江苏省无锡市环科园联盟2016届九年级数学上学期期中试题含解析苏科版.doc

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1、1江苏省无锡市环科园联盟江苏省无锡市环科园联盟 20162016 届九年级数学上学期期中试题届九年级数学上学期期中试题一、精心一、精心选一选（本大题共选一选（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分，每题的四个选项中，只有一分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）个符合题意）1下列方程7x28x=1 2x25xy+6y2=05x21=0=3y 中是一元二次方程的为()A B C D2下列方程中两根之和等于 1 的是()Ax2+x+1=0 Bx2x=1 Cx2x100=0 D3在平面直角坐标系中，以 O 为圆心的圆过点 A（0，4），则点 B（2，3）与O

2、 的位置关系是()A在圆内B在圆外C在圆上D无法确定4关于 x 的方程（a5）x24x1=0 有实数根，则 a 满足()Aa1 Ba1 且 a5Ca1 且 a5Da55如图，ABC 中，DEBC，且 DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是()AAD：DE=2：3BAD：BD=2：3CAD：AE=2：3DAD：AB=2：36如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于点 D，则图中相似三角形共有()A1 对 B2 对 C3 对 D4 对7已知一个点到圆上的点的最大距离是 5，最小距离是 1，则这个圆的半径是()A6B2C2 或 3D4 或 68如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴

3、影部分）与ABC 相似的是()2ABCD9如图，四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形，顶点 P 在弧 MN 上，且不与 M，N 重合，当 P点在弧 MN 上移动时，矩形 PAOB 的形状、大小随之变化，则 PA2+PB2的值()A变大 B变小 C不变 D不能确定10如图，在菱形纸片 ABCD 中，A=60，将纸片折叠，点 A、D 分别落在点 A、D处，且 AD经过点 B，EF 为折痕，当 DFCD 时，的值为()ABCD二、仔细填一填（本大题共二、仔细填一填（本大题共 8 8 小题，每空小题，每空 2 2 分，共分，共 1616 分）分）11若两个相似三角形的周长比为 2：3，则它们的

4、面积比是_12如果=k（b+d+f0），且 a+c+e=3（b+d+f），那么 k=_13某药品原价每盒 25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，则该药品平均每次降价的百分率是_14已知（x2+y2+1）（x2+y23）=5，则 x2+y2的值等于_15若 a，b 是方程 x2+x2015=0 的两实数根，则 a2+2a+b=_16如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径为_cm317如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，ABBC，AB=2cm，CD=4cm以 BC 上一点 O 为圆心的圆经过 A、D 两

5、点，且AOD=90，则圆心 O 到弦 AD 的距离是_cm18如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（0，4），直线 y=x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，点 M 是直线 AB 上的一个动点，则 PM 长的最小值为_三、精心做一做（本大题共三、精心做一做（本大题共 9 9 小题，满分小题，满分 8484 分）分）19（16 分）用适当的方法解下列方程（1）4x21=0（2）x24x+1=0（配方法）（3）5（x+2）=4x（x+2）（4）x22x3=020已知 x=1 是方程 x2+mx5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一个根21已知：ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐

6、标分别为 A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）（1）画出ABC 向下平移 4 个单位长度得到的A1B1C1，点 C1的坐标是_；（2）以点 B 为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC 位似，且位似比为 2：1，点 C2的坐标是_；（3）A2B2C2的面积是_平方单位422如图，在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3（1）求O 的半径；（2）若点 P 是 AB 上的一动点，试求线段 OP 的取值范围23如图，在ABC 中，AB=AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APD=B（1）求证

7、：ACCD=CPBP；（2）若 AB=10，BC=12，当 PDAB 时，求 BP 的长24万圣节两周前，某商店购进 1000 个万圣节面具，进价为每个 6 元，第一周以每个 10元的价格售出 200 个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个 10 元的价格销售可售出 400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价 x 元销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 100 个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出（1）当单价降低 2 元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利 1300 元，问第二周每个面具的销

