商洛学院教案《数学分析》.doc

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1、商洛学院教案数学分析之六第六章 微分中值定理及其应用（18+6学时）教学大纲教学要求：1 理解并熟练掌握可导函数取得极值的必要条件2 掌握Rolle定理,Lagrange中值定理，Cauchy定理3 熟练掌握LHospital法则，并会利用LHospital法则求不定式的极限4 熟练掌握用导数判断函数单调性的方法，会求函数极值5 掌握函数的凸凹性与二阶导函数的符号之间的关系，会求函数图像的拐点6 掌握求函数的渐近线的方法，会利用导函数、二阶导函数进行函数作图 7 掌握利用中值定理讨论不等式的基本方法教学内容：费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式（拉格朗日型余项及皮业诺型

2、余项），不定式的极限，罗必达法则，函数的单调性，极值，最大值与最小值，曲线的凹性、拐点，渐近线，函数作图。教学重点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。第 页时间-月-日星期-课题1.拉格朗日定理和函数的单调性（4学时）（-）教学目的掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。掌握讨论函数单调性方法；教学重点深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握洛尔、拉格朗日中值定理的证明方法，知道二者之间的包含关系教学难点中值定理；用辅助函数解决问题的方法。课 型 理论课教学媒体教法选择 讲 授 教 学 过 程教法运

3、用及板书要点引言在前一章中，我们以极限为工具讨论了导数的概念，同时详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以导数为工具，研究函数的性态。需要在导数及函数间建立起一一联系搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提

4、出另外一个基本问题：导数有什么用？若函数可导，则它应该有什么特性？ 一， 洛尔定理与拉格朗日定理1.洛尔中值定理 Rolle定理：若f满足如下条件：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。 洛尔中值定理的几何意义：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）洛尔中值定理的证明：此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页例1 若函数在实数集上可导，且，则在实数集上至多有一个实根。证明：反正法洛尔中值定理的三个条件的充分性；2. 拉格朗日中值定理：Lagrange中值定理：若函数f满足以下条件：（1）在上连续；（2）在

5、内可导。则在内至少存在一点，使得。特别地，当时，拉格朗日中值定理就是Rolle定理。证明： 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数（两种方法：按书上给出：或者注意到是的导数，于是令。例2 证明：对一切，有公式推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有.(证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). 定理 ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在

6、内可导. 若极限存在, 则也存在, 且 ( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且. ( 证 )拉格朗日中值定理的几何意义：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线Lagrang定理中涉及的公式：称之为“中值公式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（） ，；（），；（），. 此处，中值公式对ab均成立。此时在a，b之间；（）、（）的好处在于无论a，b如何变化，易于控制。

7、此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页例3. 求分段函数饿导数 的导数思考课本p123 “问题”小结：洛尔中值定理与拉格朗日中值定理的关系作业：p.124 1.2.3此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页时间-月-日星期-课题1.拉格朗日定理和函数的单调性（4学时）（二）教学目的掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。掌握讨论函数单调性方法（续）；教学重点深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握两个中值定理的证明方法，知道二者之间的包含关系教学难点中值定理；用辅助函数解决问题的方法。课 型 理论+实践教学媒体教法选择 讲 练 结 合 教

8、 学 过 程教法运用及板书要点一、 回顾复习洛尔定理与拉格朗日定理及其几何意义回顾证明洛尔定理与拉格朗日定理时辅助函数的构造方法，二、函数的单调性定理6.3 设f(x)在区间I上可导，则在I上递增（减）.注 （1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间。例4 设，试讨论函数的单调区间。（2）从实现充分性的证明中发现，若，即f严格递增（减），从而有如下推论：推论 设函数f在区间I上可微，若，则f在I上严格递增（减）。（3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件。定理6.4 若函数f在(a,b)内可导，则f在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（）对一切，有；（）在(a

