2021_2022学年新教材高中数学第5章函数应用测评含解析北师大版必修第一册20210604249.docx

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1、第五章测评第五章测评(时间:120 分钟满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数 f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点,则方程 f(x)=0 的实数解的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:因为函数 f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点,所以函数 f(x)有 3 个零点,即方程 f(x)=0 有 3 个实数解.答案:D2.函数 y=x 的零点是()A.0B.(0,0)C.(1,0)D.1解析:函数 y=x 的零点是其图象与 x 轴交点的横坐标,为 0,它是一个实数,而不是点,故选 A.答

2、案:A3.函数 f(x)=x3-12?-2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,-4)解析:因为函数 f(x)=x3-12?-2在 R 上为增函数,f(1)=13-121-2=1-2=-10,所以零点所在的区间为(1,2).答案:B4.函数 f(x)的图象如图所示,则能用二分法求出的函数 f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析:能用二分法求出的零点,必须满足零点左右两侧的函数值异号,由题图可知,满足条件的零点只有 3 个.答案:C5.若 f(x)是一个一元二次函数,且满足 f(2+x)=f(2-x),该函数有两个零点 x1,x2,则 x1+x2

3、=()A.0B.2C.4D.无法判断解析:由 f(2+x)=f(2-x)知 f(x)的图象关于直线 x=2 对称.所以 x1+x2=4.答案:C6.夏季高山温度从山脚起每升高 100 m,降低 0.7,已知山顶的温度是 14.1,山脚的温度是 26,则山的相对高度为()A.1 750 mB.1 730 mC.1 700 mD.1 680 m解析:设从山脚起升高 x百米时,温度为 y,根据题意得 y=26-0.7x,山顶温度是 14.1,代入得14.1=26-0.7x,得 x=17(百米),山的相对高度是 1700m.答案:C7.下表是某次测量中两个变量 x,y 的一组数据,若将 y 表示为关于

4、 x的函数,则最可能的函数模型是()x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函数模型 B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型解析:对于 A,由于 x 均匀增加 1,而 y 值不是均匀递增,故不是一次函数模型;对于 B,由于该函数是增函数,故不是二次函数模型;对于 C,由于指数函数 y=ax过点(0,1),故不是指数函数模型,故选 D.答案:D8.2019 年 1 月 1 日起我国实施了个人所得税的新政策,其政策的主要内容包括:(1)个税起征点为 5000 元;(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除;(3)专项

5、附加扣除包括:赡养老人费用,子女教育费用,继续教育费用,大病医疗费用等,其中前两项的扣除标准为:赡养老人费用:每月扣除 2 000元,子女教育费用:每个子女每月扣除 1 000 元,新的个税政策的税率表部分内容如下:级数一级二级三级每月应纳税所得额 x 元(含税)x3 0003 000 x12 00012 000 x25 000税率31020现有李某月收入为 18 000 元,膝下有一名子女在读高三,需赡养老人,除此之外无其他专项附加扣除,则他该月应交纳的个税金额为()A.1 800B.1 000C.790D.560解析:由题意可得李某该月应纳税所得额(含税)=18000-5000-2000-

6、1000=10000(元),所以依据新的个税政策的税率,他该月应交纳的个税金额为 30003%+(10000-3000)10%=790(元).答案:C9.某同学求函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:f(2)-1.306 9f(3)1.098 6f(2.5)-0.084f(2.75)0.512f(2.625)0.215f(2.562 5)0.066则方程 ln x+2x-6=0 的近似解(精确度为 0.1)可取为()A.2.52B.2.625C.2.66D.2.75解析:由表格可知,方程 f(x)=lnx+2x-6=0 的近似解在区间(2.5,2.56

7、25),(2.5,2.625),(2.5,2.75)内,又|2.5625-2.5|=0.0625 0,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:f(x)=?2+?+?,?0,2,?0,f(0)=c,f(-4)=16-4b+c,f(-2)=4-2b+c,又 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,16-4?+?=?,4-2?+?=-2,解得 b=4,c=2,f(x)=?2+4?+2,?0,2,?0,求方程 f(x)=x 的解的个数,即求函数 f(x)与 y=x 两图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中,画出函数 f

8、(x)与 y=x 的图象,如图所示.由图可知,直线 y=x 与曲线 y=f(x)有 3 个交点,关于 x 的方程 f(x)=x 有 3 个解.答案:C12.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 xa,b上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在区间a,b上是“关联函数”,a,b称为“关联区间”,若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m在区间0,3上是“关联函数”,则实数 m 的取值范围是()A.-94,+B.-94,-2C.(-,-2D.-1,0解析:f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在区间0,3上是“关

9、联函数”,故函数 y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在区间0,3上有两个不同的零点,故有?(0)0,?(3)0,?52 0即4-?0,-2-?0,254-252+4-?0,解得-94m-2.答案:B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案写在题中的横线上)13.函数 f(x)=(x2-3)(x2-2x-3)的零点为.解析:令 f(x)=0,得 x=3,或 x=3,或 x=-1.答案:3,3,-114.用一根长为 12 m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是.解析:设框架的一边长为 xm,则另一边长为(6-x)m.设框架面积为

