2022届高考数学一轮复习第二章第八节函数与方程及应用课时作业理含解析北师大版202107011119.doc

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1、第八节第八节 函数与方程及应用函数与方程及应用授课提示：对应学生用书第 285 页A 组基础保分练1.下列函数中，在（1，1）内有零点且单调递增的是（）A.ylog12xB.y2x1C.yx212D.yx3解析：函数 ylog12x 在定义域上单调递减，yx212在（1，1）上不是单调函数，yx3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于 y2x1，当 x0（1，1）时，y0 且 y2x1 在 R 上单调递增.答案：B2.函数 f（x）2x2x 的零点所在的区间是（）A.2，1B.1，0C.0，1D.1，2解析：f（2）222（2）0，f（1）212（1）0，f（0）2000，由零点存在性定理知，

2、函数 f（x）的零点在区间1，0上.答案：B3.若函数 f（x）ax1 在区间（1，1）上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是（）A.（1，）B.（，1）C.（，1）（1，）D.（1，1）解析：由题意知，f（1）f（1）0，即（1a）（1a）0，解得 a1 或 a1.答案：C4.（2021遵义模拟）某企业为节能减排，用 9 万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用 2 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 3 万元，该设备每年生产的收入均为 21 万元.设该设备使用了 n（nN）年后，盈利总额达到最大值（盈利总额等于总收入减去总成本），则 n 等于（）A.6B.7C.8D.7 或

3、 8解析：盈利总额为 21n92n12n（n1）332n2412n9.因为其对应的函数的图像的对称轴方程为 n416，所以当 n7 时取最大值，即盈利总额达到最大值.答案：B5.（2021福州模拟）已知函数 f（x）x22x，x0，11x，x0，则函数 yf（x）3x 的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：令 f（x）3x0，则x0，x22x3x0或x0，11x3x0，解得 x0 或 x1，所以函数yf（x）3x 的零点个数是 2.答案：C6.研究发现，当对某学科知识的学习次数 x 不超过 6 次时，对该学科的掌握程度 f（x）0.115lnaax.根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a

4、的取值区间分别为（115，121，（121，127，（127，133.当学习某学科知识 6 次时，其掌握程度是 85%，则该学科是（参考数据：e0.051.05，e0.852.34）（）A.甲B.乙C.丙D.三者均可能解析：由题意可知，0.115lnaa60.85，整理得aa6e0.05，解得 ae0.05e0.0516216126，因为 126（121，127，所以该学科是乙.答案：B7.（2020湘赣十四校联考）已知函数 f（x）ax22xa（x0），ax3（x0）有且只有 1 个零点，则实数 a 的取值范围是_.解析：当 a0 时，函数 yax3（x0）必有一个零点，又因为1a0，解得

5、a1；当 a0 时，f（x）2x（x0），3（x0）恰有一个零点；当 a0，则 f（x）ax30，若 x0，则 f（x）ax22xa，此时，f（x）恒小于 0，所以当 a1.答案：a0 或 a18.（2021唐山模拟）某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为 10%（即这辆车每年减少它的价值的 10%），试问，大约使用年后，用在该车上的费用（含折旧费）达到 14.4万元.解析：设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元，依题意可得，14.4（10.9x）2.4x14.4，化简得 x

6、60.9x0.令 f（x）x60.9x，易得 f（x）为单调递增函数，又 f（3）1.3740，f（4）0.063 40，所以函数 f（x）在（3，4）上有一个零点.故大约使用 4 年后，用在该车上的费用达到 14.4 万元.答案：49.已知函数 f（x）x22x，g（x）x14x，x0，x1，x0.（1）求 g（f（1）的值；（2）若方程 g（f（x）a0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围.解析：（1）利用解析式直接求解得 g（f（1）g（3）312.（2）令 f（x）t，则原方程化为 g（t）a，易知方程 f（x）t 在（，1）上有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数

7、yg（t）（t1）与 ya 的图像有 2 个不同的交点，作出函数 yg（t）（t1）的图像（如图），由图像可知，当 1a54时，函数 yg（t）（t1）与 ya 有 2 个不同的交点，即所求 a 的取值范围是1，54.10.声强级 Y（单位：分贝）由公式 Y10lgI1012给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）.（1）平常人交谈时的声强约为 106W/m2，求其声强级；（2）一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听到最低声强为多少？（3）比较理想的睡眠环境要求声强级 Y50 分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5107W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解析：（1）当