9、,b)内的任何子区间上。（4）一个问题：f(x)在a,b上有定义，在(a,b)内严格递增（减），那么f(x)在a,b上是否一定严格递增（减）呢？答案：不一定。推论 若f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内严格递增（减），且y=f(x)在右端点a右连续，则f在a,b上变为严格递增（减），对左端点b也有类似讨论。例5 证明等式：当时， 例6 证明：时，例7 已知，证明：至多只有一个根 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页例8 证明方程：只有一个根。例9 证明：当ab0时，。例10 证明：，。例11 设f在0,a一阶连续可微，在(0,a)二阶可微，且存在正数M使，又设f在

10、(0,a)存在稳定点c，证明：。例12设，在连续可微，在（a,b）二阶可微，且，证明：在(a,b)中至少有一个根。例13 已知，证明：至少有一正实根。例14 设，证明于（0,1）中至少有一根。例15 设，在（0,1）可导，证明：若f(0)=f(1)=0，则在（0,1）内存在一点，使得。小结：作业：p124 6.7此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页时间-月-日星期-课题2. Cauchy定理和不定式的极限（4课时）（一教学目的掌握Cauchy中值定理和掌握LHospital法则，或正确运用后者求某些不定式的极限。教学重点正确运用后者迅速正确地求某些不定式的极限；教学难点正确运用

11、LHospital法则后迅速正确地求某些不定式的极限；课 型 理论+实践教学媒体教法选择讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点复习拉格朗日定理的证明方法：Cauchy中值定理是拉格朗日中值订立的推广，Cauchy定理： 设函数 和 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 和 在内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 使 . 证 （辅助函数的构造方法） 分析引出辅助函数. 验证 在 上满足Rolle定理的条件, 使得， 必有 , 因为否则就有 .这与条件“ 和 在内不同时为零”矛盾. Cauchy中值定理的几何意义. 视为曲线的参数；u=f(x)，v=g(x)，xa,b，则以v为横坐标

12、，u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行。 第 页例1设函数在上连续，在内可导，则存在使得。例2 证明: 对 , 有.例3 设函数和 可导且 ，又 则.证明. 二、 不定式的极限什么是不定式极限在第3章函数的极限的学习中我们知道：0(1)+0(1)=0(1)，但不一定是无穷小量，甚至于两个无穷小量极限不存在，例如：（1）当，即；（2）当，即；（3）当，不存在。由此可见，两个无穷小量之比的极限是不确定的，于是我们把这种类型的极限称为“”型的不等式极限。除了型不等式极限外，还有许多类型的不等式极限，如：（）型；（）型；（）型；（）型；（）型；（），型等，其中最基本的是型和型，其它类

13、型都可化成这两种基本类型来解决。2、不定式极限的计算当是型时，困难在于极限商的运算失效！此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页例1 . 在此之前，我们是借助于或等价变换来解决。这两种解决有些问题是有效的，但遗憾的是把化为类型时，或寻求等价变换时往往需要很大的运算量，甚至很难找到等价量。例2 例3 为此，我们引进求解这类极限的更为有效的工具LHospital（洛必达法则）。（有的同学可能会有疑问：既然这么好的工具，为什么不早介绍呢？因为LHospital法则要使用函数的导数，而且其理论依据在中值定理，所以放在中值定理的应用中来讲）。（型极限的）洛必达法则 若函数和满足：（1）；（2

14、）在点 的某空心邻域内两者都可导，且；（3），则。注 （1）将改为时，上述结论都对；（2）是分子，分母分别求导时极限和不同，更不能认为是。（定理的证明）例4 例5 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页3、型极限型不定式极限的LHospital法则 （1）；（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（3），则。注 （1）将改为时；（2）如果，满足条件，则可再次使用该法则。例6 例7 使用型和型求极限的LHospital法则应注意的一些问题：（1）、不能对任何比较类型的极限都用LHospital法则来求解，必须是型和型才可以；（2）、若不存在，就不能用，但这不意味着不存在；（3）、可

