22 外D以上三种情况都有可能【解析】选 A.因为 x1，x2是方程 ax2bxc0

11、 的两个实根，所以 x1x2ba，x1x2ca12.所以 x21x22(x1x2)22x1x2b2a21，因为 ab，所以b2a21，所以b2a212，故点 P(x1，x2)在圆 x2y22 内2已知定点 A(a，0)，其中 0a3，它到椭圆x29y241 上的点的距离的最小值为 1，求 a的值【解析】设椭圆上任一点为 P(x，y)(3x3)，则|PA|2(xa)2y2(xa)219(364x2)59x95a2445a2，当 0a53时，有 095a3.所以当 x95a 时，(|PA|2)min445a21，解得 a15253(舍)；当53a3 时，有 395a275，当且仅当 x3 时，(|PA|2)mina26a91，解得 a2 或 a4(舍)，综上可得 a2.