8、售价格为多少元？25如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，在 CD 边上取点 P 使 CP=BM，连接 NP，BP（1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形；（2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？请说明理由526阅读下面短文：如图，ABC 是直角三角形，C=90，现将ABC 补成矩形，使ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图）解答问题：（

9、1）设图中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1、S2，则 S1_S2（填“”“=”或“”）（2）如图，ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画_个，利用图把它画出来（3）如图，ABC 是锐角三角形且三边满足 BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27如图，RtABC 中，C=90，AB=15，BC=9，点 P，Q 分别在 BC，AC 上，CP=3x，CQ=4x（0 x3）把PCQ 绕点 P 旋转，得到PDE，点 D 落在线段 PQ 上（

10、1）求证：PQAB；（2）若点 D 在BAC 的平分线上，求 CP 的长；（3）若PDE 与ABC 重叠部分图形的周长为 T，且 12T16，求 x 的取值范围62015-20162015-2016 学年江苏省无锡市环科园联盟九年级（上）期中数学试卷学年江苏省无锡市环科园联盟九年级（上）期中数学试卷一、精心选一选（本大题共一、精心选一选（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分，每题的四个选项中，只有一分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）个符合题意）1下列方程7x28x=1 2x25xy+6y2=05x21=0=3y 中是一元二次方程的为()A B

11、C D【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：7x28x=1 是一元二次方程，2x25xy+6y2=0 是二元二次方程，5x21=0 是分式方程，=3y 是一元二次方程，故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 22下列方程中两根之和等于 1 的是()Ax2+x+1=0 Bx2x=1 Cx2x100=0 D【考点】根与系数的

12、关系【专题】计算题【分析】根据根的判别式对 A、B、D 进行判断；根据根与系数的关系对 C 进行判断【解答】解：A、=12410，方程没有实数解，所以 A 选项错误；B、x2x+1=0，=（1）2410，方程没有实数解，所以 B 选项错误；C、x1+x2=1，所以 C 选项正确；D、=124 0，方程没有实数解，所以 D 选项错误故选 C【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=3在平面直角坐标系中，以 O 为圆心的圆过点 A（0，4），则点 B（2，3）与O 的位置关系是()A在圆内B在圆外C在圆上D无法确定

13、7【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质【分析】由已知条件可知圆的半径为 4，再根据勾股定理可求出 OB 的长，和圆的半径 4 比较大小即可判断点 B 和O 的位置关系【解答】解：以 O 为圆心的圆过点 A（0，4），圆的半径 r=4，点 B（2，3），OB=4，点 B（2，3）与O 的位置关系是在圆内，故选 A【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断 解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论4关于 x 的方程（a5）x24x1=0 有实数根，则 a 满足()Aa1 Ba1 且 a5Ca1 且 a5Da5【考点】根的判别式【专题】判别式法【分析】由于 x

14、的方程（a5）x24x1=0 有实数根，那么分两种情况：（1）当 a5=0时，方程一定有实数根；（2）当 a50 时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a 的取值范围【解答】解：分类讨论：当 a5=0 即 a=5 时，方程变为4x1=0，此时方程一定有实数根；当 a50 即 a5 时，关于 x 的方程（a5）x24x1=0 有实数根16+4（a5）0，a1a 的取值范围为 a1故选：A【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数

15、不为零这一隐含条件5如图，ABC 中，DEBC，且 DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是()AAD：DE=2：3BAD：BD=2：3CAD：AE=2：3DAD：AB=2：3【考点】平行线分线段成比例【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果【解答】解：DEBC，8=，AD：AB=2：3，故选：D【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解题的关键6如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于点 D，则图中相似三角形共有()A1 对 B2 对 C3 对 D4 对【考点】相似三角形的判定【分析】根据相似三角形的判定定理及已知

16、即可得到存在的相似三角形【解答】解：ACB=90，CDAB，ABCACD，ACDCBD，ABCCBD，所以有三对相似三角形故选 C【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边对应成比例的两个三角形相似7已知一个点到圆上的点的最大距离是 5，最小距离是 1，则这个圆的半径是()A6B2C2 或 3D4 或 6【考点】点与圆的位置关系【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点在圆外时，直径=最大距离最小距离【解答】解：分为两种情况：当点 M 在圆内时，如图 1，