15、以使用LHospital法则，但出现循环现象，无法求出结果，此时只能寻求别的方法；（4）、只有当比简单时，用LHospital法则才有价值，否则另找方法，故LHospital法则不是“万能工具”。4、其它类型不定式极限如型、型、型、型、型、型、型等，经过变换，它们一般均可以化为型和型的极限，如下列各例：例8 例9 例10 （为常数）例11 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页例12 例13设，且已知，试求。解 . .5、用LHospital法则求数列极限例14 小结：练习与作业：p.133 1.2.3.4.5 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页时间-月-日星期-课题3

16、. 泰勒公式（4学时）教学目的掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。教学重点 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异； 掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。教学难点Taylor公式课 型理 论教学媒体教法选择讲 授教 学 过 程教法运用及板书要点引入： 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中，讨论过“微分在近似

17、计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点可导，则有有限存在公式；即在附近，用一次多项式逼近函数f(x)时，其误差为。然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中n为多项式次数。为此，有如下的n次多项式：易见：， ，（多项式的系数由其各阶导数在的取值唯一确定）。对于一般的函数，设它在点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：称为函数f在点处泰勒多项式，的各项函数，称为泰勒系数。 第 页 第 页问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为1、带有皮亚诺余项的泰勒公式定理1若函数在点存在直至阶导数，则有，即即函数f在点处的泰勒公

18、式；称为泰勒公式的余项。形如的余项称为皮亚诺（peano）型余项。证 设 , . 应用 Hospital法则 次,并注意到 存在, 就有 . 称 为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为 . 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).注1、若f(x)在点附近函数满足，其中，这并不意味着必定是f的泰勒多项式。但并非f(x)的泰勒多项式。（因为除外，f在x0出不再存在其它等于一阶的导数。）；2、满足条件的n次逼近多项式是唯一的。由此可知，当f满足定理1的条件时，满足要求的多项式一定是

19、f在点的泰勒多项式；3、泰勒公式的特殊情形麦克劳林（Maclauyin）公式： 第 页引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数yf(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当时，误差是较高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来。为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式。2、(1)带Penno余项的Maclaurin公式 公式的证明：例2 写出的Maclaurin公式，并求与的值例3 求在的泰勒公式。例4 小结：作业： p.141 1. 2 第 页时间-

20、月-日星期-课题3. 泰勒公式（4学时）(续)教学目的掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。教学重点 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异； 掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。教学难点Taylor公式（拉格朗日型余项的泰勒公式）课 型理 论教学媒体教法选择讲 授教 学 过 程教法运用及板书要点称为余项.称给出的定量或定性描述的式 为函数的Taylor公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) Taylor中值定理: 定理6.9 设函数 满足条件: 在闭区间 上有直到阶连续导数; 在开区间内

21、有阶导数.则对使 . 证 见p.138(略) 称这种形式的余项 为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式. Lagrange型余项还可写为 . 第 页时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为 .带Lagrange型余项的Maclaurin公式，,，,，,，,，,，,小结： 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开: 1. 直接展开: 例 求 的Maclaurin公式.解， 例 求 的Maclaurin公式.解， , 第 页 例 求函数 的具Peano型余项的Maclaurin公

22、式 . 解， . .例 把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式2.间接展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式. 例 把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 , . 例 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 , 注意, 三、在近似计算中的应用例4 （1）计算e的值，使其误差不超过；（2）证明e为无理数。此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页解 ， 注意到有为使,只要取 . 现取 , 即得数 的精确到 的近似值为 .证 把 展开成具Lagrange型余项的Maclauri

23、n公式, 有 ，反设 是有理数, 即 （、为整数), 就有 整数 +.对 也是整数. 于是, 整数 = 整数整数 = 整数.但由因而当时，不可能是整数. 矛盾.例5 用Taylor多项式逼近正弦函数sinx，要求误差不超过，试求m1和m2两种情形分别讨论x的取值范围。阅读教材p. 140课堂小结练习，作业：p.141 3此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页时间-月-日星期-课题4.函数极值与最大（小）值教学目的会求函数的极值和最值。教学重点弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值

