2022届高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法作业试题2含解析新人教版202106302133.doc

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1、第一讲第一讲数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法1.2021 浙江杭州二 中、学军中学等五校 联考 已知 Sn为数列an的前 n 项和,且Sn=2an-3n(nN*),则()A.an为等比数列B.an为摆动数列C.an=32n+1-9D.Sn=62n-3n-62.2020 唐山市模拟已知 Sn为数列an的前 n 项和,3Sn=an+2,则数列Sn()A.有最大项也有最小项B.有最大项无最小项C.无最大项有最小项D.无最大项也无最小项3.2021 陕西省部分学校摸底检测已知数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,2Sn=an+1+1,则Sn=.4.2021 河北衡水模拟已知在数列a

2、n中,a1=-ln 2,an+1=an+ln,则 an=.5.2021 江苏南通模拟已知数列an是首项为 2,公比为 3 的等比数列,若数列bn满足b1=a1,bn+1=anbn,则bn的通项公式 bn=.6.2021 安徽安庆检测在数列an中,a1=1,an=2an-1+ln 3(n2),则数列an的通项公式an=.7.2021 长春市第一次质量监测双空题已知数列an的前 n 项和 Sn=10n-n2,数列bn的每一项都有 bn=|an|,设数列bn的前 n 项和为 Tn,则 T4=,T30=.8.2020 贵 阳市 第 二次 适 应性 考 试 双 空题 在 数列an 中,a1+2a2+3a

3、3+nan=2n,则a4=,数列的前 n 项和为.9.2020 安徽六校联考已知正项数列an的前 n 项和 Sn满足 2Sn=+an-2,则数列an的通项公式为.10.2020 烟台市重点中学考前模拟多选题已知数列an的前 n 项和为 Sn,且有(a1+a2+an)an=(a1+a2+an-1)an+1(n2,nN*),a1=a2=1.数列的前 n 项和为 Tn,则以下结论正确的是()A.an=1B.Sn=2n-1C.Tn=D.Tn为递增数列11.多选题在数列an中,a1=1,a2=2,a3=3,an+3+(-1)nan+1=1(nN*),数列an的前 n 项和为 Sn,则下列结论正确的是()

4、A.数列an为等差数列B.a18=10C.a17=3D.S31=14612.条件创新已知数列an满足 an=ncos,bn=an+an+1,则数列bn的前 50 项和为.13.双空题已知数列an满足 a1=,a2=1,2an+2+an=3an+1,则 an=,若数列bn满足bn=,则 bn的最大值为.14.条件创新 已知数列an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,当 n2 时,+2SnSn-1=n-1.若am+am+1+at-1+at=1(m2)且 t-m=21,则 m=.15.2021 八省市新高考适应性考试已知各项都为正数的数列an满足 an+2=2an+1+3an.(1)证明:数列a

5、n+an+1为等比数列.(2)若 a1=,a2=,求an的通项公式.答案第一讲数列的概念与简单表示法1.D解 法 一因 为 Sn=2an-3n(nN*),所 以 当 n2 时,Sn-1=2an-1-3(n-1),两 式 相 减 得an=2an-3n-2an-1+3(n-1)=2an-2an-1-3,即 an=2an-1+3,所 以 an+3=2(an-1+3)(n2),又 当 n=1时,a1=2a1-3,得 a1=3,所以数列an+3是首项为 6,公比为 2 的等比数列,所以 an+3=62n-1,即an=32n-3,所以 Sn=62n-3n-6.故选 D.解 法 二当n2时,an=Sn-Sn

6、-1,所 以Sn=2an-3n=2(Sn-Sn-1)-3n,即Sn=2Sn-1+3n,则Sn+3n+6=2Sn-1+3(n-1)+6(n2),当 n=1 时,S1=2S1-3,得 S1=3,所以数列Sn+3n+6是首项为 12,公比为 2 的等比数列,所以 Sn+3n+6=122n-1=62n,即 Sn=62n-3n-6.故选 D.2.A因为 3Sn=an+2,当 n2 时,3Sn-1=an-1+2,所以当 n2 时,-得 3an=an-an-1,即an=-an-1.又当 n=1 时,3S1=3a1=a1+2,所以 a1=1,所以数列an是以 1 为首项,-为公比的等比数列,即an的各项为 1

7、,-,-,-,因此数列an的最大项为首项 1,最小项为第二项-.又3Sn=an+2,所以数列Sn的最大项为 1,最小项为.故选 A.3.(1+3n-1)因为 2Sn=an+1+1,所以 2Sn=Sn+1-Sn+1,即 Sn+1=3Sn-1,所以 Sn+1-=3(Sn-).因为 a1=1,所以 S1=1,所以 S1-=0,所以数列Sn-是以 为首项,3 为公比的等比数列,所以 Sn-=3n-1,所以 Sn=(1+3n-1).4.-ln(n+1)由题设得 an+1-an=ln,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=-ln2+ln+ln+ln=ln()=ln=-ln(n+1).当

