初中数学竞赛专题选讲《参数法证平几》.doc

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1、初中数学竞赛专题选讲参数法证平几初中数学竞赛专题选讲参数法证平几一、内容提要一、内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.二、例题二、例题例 1 如图已知：AB 是O 的直径，C 是半圆上的一点，CDAB 于 D，N 与O 内切且与 AB、CD 分别切于 E，F.求证：AC=AE.分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系 AC，AE 的关系.证明：设O，N 半径分别为 R 和 r，连接 ON，NE.根据勾股定理：OE=22)-(Rrr=rR2-R2，A

2、E=OAOER+rR2-R2；OD=OEr=rR2-R2r，AD=OAODR+rR2-R2r根据射影定理 AC2=ADAB=(R+rR2-R2r)2R=2R2+2RrR2-R22Rr=R2+2RrR2-R2+(R22Rr)=(R+rR2-R2)2AC=R+rR2-R2.AC=AE例 2.已知：ABC 的内切圆 I 和边 AB，BC，CA 分别切于 D，E，F，ACBC2ADDB.求证：CRt.证明：设 ADx,则 DBcx.代入 ACBC2ADDB.得ab=2x(cx).2x22cx+ab=0.x=4222abcc=222abcc,又根据切线长定理得 x2abc，222abcc2abc.c22

3、ab=a22ab+b2.c2=a2+b2.ABCNDEOFxbaCCBAIDEFCRt.例 3.已知：等边三角形 ABC 中，P 是中位线 DE 上一点，BP，CP 的延长线分别交 AC 于 F，交 AB 于 G.求证：BC3CF1BG1.证明：设ABC 边长为 a,PDm,PE=n,BG=x,CF=y.DE 是ABC 的中位线，DEBC，DE21BC.)2(2)1(2yayanxaxam（1）（2）：yayxaxanm22.yaxa212121，23)11(2yxa，ayx311.BC3CF1BG1.例 4.已知：如图四边形 ABCD 中，过点 B 的直线交 AC 于 M，交 CD 于 N，

4、且CDCNACAMSABCSABDSBCD134.求证：M，N 平分 AC 和 CD.证明：设 SABC1，则 SABD3，SBCD4，SACD3416.设CDCNACAMk(0k1).连结 AN.根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得kCDCNSSACDACN，SACN6k；kSACAMSACNAMN,SAMN6kk6k2；kCDCNSSBCDBCN,SBCN4k；mnPABCDEFGjMABCDNkACAMSSABCABM,SABMk；SBMC1k.SACNSAMNSMNCSBCNSBMC6k6k2=4k(1k).6k2k1=0.k=21；或 k=31.(k=31.不合题意，舍去.)CD

5、CNACAMk=21.AMMC，CNND.即 M，N 平分 AC 和 CD.例 5.已知：如图ABC 中，AD 是高，ABDCACBD.求证：ABAC.证明：设 ABc，ACb,BD=m,DC=n.根据勾股定理得.2222mbncmcnb；.)()(nbmcmcmcnbnb；.mncbmcnb；.cbmnbcmn；cb=bc，b=c.即 ABAC.例 6.如图已知：一条直线截ABC 三边 AB，BC，AC 或延长线于 D，E，F.求证：1FACFECBEDBAD（曼奈拉斯定理）曼奈拉斯定理）证明：设BDE，DEB，F.根据正弦定理：在BDE 中，SinDBinSBESinSinDBBE；在CE

6、F 中，SinECSinCFSinSinECCF；在ADF 中，)180(SinFASinAD)180(SinSinFAAD.Sin(180)=Sin.EABCFDjMABCDNnmbcABCDFAADECCFDBBE.SinSinSinSin1)180(SinSin.即1FACFECBEDBAD.三、练习三、练习1.已知：如图三条弦 AB，CD，EF 两两相交于 G，H，I.IAGDHE，ICGFHB.求证：GHI 是等边三角形.2.已知：在矩形 ABCD 中，APBD 于 P，PEBCBC 于于 E，PFCD 于 F.求证：PA3PEPFBD3.已知：ABC 的两条高 AD，BE 相交于

7、H，求证：过 A，B，H 三点的圆与过 A，C，H 三点的圆是等圆.4.已知：AB 是O 的直径，P 是半圆上的一点，PCAB 于 C，以 PC 为半径的P 交O于 D，E.求证：DE 平分 PC.5.已知：ABC 的两条高 AD 和 BE 相交于 P，且 ADBC，F 是 BC 的中点.求证：PDPF21BC6.已知：平行四边形 ABCD 中，AB，AC2BD2AB4AD4.求证：A31B.7.求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的两边的乘积的比.8.已知：AB 是O 的直径，E 是半圆上的一点，过点 E 作O 的切线和过 A，B 的O的两条切线分别相交于

8、 D，C，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 F，EF 的延长线交 AB 于H.求证：EF=FH.9.已知：如图M 和 N 相交于 A，B，公共弦 AB 的延长线交两条外公切线于 P，Q.求证：PA=QB；PQ2=AB2+CD2.10.已知：正方形 ABCD 内一点 P，满足等式PAPBPC123.求证：APB135.11.一个直角三角形斜边为 c,内切圆半径是 r,求内切圆面积与直角三角形面积的比.（提示：引入参数 a 和 b 表示两直角边）（19791979 年美国中学数学竞赛试题）年美国中学数学竞赛试题）练习题参考答案练习题参考答案1.引入参数，设DBC，PA2PBPDCosP

9、FinSPE2.设ABHACH，用 AHSin表示两圆的半径.IGHAEFBCDBAMNFEQCPD3.设 DFm,FE=n,PF=x,FC=y,P 的半径为 r,由相交弦定理，得mn=x(y+r)=y(x+r)6.设 ABa,AD=b,AC=p,D=q(qp),则44222222)(2baqpbaqpCosA=abqba2222=22，A45 度.7.设 AB=a,BC=b.CD=c,DA=d,OA=x,OC=y，OD=u,OB=v,yvxubdBOCAODSS，同理yuxvcb8.设 EF=x,FH=y,DA=DE=a,CB=CE=b,可证 EFBCbaabx，abbay9.设 PAPCPDx，QBQEQFy,AB=a，CDEF由切割线定理可知 x=y,PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2=4PAPB+AB2=4PC2+AB2=422CD）（+AB2=AB2+CD211.rcr