第五节条件概率优秀课件.ppt

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1、第五节条件概率2022/10/61第1页，本讲稿共40页一、条件概率一、条件概率二、关于条件概率的三个定理：二、关于条件概率的三个定理：乘法定理全概率公式与贝叶斯公式乘法定理全概率公式与贝叶斯公式三、小结三、小结第五节条件概率2022/10/62第2页，本讲稿共40页第五节 条件概率一、条件概率的定义一、条件概率的定义 直观上，用来表示在事件A发生的条件下，事件B发生的可能性大小的数，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为P(B|A).例 设有100件的某一批产品，其中有5件不合格品，而5件产品中又有了3件是次品，2件是废品。现任意在100件产品中抽取一件，求 1）抽得的是废品的概

2、率；2）已知抽得的是不合格品,它是废品的概率。2022/10/63第3页，本讲稿共40页解：令B表示“抽得的是废品”这一事件，A表示“抽得的是不合格品”这一事件按古典概率计算易得：由此看到P（B）P（B|A）本例中条件概率P（B|A）是根据条件概率的直观意义计算出来的，但一般地，条件概率如何定义呢？通过简单的运算得：2022/10/64第4页，本讲稿共40页上述关系具有普遍意义：(1)从古典概率看：(2)从频率的稳定性上看：设实验E做了n次，令：nA,nB,nAB分别表示事件A,B及AB在n次试验中发生的次数，那么nAB/nA表示在A发生的那些结果中，B又出现的频率，即：已知A发生的条件下，B

3、发生的条件频率fn(B|A)。如果n足够大，fn(AB)接近P(AB),fn(A)接近P(A),则nAB/nA接近P(B|A),因此，在统计概率中上式亦成立。2022/10/65第5页，本讲稿共40页1 1定义定义:设，A，B是两事件，且P(A)(A)0，称为在事件A发生的条件下事件A发生的条件概率.注注（1）若P(B)0，同样可定义（2）条件概率P（|A）满足概率定义的三条公理，即1.对于每一事件B，有P（B/A）0;2022/10/66第6页，本讲稿共40页2.P（|A）=13.设B1，B2两两不相容，则有2022/10/67第7页，本讲稿共40页 P P（|A|A）=0=0 P P（B|

4、AB|A）=1=1P P（B B|A|A）P(B P(B1 1BB2 2|A)=P(B|A)=P(B1 1|A)+P(B|A)+P(B2 2|A)|A)P(BP(B1 1B B2 2|A)|A)等等等等概率所证明的重要结果都适用于条件概率，例如：(3)P(3)P（B B）与条件概率）与条件概率P P（B|AB|A）的关系：）的关系：P(B)P(B|A)P(B)P(B|A)，P(B)P(B|A),P(B)=P(B|A)P(B)0，则P(AB)=P(A|B)P(B)若P(A)0,则P(AB)=P(B|A)P(A)上述公式可推广到任意有穷多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)(AB

5、)0，则 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)这里，注意到由假设P(AB)0可推得P(A)P(AB)0.一般，设A1,A2,An为n个事件，n2,且P(A1A2An-1)0，则有:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1)二、关于条件概率的三个定理二、关于条件概率的三个定理2022/10/612第12页，本讲稿共40页例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。解：设Ai表示第 i 次取到黑球在利用条件概率求无条件P时，条件P往往用古典概型计算。2022/10/613第13页，本讲稿共

6、40页例2.设某同学眼镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜落下三次而未打破的概率。解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。因为B=123，故有 P(B)=P(123)=P(1)P(2|1)P(3|12)=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/2002022/10/614第14页，本讲稿共40页 法二，按题意B=A11A212A3而A1，1A2，12A3 是两两互不相容的事件，故有 P(P(B)=P)=P(A(A1

7、1)+P()+P(1 1A A2 2)+P()+P(1 1 2 2A A3 3)2022/10/615第15页，本讲稿共40页例3:设袋中装有r只红球，t只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。解:以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则3，4 分别表示事件第三、四次取到白球。则所求概率为：P(A1A234)=P(4|A1A23)P(3|A1A2)P(A2|A1)P(A1)2022/10/616第16页，本讲稿共40页 例例3 一袋中装有一袋中装有a只白球，