17、点到圆上的最小距离 MB=1，最大距离 MA=5，直径 AB=1+5=6，半径 r=3；当点 M 在圆外时，如图 2，点到圆上的最小距离 MB=1，最大距离 MA=5，直径 AB=51=4，9半径 r=2故选 C【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键8如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与ABC 相似的是()ABCD【考点】相似三角形的判定【专题】网格型【分析】设小正方形的边长为 1，根据已知可求出ABC 三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案【解答】解：小正方形的边长均为 1ABC 三边

18、分别为 2，同理：A 中各边的长分别为：，3，；B 中各边长分别为：，1，；C 中各边长分别为：1、2，；D 中各边长分别为：2，；只有 B 项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选 B【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用9如图，四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形，顶点 P 在弧 MN 上，且不与 M，N 重合，当 P点在弧 MN 上移动时，矩形 PAOB 的形状、大小随之变化，则 PA2+PB2的值()A变大 B变小 C不变 D不能确定【考点】圆的认识；勾股定理；矩形的性质【分析】连接 OP，根据勾股定理以及矩形的性质定理即可求解【解答】解：直角

19、PAB 中，AB2=PA2+PB2，10又矩形 PAOB 中，OP=AB，PA2+PB2=AB2=OP2故选 C【点评】本题考查的是圆的认识，涉及到矩形的性质定理以及勾股定理，正确作出辅助线是关键10如图，在菱形纸片 ABCD 中，A=60，将纸片折叠，点 A、D 分别落在点 A、D处，且 AD经过点 B，EF 为折痕，当 DFCD 时，的值为()ABCD【考点】翻折变换（折叠问题）【专题】压轴题【分析】首先延长 DC 与 AD交于点 M，由四边形 ABCD 是菱形与折叠的性质，易求得BCM是等腰三角形，DFM 是含 30角的直角三角形，然后设 CF=x，DF=DF=y，利用正切函数的知识，即

20、可求得答案【解答】解：延长 DC 与 AD，交于点 M，在菱形纸片 ABCD 中，A=60，DCB=A=60，ABCD，D=180A=120，根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180ADF=60，DFCD，DFM=90，M=90FDM=30，BCM=180BCD=120，CBM=180BCMM=30，CBM=M=30，BC=CM，设 CF=x，DF=DF=y，则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y，11FM=CM+CF=2x+y，在 RtDFM 中，tanM=tan30=，x=y，=故选：A【点评】此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题

21、难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用二、仔细填一填（本大题共二、仔细填一填（本大题共 8 8 小题，每空小题，每空 2 2 分，共分，共 1616 分）分）11若两个相似三角形的周长比为 2：3，则它们的面积比是 4：9【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可【解答】解：两个相似三角形的周长比为 2：3，这两个相似三角形的相似比为 2：3，它们的面积比是 4：9故答案为：4：9【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键12如果=k（b+d+f0），

22、且 a+c+e=3（b+d+f），那么 k=3【考点】比例的性质【分析】根据等比性质，可得答案【解答】解：由等比性质，得 k=3，故答案为：3【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：=kk=13某药品原价每盒 25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，12现在售价每盒 16 元，则该药品平均每次降价的百分率是 20%【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】设该药品平均每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格=降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是 25（1x），第二次后的价格是 25（1x）2，据此即可列方程求解【解答】解：设该药品平均每

23、次降价的百分率为 x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，故 25（1x）2=16，解得 x=0.2 或 1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为 20%【点评】本题考查数量平均变化率问题原来的数量（价格）为 a，平均每次增长或降低的百分率为 x 的话，经过第一次调整，就调整到 a（1x），再经过第二次调整就是 a（1x）（1x）=a（1x）2增长用“+”，下降用“”14已知（x2+y2+1）（x2+y23）=5，则 x2+y2的值等于 4【考点】换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题【分析】首先把 x2+y2当作一个整体，设 x2+y2