24、；教学难点利用导数求极值的方法课 型理 论 +实践教学媒体教法选择讲授法演示例题教 学 过 程教法运用及板书要点 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征。Fermat定理告诉我们：若函数f在点可导，且为f的极值点，则，即可导函数f在点有极值的话，必有。进一步的问题是：如果yf(x)在点不可导，它有没有可能在点取得极值呢？回答是肯定的，例如y|x|，在x0不可导，但在x0有极小值。综上可见：极值点只可能是下述两种点：（1）；（2）yf(x)在点不可导。把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”。如何来判定一个极值可疑点且又是真正的极值点呢？这正是我们今天要解决

25、的问题。1、极值判别定理6.10（极值的第一充分条件）：设f在点连续，在某邻域U(,)内可导，（1）若当时，；当时，则f在点取得最小值；（2）若当时，；当时，则在点取得极大值；（3）若在和内不变号，则点不是极值点。（证明： 略）若f是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法：此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页定理2（极值的第二充分条件） 设f在点的某邻域U(,)内一阶可导，在x处二阶可导，且，则有：（1）若，则在处取得极大值；（2）若，则在处取得极小值。注 对于二阶导数无法判别的问题，可借助于更高阶的导数来判别。（证明： 用泰勒公式）例1 求的单调区间、极值点和极值。（知识复习：

26、设函数 在区间 内可导. 则在 内 (或) 在 内 ( 或 ).证 ) ) 证 . 定理 设函数 在区间 内可导. 则在 内 ( 或) 对 有 ( 或 ); 在 内任子区间上 ）例2 求的极值点与极值。例3 试求函数的极值注 对于二阶导数无法判别的问题，可借助于更高阶的导数来判别。定理6.12（极值的第三充分条件）设f在的某邻域内存在直到n1阶导函数，在处n阶可导，且，（k1，2，n1），则（1）当n为偶数时，f在取得极值，且当时，取极大值；当时，取极小值；（2）当n为奇数时，f在不取得极值。（该定理的证明类似于定理6.11）此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第 页2、最大值与最小值

27、由连续函数在a,b上的性质，若f在a,b上一定有最大、最小值。这为求连续函数的最大、小值提供了理论保证，问题是如何求出最大、小值呢？函数在a,b上最大（小）值可能在xa或b取得，也可能在(a,b)内取到，若在(a,b)内取得，则最大（小）值点一定是极大（小）值点。于是，为求f在a,b上的最大（小）值，可按以下步骤进行：（1）求出在（a,b）内的点，和y=f(x)在（a，b）内不可导的点，并求出相应的函数值；（2）计算f(a)，f(b)；（3）把上述函数值作比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。例4求函数在上的最大值与最小值。解 函数在闭区间上连续，故必存在最大最小值由于 因此 又因，所以由

28、导数极限定理推知函数在处不可导求出函数在稳定点，不可导点，以及端点的函数值，所以函数在处取最小值，在和处取得最大值,此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页例5剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒，问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？解 设每个小方块边长为，则盒子的容积为 令 在内解得稳定点并由知道为极大值由于在内只有唯一一个极值点，且为极大值点，因此该极大值就是所求的最大值即正方形四个角各剪去一块边长为的小正方形后，能做容积最大的盒子小结：作业:习题1(4),4(3)此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第 页时间-月-日星期-课题5.函数的凹凸性与

29、拐点教学目的掌握讨论函数的凹凸性和方法。教学重点弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。教学难点利用导数研究函数的凸性，利用凸性证明相关命题课 型理 论 +实践教学媒体教法选择讲授法演示例题教 学 过 程教法运用及板书要点引入：上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系。什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性。如函数所表示的曲线是向上凸的，而所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习