8、只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率次，试求三次均为黑球的概率 解解 设设A=三次取出的均为黑球三次取出的均为黑球，Ai=第第i次取出的是黑球次取出的是黑球，i=1,2,3，则有，则有 A=A1A2A3由题意得由题意得故故 上述概率显然满足不等式上述概率显然满足不等式 P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.2022/10/617第17页

9、，本讲稿共40页 这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大所以，卜里耶模从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型2022/10/618第18页，本讲稿共40页将复杂问题适当的分解

10、为若干简单问题，从而逐一解决，是常用的工作方法。全概率公式就是这种方法在概率论上的体现。2022/10/619第19页，本讲稿共40页先介绍样本空间的划分的定义。定义定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一组事件，若（1 1）BiBj=,=,i j,i,j=1,2,=1,2,n;,n;（2 2）B B1 1BB2 2BBn n=S S，则称B1，B2，,Bn为样本空间S的一个划分。例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为=1，2，3，4，5，6。E的一组事件B1=1，2，3，B2=4，5，B3=6是的一个划分，而事件组C1=1，2，3，C2=3，4，C3=5，6不

11、是S的划分。任意试验的基本事件组构成样本空间的一个划分。2022/10/620第20页，本讲稿共40页 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，Bn为S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2，n)则 P(A)=P(A|BP(A)=P(A|B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A|B)+P(A|B2 2)P(B)P(B2 2)+)+P(A|B+P(A|Bn n)P(B)P(Bn n)称为全概率公式。证：因为A=AS=A（B1B2Bn）=AB1AB2ABn由假设P(Bi)0(i=1,2，n)，且(ABi)(ABj)=，ij，于是 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)=P(A

12、|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn)2.2.全概率公式全概率公式2022/10/621第21页，本讲稿共40页图示图示化整为零化整为零各个击破各个击破 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，Bn为S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2，n)则 P(A)=P(A|BP(A)=P(A|B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A|B)+P(A|B2 2)P(B)P(B2 2)+)+P(A|B+P(A|Bn n)P(B)P(Bn n)称为全概率公式。2.2.全概率公式全概率公式2022/10/622第22页，本讲稿共40页说明说明 全概率公式的主要用处在于

13、它可以将一个复全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率分解为若干个简单事件的概率计算问题计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.2022/10/623第23页，本讲稿共40页例 一箱同类型的产品,由三家工厂生产,其中1/2由甲厂生产,乙丙厂各生产1/4,又甲乙厂生产的产品均有2%的次品率,丙厂有4%的次品率,求1)任取一产品是次品的概率P(A);2)任取一产品是次品且恰是由甲厂生产的概率P(AB1);3)任取一产品发现是次品,问它是由甲厂生产的概率P(B1|A)甲B1乙B2丙B3解:S=箱中的

14、全部产品A:任取一产品是次品,Bi:取到的产品分别是由甲,乙,丙厂生产的.由题意:P(B1)=1/2,P(B2)=P(B3)=1/4,2022/10/624第24页，本讲稿共40页P(A|B1)=P(A|B2)=2/100;P(A|B3)=4/100且BiBj=,i j,i,j=1,2,3.B1B2B3=S1)由全概率公式 P(A)=P(A|BP(A)=P(A|B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A|B)+P(A|B2 2)P(B)P(B2 2)+P(A|B)+P(A|B3 3)P(B)P(B3 3)=0.025.=0.025.2)由乘法公式 P(A BP(A B1 1)=P(A|B)=P(

15、A|B1 1)P(B)P(B1 1)=0.01.=0.01.3)P(BP(B1 1|A)=P(B|A)=P(B1 1A)/P(A),A)/P(A),由上面计算为0.4.2022/10/625第25页，本讲稿共40页小结:利用全概率公式求P(A)P(A)时,关键是1)找到S的一个划分B1，B2，Bn,A总随着Bi出 现,而P(A|BP(A|Bi i)及P(BP(Bi i)容易求出.2)这个公式还可以从另外一个角度去理解，把Bi看成导致事件A发生的一种可能途径。对于不同的途径，A发生的概率即条件概率P（A/Bi）各不同，而采取哪个途径却是随机的。直观上易理解，在这种机制下，A的综合概率P（A）应在