24、=k，方程即可变形为关于 k 的一元二次方程，解方程即可求得 k 即 x2+y2的值【解答】解：设 x2+y2=k（k+1）（k3）=5k22k3=5，即 k22k8=0k=4，或 k=2又x2+y2的值一定是非负数x2+y2的值是 4故答案为：4【点评】此题注意把 x2+y2看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍15若 a，b 是方程 x2+x2015=0 的两实数根，则 a2+2a+b=2014【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 a2+a2015=0，即 a2+a=2015，则 a2+2a+b 可化为 a2+

25、a+a+b=2015+a+b，然后利用根与系数的关系得到 a+b=1，再利用整体代入的方法计算即可【解答】解：a 是方程 x2+x2015=0 的根，a2+a2015=0，即 a2+a=2015，a2+2a+b=a2+a+a+b=2015+a+b，a，b 是方程 x2+x2015=0 的两个实数根，a+b=1，a2+2a+b=2015+（1）=2014故答案为：2014【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二13次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=16如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为

26、 16cm2，则该半圆的半径为cm【考点】勾股定理；正方形的性质；圆的认识【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角ACE 中，利用勾股定理即可求解【解答】解：如图，圆心为 A，设大正方形的边长为 2x，圆的半径为 R，正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，AE=BC=x，CE=2x；小正方形的面积为 16cm2，小正方形的边长 EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即 x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4，R=4cm，故答案为：4【点评】本题考查了勾股定理的运用和正方形的性质，解题的关键是正确的做出辅助线构造直角三角形17如图，在梯形

27、ABCD 中，ABDC，ABBC，AB=2cm，CD=4cm以 BC 上一点 O 为圆心的圆经过 A、D 两点，且AOD=90，则圆心 O 到弦 AD 的距离是cm【考点】垂径定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定；直角梯形【专题】压轴题【分析】本题的综合性质较强，根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性14质，勾股定理，直角梯形的性质可知【解答】解：如图，作 AECD，垂足为 E，OFAD，垂足为 F，则四边形 AECB 是矩形，CE=AB=2cm，DE=CDCE=42=2cm，AOD=90，AO=OD，所以AOD 是等腰直角三角形，

28、AO=OD，OAD=ADO=45，BO=CD，ABCD，BAD+ADC=180ODC+OAB=90，ODC+DOC=90，DOC=BAO，B=C=90ABOOCD，OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，得 AD=2cm，AO=OD=2cm，SAOD=AODO=ADOF，OF=cm【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质求解18如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（0，4），直线 y=x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，点 M 是直线 AB 上的一个动点，则

29、 PM 长的最小值为15【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短【分析】认真审题，根据垂线段最短得出 PMAB 时线段 PM 最短，分别求出 PB、OB、OA、AB 的长度，利用PBMABO，即可求出本题的答案【解答】解：如图，过点 P 作 PMAB，则：PMB=90，当 PMAB 时，PM 最短，因为直线 y=x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，可得点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（0，3），在 RtAOB 中，AO=4，BO=3，AB=5，BMP=AOB=90，B=B，PB=OP+OB=7，PBMABO，=，即：，所以可得：PM=【点评】本题主要考查了垂线段最短，

30、以及三角形相似的性质与判定等知识点，是综合性比较强的题目，注意认真总结三、精心做一做（本大题共三、精心做一做（本大题共 9 9 小题，满分小题，满分 8484 分）分）19（16 分）用适当的方法解下列方程（1）4x21=0（2）x24x+1=0（配方法）（3）5（x+2）=4x（x+2）（4）x22x3=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法【分析】（1）通过移项，化二次项系数为 1，利用直接开平方法解方程；（2）解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；（3）方程移项分解后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一

