2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.4.1直线的方向向量与平面的法向量课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册20210618253.doc

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1、课后素养落实课后素养落实(二十五二十五)直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40 分钟)一、选择题1已知非零向量 a，b，c 分别为平面，的法向量，且 ab，bc，则与的位置关系是()A垂直B平行C相交D重合A由已知得 ac，故选 A2若OA(1，2，3)，OB(1，3，4)，则以下向量中，能成为平面 OAB 的法向量的是()A(1，7，5)B(1，7，5)C(1，7，5)D(1，7，5)C经检验，只有向量(1，7，5)分别与OA、OB垂直，故选 C3已知平面内有一个点 M(1，1，2)，平面的一个法向量是 n(2，1，2)，则下列点 P 中，在平面内的是()A

2、P(2，3，3)BP(2，0，1)CP(4，4，0)DP(3，3，4)A由题意知：点 P 在平面内MPnMPn0，经检验选项 A 符合题意4已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是()A(1，1，1)B(1，1，1)C(1，1，1)D(1，1，1)C设 n(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，则nAB0，nAC0，化简得xy0，xz0，xyz5已知直线 l 的一个方向向量 m(2，1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(1，2，z)两点，则 yz 等于()A0B1C32D3AA(0，y，3)和 B(1，2，z)，AB(1，2y

3、，z3)，直线 l 的一个方向向量为 m(2，1，3)，故设ABkm12k，2yk，z33k解得 k12，yz32yz0二、填空题6若 n 是坐标平面 xOy 的一个法向量，则 n 的坐标可以表示为_答案(0，0，z)，其中 z07如图所示，正四棱锥 SABCD 中，O 为底面中心，则平面 SBD 的法向量与AD的夹角等于_45正四棱锥底面为正方形，BDAC，SOAC，又BDSOO，AC平面 SBDAC为平面 SBD 的一个法向量AC，AD458下列命题：直线 l 的方向向量为 a(1，1，2)，直线 m 的方向向量 b2，1，12，则 l 与 m垂直；直线 l 的方向向量 a(0，1，1)，

4、平面的法向量 n(1，1，1)，则 l；平面，的法向量分别为 n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，则；平面经过三点 A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量 n(1，u，t)是平面的法向量，则 ut1其中为真命题的是_(把你认为正确命题的序号都填上)对于，a(1，1，2)，b2，1，12，ab1211212 0，ab，直线 l 与 m 垂直，正确；对于，a(0，1，1)，n(1，1，1)，an011(1)(1)(1)0，an，l或 l，错误；对于，n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，n1与 n2不共线，不成立，错误；对于，点 A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1

5、，2，0)，AB(1，1，1)，BC(1，1，0)向量 n(1，u，t)是平面的法向量，nAB0，nBC0，即1ut0，1u0，则 ut1，正确综上，真命题的序号是三、解答题9如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形且 PDAD，E、F 分别是 PC、PB 的中点(1)试以 F 为起点作直线 DE 的一个方向向量；(2)试以 F 为起点作平面 PBC 的一个法向量解(1)取 AD 的中点 M，连接 MF，连接 EF，E、F 分别是 PC、PB 的中点，EF12BC，又 BCAD，EF12AD，则由 EFDM 知四边形 DEFM 是平行四边形，MFDE，FM就是

6、直线 DE 的一个方向向量(2)PD平面 ABCD，PDBC，又 BCCD，PDCDD，BC平面 PCD，DE平面 PCD，DEBC，又 PDCD，E 为 PC 中点，DEPC，从而 DE平面 PBC，DE是平面 PBC 的一个法向量，由(1)可知FMED，FM就是平面 PBC 的一个法向量10如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，ABAP1，AD 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量解因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点，AB的方向为 x 轴

7、的正方向，建立空间直角坐标系，则 D(0，3，0)，E0，32，12，B(1，0，0)，C(1，3，0)，于是AE0，32，12，AC(1，3，0)设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则nAC0，nAE0，即x 3y0，32y12z0，所以x 3y，z 3y，令 y1，则 xz 3所以平面 ACE 的一个法向量为 n(3，1，3)11若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面的法向量为 n(2，0，4)，则()AlBlClDl 与斜交Ba(1，0，2)，n(2，0，4)，n2a，即 an，l12直线 l 的方向向量为 a，OA，OB是平行于平面内两个不共线向量，下列关系中能推出

8、 l的是()AaOABakOBCaOAOBD以上均不能DA、B、C 均表示 l或 l13(多选题)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面 ABC 法向量的是()AABBAA1CB1BDA1C1BCAA1平面 ABC，B1B平面 ABC，AA1与B1B可以作为平面 ABC 的法向量14(一题两空)如图，圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面中心，M为 SO 中点，动点 P 在圆锥底面内(包括圆周)若 AMMP，则点 P 形成的轨迹长度为_，点 S 与 P 距离的最小值是_72574由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示则 A(0，1，0)，B(0，1，0)

9、，S(0，0，3)，M0，0，32，设 P(x，y，0)，则AM0，1，32，MPx，y，32，由AMMP0 得 y34，点 P 的轨迹方程为 y34根据圆的弦长公式，可得点 P 形成的轨迹长度为 2134272由 SPx2342(3)2知，当 x0 时，点 S 与 P 距离的最小，其最小值为57415四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形，AB(2，1，4)，AD(4，2，0)，AP(1，2，1)(1)求证：PA底面 ABCD；(2)求四棱锥 PABCD 的体积；(3)对于向量 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，c(x3，y3，z3)，定义一种运算：(ab)c

10、x1y2z3x2y3z1x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算(ABAD)AP的绝对值的值；说明其与四棱锥 PABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(ABAD)AP的绝对值的几何意义解(1)证明：APAB2240，APAB又APAD4400，APADAB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，AP底面 ABCD(2)设AB与AD的夹角为，则 cos ABAD|AB|AD|824116 1643105，V13|AB|AD|sin|AP|2310519105 14116(3)|(ABAD)AP|43248|48，它是四棱锥 PABCD 体积的 3 倍猜测：|(ABAD)AP|在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的体积