8、 n=1 时,a1=-ln 2 也满足上式.故所求 an=-ln(n+1).5.2n由题设可得 b1=2,=an=23n-1,所以当n2时,bn=b1=2(230)(231)(23n-2)=2n30+1+(n-2)=2n.当 n=1 时,b1=2 也满足上式.故 bn=2n.6.(1+ln 3)2n-1-ln 3,nN*由 an=2an-1+ln 3 得到 an+ln 3=2(an-1+ln 3),则an+ln 3是以 a1+ln3 为首项、2 为公比的等比数列,所以 an+ln 3=(1+ln 3)2n-1,所以 an=(1+ln 3)2n-1-ln 3,nN*.7.24650当 n=1 时

9、,a1=S1=9,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=10n-n2-10(n-1)-(n-1)2=-2n+11,当 n=1时也满足,所以 an=-2n+11(nN*),所以当 n5 时,an0,bn=an,当 n5 时,an0,所以 an-an-1-1=0,即 an-an-1=1(n2).又 a1=2,所以数列an是以 2 为首项、1 为公差的等差数列,所以 an=2+(n-1)1=n+1.10.BD由(a1+a2+an)an=(a1+a2+an-1)an+1,得 Sn(Sn-Sn-1)=Sn-1(Sn+1-Sn),化简得=Sn-1Sn+1,根据 等 比 数 列 的 性 质 得 数 列 Sn

10、是 等 比 数 列.易 知 S1=1,S2=2,故 Sn 的 公 比 为 2,则Sn=2n-1,Sn+1=2n,Sn+2=2n+1,=-.由裂项相消法得Tn=1-=.故B正确,C错误,D正确.根据 Sn=2n-1知 A 选项错误,故选 BD.11.BD依题意得,当 n 是奇数时,an+3-an+1=1,即数列an中的偶数项构成以 a2=2 为首项、1 为公差的等差数列,所以 a18=2+(9-1)1=10.当 n 是偶数时,an+3+an+1=1,所以 an+5+an+3=1,两式相减,得an+5=an+1,即数列an中的奇数项从 a3开始,每间隔一项的两项相等,即数列an的奇数项呈周期变化,

11、所以 a17=a43+5=a5.在 an+3+an+1=1 中,令 n=2,得 a5+a3=1,因为 a3=3,所以 a5=-2,所以 a17=-2.对于数列an的前31项,奇数项满足a3+a5=1,a7+a9=1,a27+a29=1,a31=a47+3=a3=3,偶数项构成以a2=2 为首项、1 为公差的等差数列,所以 S31=1+7+3+152+=146.故选 BD.12.-52由 an=ncos,得 bn=an+an+1=ncos+(n+1)cos=ncos-(n+1)sin,则b4n=4ncos2n-(4n+1)sin2n=4n,b4n-1=(4n-1)cos(2n-)-4nsin(2

12、n-)=4n,b4n-2=(4n-2)cos(2n-1)-(4n-1)sin(2n-1)=2-4n,b4n-3=(4n-3)cos(2n-)-(4n-2)sin(2n-)=2-4n,所以 b4n-3+b4n-2+b4n-1+b4n=4,于是数列bn的前50项和b1+b2+b3+b48+b49+b50=12(b1+b2+b3+b4)+b413-3+b413-2=124+2-413+2-413=-52.13.-()n-1由 2an+2+an=3an+1,得 an+2-an+1=(an+1-an),又 a2-a1=,an+1-an是以 为首项、为公比的等比数列,an+1-an=()n-1=()n,则

13、 an-an-1=()n-1,an-1-an-2=()n-2,a2-a1=,累加得an-a1=+()2+()n-2+()n-1=1-()n-1,又 a1=,an=-()n-1,bn=.由 bn+1-bn=-=0 得 n3,由 bn+1-bn=3,所以 b1b2b5bn,故 bn的最大值为 b3=b4=.14.50 或 53当 n=2 时,+2S2S1=1,即+2(1+a2)=1,得 a2=-1.又当 n2 时,an=Sn-Sn-1,则+=n-1,则+=n,所以-=1,又 S1=1,S2=0,则,是首项为 1、公差为 1 的等差数列,是首项为 0、公差为 1 的等差数列,当 n 为奇数时,=1+

14、(-1)1=,当 n为偶数时,=0+(-1)1=-1,因而am+am+1+at-1+at=St-Sm-1=Sm+21-Sm-1,易知m+21与m-1同奇同偶,当同为奇数时,Sm+21-Sm-1=-=1,得 m=50,当同为偶数时,Sm+21-Sm-1=-=1,得m=53.15.(1)因为 an+2=2an+1+3an,nN*,所以 an+2+an+1=3(an+1+an),nN*,又数列an各项都为正数,所以 an+1+an0,所以=3.所以数列an+an+1为等比数列,公比为 3.(2)由(1)知 an+1+an=(a1+a2)3n-1=23n-1,则 an+1=-an+23n-1,an+1-=-(an-),nN*,又 a1-=0,所以 an-=0,所以 an=,nN*.