31、个为 0 转化为两个一元一次方程来求解；（4）等式的左边利用“十字相乘法”进行因式分解【解答】解：（1）由原方程，得164x2=1，x2=，解得 x1=，x2=；（2）方程变形得：x24x=1，配方得：x24x+4=3，即（x2）2=3，开方得：x2=，则 x1=2+，x2=2（3）移项得：5（x+2）4x（x+2）=0，分解因式得：（54x）（x+2）=0，可得 54x=0 或 x+2=0，解得：x1=，x2=2（4）x22x3=0，（x3）（x+1）=0，则 x3=0 或 x+1=0，解得 x1=3，x2=1【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法

32、，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法20已知 x=1 是方程 x2+mx5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一个根【考点】一元二次方程的解【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x=1 代入关于 x 的一元二次方程 x2+mx5=0，求得 m 的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根【解答】解：设方程的另一根为 x2关于 x 的一元二次方程 x2+mx5=0 的一个根是1，x=1 满足关于 x 的一元二次方程 x2+mx5=0，（1）2m5=0，解得 m=4；又由韦达定理知1x2=5，解得 x2=5即方程的另一根是 5【点评】本题主要考查了一元二次方程的解一元二次方程的

33、根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立21已知：ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）（1）画出ABC 向下平移 4个单位长度得到的A1B1C1，点 C1的坐标是（2，2）；17（2）以点 B 为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC 位似，且位似比为 2：1，点 C2的坐标是（1，0）；（3）A2B2C2的面积是 10 平方单位【考点】作图-位似变换；作图-平移变换【专题】作图题【分析】（1）利用平移的性质得出平移后

34、图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出A2B2C2的面积【解答】解：（1）如图所示：C1（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，A2B2C2是等腰直角三角形，A2B2C2的面积是：20=10 平方单位故答案为：10【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键22如图，在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 318（1）求O 的半径；（2）若点 P 是 AB 上的

35、一动点，试求线段 OP 的取值范围【考点】垂径定理；勾股定理【分析】（1）作 OCAB 于点 C，构造直角三角形，利用勾股定理求得半径即可；（2）最长等于半径，最小等于弦心距【解答】解：（1）作 OCAB 于点 C，圆心 O 到 AB 的距离为 3，OC=3，弦 AB 的长为 8，AC=BC=4，OA=5，O 的半径为 5；（2）点 P 是 AB 上的一动点，3PO5【点评】本题考查了垂径定理的知识，平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，需要同学们熟练掌握23如图，在ABC 中，AB=AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若

36、 AB=10，BC=12，当 PDAB 时，求 BP 的长【考点】相似三角形的判定与性质【分析】（1）易证APD=B=C，从而可证到ABPPCD，即可得到=，即ABCD=CPBP，由 AB=AC 即可得到 ACCD=CPBP；（2）由 PDAB 可得APD=BAP，即可得到BAP=C，从而可证到BAPBCA，然后运用相似三角形的性质即可求出 BP 的长【解答】解：（1）AB=AC，B=CAPD=B，APD=B=C19APC=BAP+B，APC=APD+DPC，BAP=DPC，ABPPCD，=，ABCD=CPBPAB=AC，ACCD=CPBP；（2）PDAB，APD=BAPAPD=C，BAP=C

37、B=B，BAPBCA，=AB=10，BC=12，=，BP=【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明 ACCD=CPBP 转化为证明 ABCD=CPBP 是解决第（1）小题的关键，证到BAP=C 进而得到BAPBCA 是解决第（2）小题的关键24万圣节两周前，某商店购进 1000 个万圣节面具，进价为每个 6 元，第一周以每个 10元的价格售出 200 个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个 10 元的价格销售可售出 400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价 x 元销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 100

38、 个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出（1）当单价降低 2 元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利 1300 元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？【考点】一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】（1）第二周的销售量=400+100 x利润=售价成本价；（2）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可【解答】解：（1）第二周的销售量为：400+100 x=400+100 x=400+1002=600总利润为：200（106）+（86）600+200（46）=1600答：当单

39、价降低 2 元时，第二周的销售量为 600 和售完这批面具的总利润 1600；（2）由题意得出：200（106）+（10 x6）（400+100 x）+（46）（1000200）（400+100 x）=1300，整理得：x22x3=0，解得：x1=3；x2=1（舍去），103=7（元）20答：第二周的销售价格为 7 元【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键25如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，在 CD 边上取点 P 使 CP=BM，连接 NP，BP（1）求证：四

