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1、人教版数学 九年级上册,第二十二章 二次函数,22.2 二次函数与一元二次方程,以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度 h (单位:m )与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系 h = 20t - 5t 2(1)小球的飞行高度能否达到 15 m? 如果能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到 20 m? 如能,需要多少飞行时间?(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m? 为什么?(4)小球从飞出到落地要用多少时间?,导入新知,1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2、2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.,学习目标,如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系: h=20t-5t2,考虑以下问题:,新知一 二次函数与一元二次方程的关系,合作探究,(1)球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞行时间?,15,1,3,当球飞行1s或3s时,它的高度为15m.,解:15=20t-5t2, t2-4t
3、+3=0, 解得t1=1,t2=3.,你能结合上图,指出为什么在两个时间求的高度为15m吗?,(2)球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞行时间?,你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m?,20,4,20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.,故当球飞行2秒时,它的高度为20米.,h=20t-5t2,解:,(3)球的飞行高度能否达到20.5m?如果能,需要多少飞行时间?,你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?,20.5,解:20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 4.10,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.
4、5米.,h=20t-5t2,(4)球从飞出到落地要用多少时间?,0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.,当球飞行0秒和4秒时,它的高度为0米.,即0秒时球地面飞出,4秒时球落回地面.,h=20t-5t2,解:小球飞出时和落地时的高度均为0m,,从上面发现,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?,一般地,当y取定值且a0时,二次函数为一元二次方程.,如:y=5时,则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.,二次函数与一元二次方程关系密切,例如,已知二次函数y = x24x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程x24x=3(即x24x+3=0),反过来,解方
5、程x24x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x24x+3 的值为0,求自变量x的值,已知二次函数中因变量的值,求自变量的值,解一元二次方程,二次函数与一元二次方程的关系(1),例 已知二次函数 y=2x2-3x-4的函数值为1,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程 2x2-3x-4=1 . 反之,解一元二次方程 2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.,解之得:x1=-1,x2=2.5,二次函数与一元二次方程的关系,典例精析,二次函数y=x2-3x+2 ,当 x=1 时,y= ;当y=0时,x= .,抛物线y=4x2-1与y轴的交点
6、坐标为;与x轴的交点坐标为.,0,1或2,(0,-1),(0.5,0)和(-0.5,0),巩固练习,【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1)y=x2+x-2;(2)y=x2-6x+9;(3)y=x2-x+1.,新知二 利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况,合作探究,二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少?,无公共点,先画出函数图象:,公共点的函数值为 .,0,对应一元二次方程的根是多少?,x1 =-2,,x2 =1.,x1 =x2 =3.,方程无解,有两
7、个不等的实根,有两个相等的实根,没有实数根,由上述问题,你可以得到什么结论呢?,方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.,有两个不等实根有两个相等实根没有根,有两个交点有一个交点没有交点, 0, = 0, 0,一元二次方程ax2+bx+c = 0 的根,抛物线 y=ax2+bx+c与x轴,若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点,则,b2 4ac 0.,= b2 4ac,二次函数与一元二次方程的关系(2), 0, =0, 0,o,x,y, = b2 4ac,y=ax2+bx+c,那么a0时呢?,a0
8、,观察图象,完成下表:,0个,1个,2个,x2-x+1=0无解,3,x2-6x+9=0,x1=x2=3,-2, 1,x2+x-2=0,x1=-2,x2=1,y,x,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系,例1 已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证:此抛物线与x轴总有交点;(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值,解:(1)证明:m0,-
9、(m2)24m2m24m48m(m2)2. (m2)20, 0,因此抛物线与x轴总有两个交点;,(2)令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2= .当m为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时, =0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为1.,利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值(范围),典例精析,已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是 ,k-1且k0,巩固练习,例2 如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.(1)当铅球离地面的高度为2.1
10、m时,它离初始位置的水平距离是多少?(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少?(3)铅球离地面的高度能否达到3m?为什么?,二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用,典例精析,解: 由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时,它离初始位置的水平距离是1m或5m.,(1)当铅球离地面的高度为2.1m时,它离初始位置的水平距离是多少?,(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少?,解:由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时,它离初始位置的水平距离是3m.,解:由抛物线的表达式得即因为 所以方程无实根.所以铅球
11、离地面的高度不能达到3m.,(3)铅球离地面的高度能否达到3m?为什么?,一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.,如图设水管AB的高出地面2.5m,在B处有一自动旋转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述,在所示的直角坐标系中,求水流的落地点D到A的距离是多少?,解:根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0,解得x1=5,x2=-1(不合题意舍去).答:水流的落地点D到A的距离是5m.,A,B,O,D,巩固练习,求一元二次方程 的根的近似值(精确到0.1).,分析:一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x-2x-1 与x轴的交点的横坐
12、标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫做图象法.,新知三 利用二次函数求一元二次方程的近似解,合作探究,解:画出函数 y=x-2x-1 的图象(如下图),由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.,求一元二次方程 的根的近似值(精确到0.1).,先求位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是-0.4或-0.5,利用计算器进行探索,见下表:,观察上表可以发现,当x分别取-0.4和-0.5时,对应的y由负变正,可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0,即有y=x2-2x-1的一个根,题目只要求精确到0.