8、声强为 106W/m2时，由公式 Y10lgI1012得 Y10lg106101210lg 10660（分贝）.（2）当 Y0 时，由公式 Y10lgI1012得 10lgI10120.所以I10121，即 I1012W/m2，则常人能听到的最低声强为 1012W/m2.（3）当声强为 5107W/m2时，声强级 Y10lg5107101210lg（5105）5010lg 5，因为 5010lg 550，所以这两位同学会影响其他同学休息.B 组能力提升练1.定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）x22，x0，1），2x2，x1，0），且 f（x1）f（x1），若 g（x）3log2x，则

9、函数 F（x）f（x）g（x）在（0，）内的零点个数为（）A.3B.2C.1D.0解析：由 f（x1）f（x1），知 f（x）的周期是 2，画出函数 f（x）和 g（x）的部分图像，如图所示，由图像可知 f（x）与 g（x）的图像有 2 个交点，故 F（x）有 2 个零点.答案：B2.已知函数 f（x）2x，x1，9x（1x）2，x1，若函数 g（x）f（x）k 仅有一个零点，则 k 的取值范围是（）A.43，2B.（，0）43，C.（，0）D.（，0）43，2解析：函数 f（x）的图像如图所示，由题知该图像与直线 yk 只有一个公共点，故 k 的取值范围为（，0）43，2.答案：D3.（20

10、21衡阳模拟）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.3）（）A.2018 年B.2019 年C.2020 年D.2021 年解析：设开始超过 200 万元的年份是 n，则 130（112%）n2 016200，化简得（n2 016）lg 1.12lg 2lg 1.3，所以 n2 016lg 2lg 1.3lg 1.123.8，所以 n2 020，因此开始超过

11、200 万元的年份是 2020 年.答案：C4.（2021西安模拟）某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数 x（正常情况 0 x100，且教职工平均月评价分数在 50 分左右，若有突出贡献可以高于 100 分）计算当月绩效工资 y 元.要求绩效工资不低于 500 元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在 600 元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少.则下列函数最符合要求的是（）A.y（x50）2500B.y10 x25500C.y11 000（x50）3625D.y5010lg（2x1）解析：由题意知，函数应满足：单调递增，且先慢后快，在 x50 左右增长缓慢，

12、最小值为 500，A 是先减后增，不符合要求；B 由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D 由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C 是由 yx3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求.答案：C5.已知函数 f（x）x2xa（a0）在区间（0，1）上有零点，则 a 的取值范围为_.解析：由题意 f（1）f（0）0，所以 a（2a）0，所以2a0.答案：（2，0）6.已知函数 f（x）2x1，x0，x22x，x0，若函数 g（x）f（x）m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_.解析：作出 f（x）2x1，x0，x22x，x0的图像如图所示.由于函数 g（x）f（x）m 有 3 个零

13、点，结合图像得 0m1，即 m（0，1）.答案：（0，1）7.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a（单位：万元）满足 P804 2a，Q14a120，设甲大棚的投入为 x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为 f（x）（单位：万元）.（1）求 f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f

14、（x）最大？解析：（1）由题意知甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元，所以 f（50）804 25014150120 277.5（万元）.（2）f（x）804 2x14（200 x）12014x4 2x250，依题意得x20，200 x2020 x180，故 f（x）14x4 2x250（20 x180）.令 t x，t2 5，6 5，则 y14t24 2t25014（t8 2）2282，当 t8 2，即 x128 时，f（x）取得最大值，f（x）max282.所以当甲大棚投入 128 万元，乙大棚投入 72 万元时，总收益最大，且最大总收益为 282 万元.C 组创新应用练1.

15、（2021郑州模拟）已知函数 f（x）exa，x0，2xa，x0（aR），若函数 f（x）在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是（）A.（0，1B.1，）C.（0，1）D.（，1解析：画出函数 f（x）的大致图像如图所示.因为函数 f（x）在 R 上有两个零点，所以 f（x）在（，0和（0，）上各有一个零点.当 x0 时，f（x）有一个零点，需 00 时，f（x）有一个零点，需a0.综上，0a1.答案：A2.李冶（11921279），真定栾城（今河北省石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.

16、其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算）步、步.解析：设圆池的半径为 r 步，则方田的边长为（2r40）步，由题意，得（2r40）23r213.75240，解得 r10 或 r170（舍），所以圆池的直径为 20 步，方田的边长为 60 步.答案：20603.一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 yaebt（cm3），经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析：当 t0 时，ya；当 t8 时，yae8b12a.故 e8b12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 yaebt18a，ebt18（e8b）3e24b，则 t 24，所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案：16