30、惯上的称呼是相类似的。或更准确地说：从几何上看，若yf(x)的图形在区间I上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若yf(x)的图形在区间I上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方。如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？在曲线上任取两点A、B，设其坐标分别为、，弦AB在曲线上方，有，可简化为，都有，从而有以下定义：1、凸（凹）函数的定义定义1 设函数f为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点、和任意实数总有，则称f为I上的凸函数。反之，如果总有，则称f为I上的凹函数。注 易证：若一f为区间I上的凸函数，则f为区间I上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可。定义2

31、 设曲线yf(x)在点()处有穿过曲线的切线， 第 页 且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称为曲线yf(x)的拐点。必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点，yf(x)在点的导数不一定存在，如在x0的情形。凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 2、凸函数的特征引理 f为I上的凸函数对于I上任意三点总有：（引理的证明：必要性，充分性）如果f是I上的可导函数，则进一步有：定理6.13（可导函数为凸函数的等价命题） 设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）为I上的增函数；（3）对I上的任意

32、两点总有（该定理的证明有一点小技巧，请学生注意）如果f在I上二阶可导，则进一步有：定理6.14（凸函数与二阶导数的关系） 设f为I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数（），。证法一 ( 用Taylor公式 ) 对 ，设 , 把 在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有 .其中 和 在 与 之间. 注意到, 就有 第 页, 于是 若有上式中,即严格上凸. 若有上式中,即严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有 , 不妨设 ,并设 ,分别在区间 和 上应用Lagrange中值定理, 有, .有 又由， , ， 即 ， 严格下凸.可类证 的情况.例1

33、讨论函数的凸(凹)性区间。 解 由于，因而当时，时第 页从而在(上为凸函数，在)上为凹函数例2 若函数为定义在开区间内的可导的凸(凹)函数，则为的极小(大)值点的充要条件是为的稳定点，即 证 下面只证明为凸函数的情形 必要性已由费马定理可出，现在证明充分性 由定理613，任取内的一点，它与一起有 因，故对任何总有， 即为在内的极小值点（而且为最小值点）例3 (詹森(Jensen)不等式) 若为上的凸函数，则对及且，有 （6）证 应用数学归纳法当时，命题显然成立设时命题成立即对任意及 都有现设及及，且令 则 由数学归纳法假设可推得 这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式(8)成立 第 页小结：

34、函数凸性的定义及等价命题对具体的函数套用Jensen不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例如 证明: 对 有不等式.作业：p.153.习题 1. 5 练习： p. 153 习题 2. 3. 4时间-月-日星期-课题6.函数图象的讨论教学目的使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图形教学重点描绘函数的图形教学难点曲线各种特征的讨论课 型理论+实践教学媒体教法选择讲授+演示+练习教 学 过 程教法运用及板书要点引入：在中学里

35、，我们重要依赖描点作图画出一些简单函数的图形，一般来说，这样得到的图形比较粗糙，无法确切反映函数的性态（如单调区间，极值点，凸性区间，拐点等）。这一节里，我们将综合应用在本章前几节学过的方法，再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识，较完美地作出函数的图形。例 讨论函数（x0）的性态，并作出其图形作函数图形的一般程序 （1）求函数的定义域；（2）考察函数的奇偶性、单调性、对称性等函数一些重要性质；（3）求函数的某些特殊点，如与坐标轴交点，不连续点，不可导点；（4）确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；（5确定渐近线；（6）综合以上讨论画出函数图形。例1 讨论函数的性态，并作出图形。（学生在练习本上做，教师在黑板演示）解由于可见此曲线与坐标轴交于(1，0)，(1，0)，(0，1)三点求出导数： 第 页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页 由此得到稳定点，不可导点1但因函数在处连续， ， 所以在=1处有垂直切线 再求二阶导数，可得 列表如下：1+0-+不存在-不存在-凸增拐点（-1，0）凹增极大值凹减极小值0凹增讨论 曲线有渐