2023届高三数学专项练习利用导函数研究切线单调性问题(选填压轴题)含答案.pdf

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1、2023届高三数学专项练习利用导函数研究切线，单调性问题(选填压轴题)2023届高三数学专项练习利用导函数研究切线，单调性问题(选填压轴题)一、切线问题一、切线问题已知切线几条求参数公切线问题已知切线几条求参数公切线问题和切线有关的其它综合问题和切线有关的其它综合问题二、单调性问题二、单调性问题已知单调区间求参数由函数存在单调区间求参数已知单调区间求参数由函数存在单调区间求参数已知函数在某区间上不单调求参数已知函数在某区间上不单调求参数利用函数的单调性比大小利用函数的单调性比大小一、切线问题一、切线问题已知切线几条求参数已知切线几条求参数1.(2022全国高三专题练习)(2022全国高三专题练

2、习)若过点(a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则()A.alnbB.blnaC.lnbaD.lnab2.(2022山东泰安高二期中)(2022山东泰安高二期中)过曲线 C:f x=x3-ax+b 外一点 A 1,0作 C 的切线恰有两条，则()A.a=bB.a-b=1C.b=a+1D.a=2b3.(2022河南洛阳三模(理)(2022河南洛阳三模(理)若过点 P 1,t可作出曲线 y=x3的三条切线，则实数 t 的取值范围是()A.-,1B.0,+C.0,1D.0,14.(2022四川南充三模(理)(2022四川南充三模(理)已知函数 f x=x+1x，过点 P 1,0作函数 y=f x

3、图象的两条切线，切点分别为M，N则下列说法正确的是()A.PMPNB.直线MN的方程为2x-y+1=0C.MN=2 10D.PMN的面积为3 25.(2022河北高三阶段练习)(2022河北高三阶段练习)若过点 P(1,m)可以作三条直线与曲线 C:y=xex相切，则 m 的取值范围为()A.-,3e2B.0,1eC.(-,0)D.1e,3e26.(2022内蒙古呼和浩特二模(理)(2022内蒙古呼和浩特二模(理)若过点P-1,m可以作三条直线与曲线 C：y=xex相切，则m的取值范围是()A.-3e2,+B.-1e,0C.-1e,-1e2D.-3e2,-1e7.(2022湖南长郡中学高三阶段

4、练习)(2022湖南长郡中学高三阶段练习)已知 f x=x3-x，如果过点 2,m可作曲线y=f x的三条切线.则下列结论中正确的是()A.-1m8B.0m7C.-3m5D.-2m0且a1)的两条切线，则()A.loganmC.logan=mD.logan与m的大小关系与a有关10.(20222022 山西长治山西长治 模拟预测模拟预测(理理)当a0时，过点(a,a+b)均可以作曲线y=lnx的两条切线，则b的取值范围是()A.(-,-1)B.(-,-1C.(-1,+)D.-1,+)11.(20212021 江苏江苏 高二单元测试高二单元测试)已知 f x=xlnx，若过一点 m,n可以作出该

5、函数的两条切线，则下列选项一定成立的是()A.nmlnmC.2e-en0D.m0可以作曲线y=x3-3x的三条切线，则()A.b-3aB.-3aba3-3aD.b=-3a或b=a3-3a13.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=-x3+2x2-x，若过点P 1,t可作曲线y=f x的三条切线，则t的取值范围是()A.0,130B.0,129C.0,128D.0,127公切线问题公切线问题1.(20222022 重庆市育才中学高三阶段练习重庆市育才中学高三阶段练习)若直线 l:y=kx+b(k 1)为曲线 f x=ex-1与曲线 g x=elnx 的公切线

6、，则l的纵截距b=()A.0B.1C.eD.-e2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若函数y=ax2与y=lnx存在两条公切线，则实数a的取值范围是()A.0,1eB.0,12eC.1e,+D.12e,+3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若两曲线 y=lnx-1 与 y=ax2存在公切线，则正实数 a 的取值范围是()A.0,2eB.12e-3,+C.0,12e-3D.2e,+4.(20212021 江苏江苏 高二专题练习高二专题练习)已知函数 f x=xlnx，g x=ax3-12x-23e，若函数 f x的图象与函数g x的图象在交点处存在

7、公切线，则函数g x在点 1,g 1处的切线在y轴上的截距为()A.-23eB.23eC.-e3+23eD.e2+23e5.(多选多选)()(20222022 河北保定河北保定 二模二模)若直线y=3x+m是曲线y=x3x0与曲线y=-x2+nx-6 x0的公切线，则()A.m=-2B.m=-1C.n=6D.n=76.(20222022 福建泉州福建泉州 高二期中高二期中)函数 f(x)=lnx+mxx+1与 g(x)=x2+1有公切线y=ax a0，则实数m的值为 _7.(20222022 广东广东 执信中学高三阶段练习执信中学高三阶段练习)已知 f(x)=ex-1(e为自然对数的底数)，g