40、边形 BMNP 是平行四边形；（2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？请说明理由【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质【分析】（1）根据正方形的性质可得 AB=BC，ABC=C，然后利用“边角边”证明ABM和BCP 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AM=BP，BAM=CBP，再求出 AMBP，从而得到 MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM 和MCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再求出AMQABM

41、，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=C，在ABM 和BCP 中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AMBP，AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，AMMN，且 AM=MN，MNBP，四边形 BMNP 是平行四边形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ，又ABC=C=90，ABMMCQ，21=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC【点评】本题考查了相似三角形的判定与性

42、质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出AMQABM 是解题的关键26阅读下面短文：如图，ABC 是直角三角形，C=90，现将ABC 补成矩形，使ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1=S2（填“”“=”或“”）（2）如图，ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 1 个，利用图把

43、它画出来（3）如图，ABC 是锐角三角形且三边满足 BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 3 个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【考点】矩形的性质【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等（2）可仿照图 2 矩形 ABFE 的画法得到矩形由于C 非直角，所以只有一种情况（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可【解答】解：（1）=22（2）1（3）3

44、（4）以 AB 为边长的矩形周长最小，设矩形 BCED，ACHQ，ABGF 的周长分别为 L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c易得三个矩形的面积相等，设为 S，L1=+2a；L2=+2b；L3=+2cL1L2=2（ab）而 ab0，abs0，ab0L1L20，L1L2，同理可得 L2L3以 AB 为边长的矩形周长最小【点评】注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法27如图，RtABC 中，C=90，AB=15，BC=9，点 P，Q 分别在 BC，AC 上，CP=3x，CQ=4x（0 x3）把PCQ 绕点 P 旋转，得到PDE，点 D 落在线段 PQ 上（1）求

45、证：PQAB；（2）若点 D 在BAC 的平分线上，求 CP 的长；（3）若PDE 与ABC 重叠部分图形的周长为 T，且 12T16，求 x 的取值范围【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】（1）先根据勾股定理求出 AC 的长，再由相似三角形的判定定理得出PQCBAC，由相似三角形的性质得出CPQ=B，由此可得出结论；（2）连接 AD，根据 PQAB 可知ADQ=DAB，再由点 D 在BAC 的平分线上，得出DAQ=DAB，故ADQ=DAQ，AQ=DQ在 RtCPQ 中根据勾股定理可知，AQ=124x，故可得出 x 的值，进而得出结论；（3）当点 E 在 AB 上时，根据等腰三角形的性

46、质求出 x 的值，再分 0 x；x3 两种情况进行分类讨论【解答】（1）证明：在 RtABC 中，AB=15，BC=9，23AC=12=，=，=C=C，PQCBAC，CPQ=B，PQAB；（2）解：连接 AD，PQAB，ADQ=DAB点 D 在BAC 的平分线上，DAQ=DAB，ADQ=DAQ，AQ=DQ在 RtCPQ 中，PQ=5x，PD=PC=3x，DQ=2xAQ=124x，124x=2x，解得 x=2，CP=3x=6（3）解：当点 E 在 AB 上时，PQAB，DPE=PEBCPQ=DPE，CPQ=B，B=PEB，PB=PE=5x，3x+5x=9，解得 x=当 0 x 时，T=PD+DE

47、+PE=3x+4x+5x=12x，此时 0T；当 x3 时，设 PE 交 AB 于点 G，DE 交 AB 于 F，作 GHFQ，垂足为 H，HG=DF，FG=DH，RtPHGRtPDE，=PG=PB=93x，=，24GH=（93x），PH=（93x），FG=DH=3x（93x），T=PG+PD+DF+FG=（93x）+3x+（93x）+3x（93x）=x+，此时，T18当 0 x3 时，T 随 x 的增大而增大，T=12 时，即 12x=12，解得 x=1；TA=16 时，即x+=16，解得 x=12T16，x 的取值范围是 1x【点评】本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论