10、 ym2,则 y=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0 x6),所以 ymax=9,即能弯成的框架的最大面积是9m2.答案:9 m215.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且在区间(-,0)内的零点有 2 012 个,则 f(x)的零点的个数为.解析:因为 f(x)为奇函数,且在区间(-,0)内有 2012个零点,由奇函数的对称性知,在(0,+)内也有 2012个零点,又 xR,所以 f(0)=0,因此共有 4025 个零点.答案:4 02516.已知函数 f(x)(xR)满足 f(2-x)=-f(x),若函数 y=1?-1与 y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2

11、,y2),(x3,y3),(x4,y4),则 x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=.解析:函数 f(x)(xR)满足 f(2-x)=-f(x),f(x)的图象关于点(1,0)对称,而函数 y=1?-1的图象也关于点(1,0)对称,函数 y=1?-1与 y=f(x)的图象的交点也关于点(1,0)对称,x1+x2+x3+x4=4,y1+y2+y3+y4=0,x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=4.答案:4三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出:(1)f(x)=-8x2

12、+7x+1;(2)f(x)=x2+x+2;(3)f(x)=x3+1.解:(1)因为 f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),令 f(x)=0,可解得 x=-18或 x=1,所以函数的零点为-18和 1.(2)令 x2+x+2=0,因为=12-412=-7 0,?(2)0,?12 0即?0,4-2+?0,14-12+?0,解得 0m14.所以实数 m 的取值范围是 0,14.19.(12 分)已知函数 f(x)=lg?,?32,lg(3-?),?32.若方程 f(x)=k 无实数解,求实数 k 的取值范围.解:当 x32时,函数 f(x)=lgx 是增函数,f(x)lg32,+;

13、当 x32时,函数 f(x)=lg(3-x)是减函数,f(x)lg32,+.故 f(x)lg32,+.要使方程无实数解,则 klg32.故实数 k 的取值范围是-,lg32.20.(12 分)是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间-1,3上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.解:若存在实数 a 满足条件,则只需 f(-1)f(3)0 即可,即 f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)0,解得 a-15,或 a1.检验:a.当 f(-1)=0 时 a=1

14、,所以 f(x)=x2+x.令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1.方程 f(x)=0 在区间-1,3上有两解,不合题意,故 a1.b.当 f(3)=0 时 a=-15,此时 f(x)=x2-135x-65.令 f(x)=0,即 x2-135x-65=0.解得 x=-25,或 x=3.方程 f(x)=0 在区间-1,3上有两解,不合题意,故 a-15.综上所述,a-,-15(1,+).21.(12 分)某工艺公司要对某种工艺品深加工.已知每个工艺品进价为 20 元,每个的加工费为 n 元,销售单价为 x元.根据市场调查,须有 n3,6,x26,32,xN,同时日销售量 m

15、(单位:个)与 10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为 29 元时,日销售量为 1 000个.(1)写出日销售利润 y(单位:元)与 x 的函数关系式;(2)当每个工艺品的加工费用为 5 元时,要使该公司的日销售利润为 100万元,试确定销售单价 x 的值.(提示:函数 y=10 x-26与 y=x-25 的图象在区间26,32上有且只有一个公共点)解:(1)设 m=k10-x=?10?,x26,32,当 x=29 时 m=1000,则 k=1032,m=103210?=1032-x,x26,32,y=m(x-20-n)=(x-20-n)1032-x,x26,32,xN.(2)当 n=5 时

16、,y=(x-25)1032-x=100104=106.整理得 x-25=10 x-26.函数 y=10 x-26与 y=x-25 的图象在区间26,32上有且只有一个公共点,且当 x=26 时,等式成立,x=26 是方程 x-25=10 x-26的唯一的根,当每个工艺品的加工费用为 5 元时,要使该公司的日销售利润为 100 万元,销售单价为 26 元.22.(12 分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资 120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资 40 万元,由前期市场调研可知:甲城市收益 P 与投入 a(单位:万元)满足

17、 P=3 2?-6,乙城市收益 Q 与投入 a(单位:万元)满足 Q=14a+2,设甲城市的投入为 x(单位:万元),两个城市的总收益为 f(x)(单位:万元).(1)当甲城市投资 50 万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?解:(1)当 x=50 时,此时甲城市投资 50 万元,乙城市投资 70 万元,所以总收益 f(50)=3 2 50-6+1470+2=43.5(万元).(2)由题知,甲城市投资 x 万元,则乙城市投资(120-x)万元,所以 f(x)=3 2?-6+14(120-x)+2=-14x+3 2?+26,依题意得?40,120-?40,解得 40 x80.故 f(x)=-14x+3 2?+26(40 x80).令 t=?,则 t2 10,4 5,所以 y=-14t2+3 2t+26=-14(t-6 2)2+44.当 t=6 2,即 x=72 时,y 取最大值,为 44.所以当甲城市投资 72 万元,乙城市投资 48 万元时,总收益最大,且最大总收益为 44 万元.