8、(x)=lnx+1，则 f(x)与g(x)的公切线条数为_8.(20222022 黑龙江黑龙江 牡丹江一中高二阶段练习牡丹江一中高二阶段练习)若两曲线y=lnx-1与y=ax2存在公切线，则正实数 a的取值范围是_.9.(20212021 江苏江苏 高二专题练习高二专题练习)曲线 f x=ax2(a0)与g x=lnx有两条公切线，则a的取值范围为_和切线有关的其它综合问题和切线有关的其它综合问题1.(20222022 河南南阳河南南阳 高二期中高二期中(理理)若y=ax+b是 f x=xlnx的切线，则a+b的取值范围为()A.-1,+B.1,+C.-,0D.-1,02.(20222022

9、湖北湖北 武汉二中模拟预测武汉二中模拟预测)已知函数 f x=lnx-1x，直线y=mx+n是曲线y=f x的一条切线，则m+2n的取值范围是()A.-3,+B.-,e-3e2 C.-2ln2-4,+D.ln2-54,+3.(20222022 河南河南 南阳中学高三阶段练习南阳中学高三阶段练习(文文)已知函数 f(x)=lnx-1x，直线y=mx+n是曲线y=f(x)的一条切线，则m+2n的取值范围是()A.-3,+B.-2ln2-54,+C.-,e-3e2 D.-2ln2-4,+4.(20222022 安徽安徽 高二期中高二期中)若函数 f x=lnx+ax2的图象上存在与直线x+2y=0垂

10、直的切线，则实数a的取值范围是()A.-,12B.12,+C.-,12D.12,+5.(20222022 广东广东 佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中)已知 f(x)为 R 上的可导的偶函数，且满足 f x-1=-f x+1，则y=f(x)在x=2022处的切线斜率为_.6.(20222022 海南海南 模拟预测模拟预测)已知存在a0，使得函数 f x=alnx与 g x=x2-3x-b的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为_.7.(20212021 四川自贡四川自贡 一模一模(理理)已知函数 f(x)=t2+1t2+2lnx-x+1x，在曲线

11、 y=f(x)上总存在两点 P x1,y1，Q x2,y2，使得曲线在P，Q两点处的切线平行，则x1+x2的取值范围是_二、单调性问题二、单调性问题已知单调区间求参数已知单调区间求参数1.(20222022 四川省峨眉第二中学校高二阶段练习四川省峨眉第二中学校高二阶段练习(理理)若函数 f(x)=x2+ax+1x在12，+上是增函数，则a的取值范围是()A.-1，0B.-1，+)C.0，3D.3，+)2.(20222022 河南河南 南阳中学高二阶段练习南阳中学高二阶段练习(理理)若函数 f x=kx+ln2x在区间 1,3上单调递增，则实数k的取值范围是()A.-13,+B.-16,+C.-

12、1,+D.-,-13.(20222022 江苏省太湖高级中学高二阶段练习江苏省太湖高级中学高二阶段练习)已知函数 f x的定义域为 0，+，若y=f(x)xkkN N*在 0，+上为增函数，则称 f x为“k阶比增函数”若函数 f(x)=m+x2-xlnx为“1阶比增函数，则实数m的取值范围是()A.-,-14B.-,-14C.-14,+D.-14,+4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)函数 f(x)=2x3-ax+6 的一个单调递增区间为 1，+)，则减区间是()A.(-,0)B.(-1,1)C.(0,1)D.(-,1)，(0,1)5.(20222022 全国全国 高

13、三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=2x2-lnx，若 f x在区间 2m,m+1上单调递增，则m的取值范围是()A.14,1B.14,+C.12,1D.0,16.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,cR)，若函数 f(x)在区间-1,0上是单调减函数，则a2+b2的最小值为()A.45B.75C.95D.1157.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若函数 f x=ax3+3x2+x+b a0,bR R恰好有三个不同的单调区间，则实数 a的取值范围是()A.0,3 3,+B.3,+C.0,3D.