13、1,这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1-0.4.同理可得另一近似值为x22.4.,利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.,(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象;,(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);,(3)确定方程2x2+x-15=0的解;,由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1-3,x22.5.,一元二次方程的图象解法,
14、根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26,C,巩固练习,1.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示,则一元二次方程ax2bxc0的近似根为()Ax12.1,x20.1 Bx12.5,x20.5Cx12.9,x20.9 Dx13,x21,B,课堂练习,2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2= ;,-1,3. 一元二次方程 3x2
15、+x10=0的两个根是x1=2 ,x2= ,那么二次函数 y= 3x2+x10与x轴的交点坐标是 .,(-2,0) ( ,0),4. 若一元二次方程 无实根,则抛物线 图象位于( )A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限,A,5. 二次函数ykx26x3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()Ak3 Bk3且k0Ck3 Dk3且k0,D,6. 已知函数y(k3)x2x1的图象与x轴有交点,求k的取值范围,解:当k3时,函数y2x1是一次函数一次函数y2x1与x轴有一个交点,k3;当k3时,y(k3)x22x1是二次函数二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点
16、,b24ac0. b24ac224(k3)4k16,4k160.k4且k3.综上所述,k的取值范围是k4.,0,0,0,x1 ; x2,x1 =x2 ,没有实数根,xx2,x x1的任意实数,任意实数,x1xx2,无解,无解,归纳新知,B,C,课后练习,3关于x的二次函数y(k2)x22x1与x轴有交点,则k的取值范围是( )Ak3 Bk3且k2Ck3 Dk2,B,C,5(2020宁夏)若二次函数yx22xk的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是_,k1,6根据下列表格的对应值,判断方程ax2bxc0(a0,a,b,c为常数)一个解的范围是( )A.2x2.23 B2.23x2.24C2.2
17、4x2.25 D2.25x2.26,C,7利用二次函数的图象估计一元二次方程x22x10的近似根(精确到0.1),解:方程x22x10的根是函数yx22x1与x轴交点的横坐标作出二次函数yx22x1的图象,如图所示,由图象可知方程有两个根,一个在1和0之间,另一个在2和3之间先求1和0之间的根,当x0时,y10,当x1时,y20,这个根在1,0之间取1,0的平均数0.5,得y0.250,这个根在0.5,0之间取0.5,0的平均数0.25,得y0.437 50,这个根在0.5,0.25之间取0.5,0.25的平均数0.375,得y0.109 3750,这个根在0.5,0.375之间再取0.5,0
18、.375的平均数0.437 5,得y0.066 406 250,这个根在0.437 5,0.375之间结果精确到0.1,x0.4是方程的一个近似根,同理,x2.4是方程的另一个近似根,8二次函数yx2x2的图象如图所示,则函数值y0时x的取值范围是( )Ax1 Bx2C1x2 Dx1或x2,C,9如图,过点(0,1)且平行于x轴的直线与二次函数yax2bxc(a0)图象的交点坐标为(1,1),(3,1),则不等式ax2bxc10的解集为( )Ax1 B1x3Cx1或x3 Dx3,C,10抛物线yax2bxc的图象如图所示,则关于x的方程ax2bxc20的根的情况是( )A.有两个不等的实数根B
19、有两个异号的实数根C有两个相等的实数根D没有实数根,C,11若关于x的函数y(a1)x24x2a的图象与x轴只有一个交点,则a的值为_.,1或1或2,12(2020武汉)抛物线yax2bxc(a,b,c为常数,a0)经过A(2,0),B(4,0)两点,下列四个结论:一元二次方程ax2bxc0的根为x12,x24;若点C(5,y1),D(,y2)在该抛物线上,则y1y2;对于任意实数t,总有at2btab;对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2bxcp(p为常数,p0)的根为整数,则p的值只有两个其中正确的结论是_(填写序号),13二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题(1)写出方程ax2bxc0的两个根;(2)写出不等式ax2bxc0的解集;(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;(4)若方程ax2bxck有两个不相等的实数根,求k的取值范围解:(1)x11,x23(2)1x3(3)x2(4)k2,15已知关于x的一元二次方程mx2(15m)x50(m0).(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;(2)若抛物线ymx2(15m)x5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1x2|6,求m的值;(3)若m0,点P(a,b)与Q(an,b)在(2)中的抛物线上(点P,Q不重合),求代数式4a2n28n的值,再 见,
限制150内