16、最小的P（A/Bi）和最大的P（A/Bi）之间，它也不一定是所有P（A/Bi）的算术平均，因为各途径被使用的机会P（Bi）各不同，正确的答案就是诸P（A/Bi）I=1,2,n为权的加权平均值。2022/10/626第26页，本讲稿共40页 3)全概率公式还可以从另外一个角度去理解，B1B2Bn原因A结果P P（B Bi）全概公式P(A)P(A)=P(A|B=P(A|B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A|B)+P(A|B2 2)P(B)P(B2 2)+)+P(A|B+P(A|Bn n)P(B)P(Bn n)加权平均值2022/10/627第27页，本讲稿共40页例 盒中12个乒乓球，9个没用

17、过，第一次比赛从盒中任取3个球，用后放回，第二次比赛再从盒中任取3个球，求：第二次比赛时所取的3个球都是没用过的概率。解：设A:第二次比赛时所取的3个球都是没用过的;Bi:第一次比赛时所取的3个球恰有i个是没用过的。则A的发生依赖于Bi的情况，Bi构成了任取3个球这一试验的样本空间的一个划分。2022/10/628第28页，本讲稿共40页于是2022/10/629第29页，本讲稿共40页定理：设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B1，B2，Bn为S的一个划分，且P（A）0，P（Bi i）0（i=1，2，n），则 i=1，2，n.称为贝叶斯（Bayes）公式。证：由条件概率的定义及全概率公式有

18、i=1，2，n3.3.贝叶斯公式贝叶斯公式2022/10/630第30页，本讲稿共40页 例1:某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率及提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志（1）在仓库中随机地取一只晶体管求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。2022/10/631第31页，本讲稿共40页解:设A表示“取到的是一只次品”，Bi i(i=1,2,3)表示“所

19、取到的产品是由第i家工厂提供的”，易知，B1，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05，P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03（1）由全概率公式 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.0125（2）由贝叶斯公式 P（B2|A）=0.64，P（B3|A）=0.122022/10/632第32页，本讲稿共40页例2:对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器

20、调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？解:设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，所需求的概率为P(B|A)，由贝叶斯公式先验概率后验概率2022/10/633第33页，本讲稿共40页例3:据调查某地区居民的肝癌发病率为0.0004，若记“该地区居民患肝癌”为事件B1并记B2=B1,则 P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996 现用甲胎蛋白法检查肝癌，若呈阴性，表明不患肝癌，若呈阳性，表明患肝癌，由于技术和操作不完善以及种种特殊原因，是肝癌者还未必检出阳性，

21、不是患者也有可能检出呈阳性，据多次实验统计这二者错误发生的概率为：P（A|B1）=0.99,P（A|B2）=0.05 其中事件A表示“阳性”，现设某人已检出呈阳性，问他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？解：2022/10/634第34页，本讲稿共40页 在实际中，医生常用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人，当医生怀疑某人有可能患肝癌时，才建议用甲胎蛋白法检验。这时在被怀疑的对象中，肝癌的发病率已显著提高了，比如说P（B1）=0.4，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。2022/10/635第35页，本讲稿共40页B1B2Bn原因A结果

22、P P（B Bi）P(A)P(A)=P(A|B=P(A|B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A|B)+P(A|B2 2)P(B)P(B2 2)+)+P(A|B+P(A|Bn n)P(B)P(Bn n)加权平均值全概公式2022/10/636第36页，本讲稿共40页 贝叶斯公式的解释：P(B1)，P(B2)，它是在没有进一步的信息（不知A是否发生）的情况下，人们对B1，B2，发一可能性大小的认识，现在有了新的信息（知道A发生），人们对B1，B2发生可能性大小有了新的估价。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式作用在于“由结果推原因”，现在有一个“结果”A发生了，在众多可能的“原因”中，到底是哪一个导致了这个结果？这是一个在日常生活和科学技术中常要问的问题。2022/10/637第37页，本讲稿共40页1.条件概率条件概率全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式三、小结三、小结乘法定理乘法定理2022/10/638第38页，本讲稿共40页2022/10/639第39页，本讲稿共40页