第11章李雅普诺夫稳定性分析精选PPT.ppt

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1、第11章李雅普诺夫稳定性分析第1页，此课件共75页哦$1$1 概概 述述稳定性稳定性 当系统受到外界干扰后当系统受到外界干扰后,虽然它的虽然它的原有平衡状态原有平衡状态(相对稳定性相对稳定性)被破坏被破坏,但在但在外部干扰去掉后外部干扰去掉后,仍有能力自动地在另一仍有能力自动地在另一新平衡状态新平衡状态(相对稳定状态相对稳定状态)下继续工作下继续工作下去下去,系统的这种本能通常叫做系统的稳系统的这种本能通常叫做系统的稳定性定性.第2页，此课件共75页哦 电机自动调速系统中保持电机转速电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力为一定的能力 火箭飞行中保持航行为一定的能火箭飞行中保持航行为一定的能

2、力能力力能力 电压自动调节系统中保持电机电压电压自动调节系统中保持电机电压为恒定的能力为恒定的能力第3页，此课件共75页哦第4页，此课件共75页哦第5页，此课件共75页哦第6页，此课件共75页哦$2$2 李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定第7页，此课件共75页哦一、李雅普诺夫意义下的稳定性的定义一、李雅普诺夫意义下的稳定性的定义第8页，此课件共75页哦.,为给定的常数为给定的常数其中其中d de e)t(t X-)t,x(t,0e00e e F FeX-X d d:)(它的范数为它的范数为件可以画出一个球域件可以画出一个球域设对应于系统的初始条设对应于系统的初始条d dS,)t,x(

3、t,),()(00其范数为：其范数为：的所有各点的球域的所有各点的球域的解的解是含有方程是含有方程e eF F=txfXS&第9页，此课件共75页哦1.1.李雅普诺夫稳定李雅普诺夫稳定 ,恒有恒有时时使得当使得当若系统若系统 稳定的。稳定的。李雅普诺夫意义下李雅普诺夫意义下是是则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态Xe),(t X-)t,x(t,0e00te&),(txfX=则称这种平衡状态为一致稳定的平衡状态。则称这种平衡状态为一致稳定的平衡状态。一般决定球域大小的一般决定球域大小的,0有关有关有关也与有关也与与与ted,0无关时无关时与与 td当当第10页，此课件共75页哦第11页，此课件共

4、75页哦2.2.渐近稳定性渐近稳定性第12页，此课件共75页哦3.3.大范围内的渐近稳定大范围内的渐近稳定第13页，此课件共75页哦说明：第14页，此课件共75页哦4.4.不稳定性不稳定性第15页，此课件共75页哦二、标量函数的正定性定义二、标量函数的正定性定义第16页，此课件共75页哦第17页，此课件共75页哦第18页，此课件共75页哦第19页，此课件共75页哦第20页，此课件共75页哦三、二次型赛尔维斯特准则第21页，此课件共75页哦第22页，此课件共75页哦第23页，此课件共75页哦定理：第24页，此课件共75页哦第25页，此课件共75页哦第26页，此课件共75页哦第27页，此课件共75

5、页哦$3 判别稳定性的李雅普诺夫方法一、李氏第一法（间接法）第28页，此课件共75页哦状态。时，系统处于临界稳定）（当）决定，（由高次项征值，则系统的稳定性的特征值中含有零特，一次近似处不稳定具有正实部，则系统在的特征值至少有一个，一次近似处稳定则系统在的特征值具有负实部，一次近似0AAXX )3(0XAAXX )2(0XAAXX (1)ee=XBXB&第29页，此课件共75页哦二、李氏第二法（直接法）二、李氏第二法（直接法）为负定为负定为正定为正定并满足：并满足：函数函数 2 1 ),(txV则在状态空间原点处的平衡状态是一致渐近稳定的如果随着Xt)V(x,则在原点处的平衡状态是大范围内的渐

6、近稳定。第30页，此课件共75页哦X(0)第31页，此课件共75页哦第32页，此课件共75页哦且满足条件偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶设系统的状态方程为定理:),(),(X:2.正定),(.1txVtxVtxf=&负半定.2.3及任意对任意000),(tttxtF时不恒为零。在。其中)0),0(（tf=第33页，此课件共75页哦第34页，此课件共75页哦第35页，此课件共75页哦解法二：解法二：第36页，此课件共75页哦第37页，此课件共75页哦第38页，此课件共75页哦第39页，此课件共75页哦第40页，此课件共75页哦第41页，此课件共75页哦第42页，此课件共75页哦第43页，此课

7、件共75页哦第44页，此课件共75页哦$5 应用李雅普诺夫方法分析线性系统的稳定性一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析存在或实对称阵正定的赫米特矩阵有一个或实对称阵个正定的赫米特矩阵的矩阵。给定一为的矩阵，而为其中设系统的状态方程为定理PnnAnX)()(*1*.1AXX=&第45页，此课件共75页哦可选为李氏函数。处是大范围渐近稳定的。则的唯一解，则系统在平衡状态它是方程PXXxVT=)(Xe=0:PA=-PAT+第46页，此课件共75页哦第47页，此课件共75页哦PI-=+PAPAT-=+QPAPAT则通常取是否也是正定的的I=Q,QxV，然后检查满足等式定一个正定的矩阵的符号特征时，首先

8、指在判定说明：:)(.1&第48页，此课件共75页哦沿任意一条轨迹不恒如果QXXVT-=&.3 ：矩阵的积分公式计算算也比较困难可用下面比较高时，其运方程组。当系统的阶数个代数的元素时，需要求解多即计算，求矩阵解李氏方程PPPQPAPAT-=+.2第49页，此课件共75页哦最简单的是：也可以取正半定矩阵，等于零，则Q第50页，此课件共75页哦第51页，此课件共75页哦第52页，此课件共75页哦第53页，此课件共75页哦第54页，此课件共75页哦+-k/(s+1)k/(s+2)1/sry第55页，此课件共75页哦&+-=+-=krxkxxxxxxx313322212&解：由图可得：第56页，此课

9、件共75页哦&+-=+-=krxkxxxxxxx313322212&解：由图可得：第57页，此课件共75页哦第58页，此课件共75页哦=)0,0,0(,0X选取解得平衡状态为令因此&-=+-=2 31332221xkxxxxxxx&第59页，此课件共75页哦第60页，此课件共75页哦第61页，此课件共75页哦第62页，此课件共75页哦第63页，此课件共75页哦第64页，此课件共75页哦第65页，此课件共75页哦第66页，此课件共75页哦第67页，此课件共75页哦第68页，此课件共75页哦第69页，此课件共75页哦第70页，此课件共75页哦第71页，此课件共75页哦第72页，此课件共75页哦第73页，此课件共75页哦第74页，此课件共75页哦第75页，此课件共75页哦