14、0,38.(20222022 全国全国 高二课时练习高二课时练习)设函数 f x=12x2-9lnx在区间 a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是A.1,2B.1,3C.1,2D.1,3由函数存在单调区间求参数由函数存在单调区间求参数1.(20222022 江西宜春江西宜春 模拟预测模拟预测(文文)已知函数 f x=x-1ex-mx在区间 2,4上存在单调减区间，则实数 m的取值范围为()A.2e2,+B.-,eC.0,2e2D.0,e2.(20222022 四川成都四川成都 高二期中高二期中(文文)已知函数 f(x)=(x-1)ex-mx在区间x1,2上存在单调增区间，则m的取值范围

15、为()A.(0,e)B.(-,e)C.0,2e2D.-,2e23.(20222022 北京铁路二中高二期中北京铁路二中高二期中)若函数 f(x)=lnx+ax2-2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A.(-,-2B.-18,+C.-2,-18D.(-2,+)4.(20222022 广东广东 深圳市第二高级中学高二期中深圳市第二高级中学高二期中)若函数 f x=lnx+ax2-2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A.-,2B.-18,+C.-2,-18D.-2,+5.(20222022 天津天津 汉沽一中高三阶段练习汉沽一中高三阶段练习)若函数h(

16、x)=lnx-12ax2-2x在1,4上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为()A.-716,+B.(-1,+)C.-1,+)D.-716,+6.(20222022 广西玉林广西玉林 高二期中高二期中(文文)函数 f x=x2-aex在 R 上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是()A.a-1B.a-1C.a-1D.ab+1B.b-1abC.bab+1D.ayzB.xzyC.yxzD.yzx3.(20222022 新疆乌鲁木齐新疆乌鲁木齐 模拟预测模拟预测(文文)设a=2e2，b=ln22，c=ln33，则()A.abcB.acbC.cabD.bca4.(20222022 新疆乌鲁木齐新疆

17、乌鲁木齐 模拟预测模拟预测(理理)设a=e0.2-1,b=ln1.2,c=16，则()A.acbB.bacC.bcaD.cbbcB.acbC.bacD.cba6.(20222022 重庆重庆 万州纯阳中学校高二期中万州纯阳中学校高二期中)若0 x1x2lnx2-lnx1B.ex2-ex1x1ex2D.x2ex1x1ex27.(20222022 内蒙古内蒙古 满洲里市教研培训中心模拟预测满洲里市教研培训中心模拟预测(理理)若对x1，x2 0，t，且x12，则t的最大值是()A.1eB.eC.1D.3e8.(20222022 湖北湖北 模拟预测模拟预测)已知：a=e0.42，b=20.5，c=lo

18、g45，则a、b、c大小关系为()A.bacB.abcC.cabD.bca9.(20222022 江西江西 二模二模(理理)设a=e1.3-2 7,b=4 1.1-4,c=2ln1.1，则()A.abcB.acbC.bacD.cab10.(20222022 四川成都四川成都 高二期中高二期中(理理)已知 a,b,c (0,1)，且 3+lna=a+ln3，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则()A.cbaB.bcaC.acbD.abc利用导函数研究切线，单调性问题利用导函数研究切线，单调性问题(选填压轴题选填压轴题)一、切线问题一、切线问题已知切线几条求参数已知切线几条求参数公切线问

19、题公切线问题和切线有关的其它综合问题和切线有关的其它综合问题二、单调性问题二、单调性问题已知单调区间求参数已知单调区间求参数由函数存在单调区间求参数由函数存在单调区间求参数已知函数在某区间上不单调求参数已知函数在某区间上不单调求参数利用函数的单调性比大小利用函数的单调性比大小一、切线问题一、切线问题已知切线几条求参数已知切线几条求参数1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若过点(a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则()A.alnbB.blnaC.lnbaD.lna0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；当a0时，0 xa时，f(x)a时，f(x)0，f(x)

20、单调递增，所以 f(x)min=f(a)=lna+1，结合图像知b+1lna+1，即blna.故选：D.2.(20222022 山东泰安山东泰安 高二期中高二期中)过曲线 C:f x=x3-ax+b 外一点 A 1,0作 C 的切线恰有两条，则()A.a=bB.a-b=1C.b=a+1D.a=2b【答案】Af x=3x2-a，过点A 1,0作曲线C的切线，设切点 x0,f x0，则切线方程为：y=3x02-ax-1，将 x0,f x0代入得：f x0=3x02-ax0-1=x03-ax0+b即2x30-3x20+a-b=0(*)由条件切线恰有两条，方程(*)恰有两根令u x=2x3-3x2+a

21、-b，u x=6x2-6x=6x x-1，显然有两个极值点x=0与x=1，于是u 0=0或u 1=0当u 0=0时，a=b；当u 1=0时，a-b=1，此时 f x=x3-ax+a-1=x-1x2+x+1-a经过 1,0与条件不符，所以a=b，故选：A.3.(20222022 河南洛阳河南洛阳 三模三模(理理)若过点 P 1,t可作出曲线 y=x3的三条切线，则实数 t 的取值范围是公众号：高中数学最新试题()A.-,1B.0,+C.0,1D.0,1【答案】C由已知，曲线y=x3，即令 f(x)=x3，则 fx=3x2，设切点为(x0,x03)，切线方程的斜率为 fx0=3x02，所以切线方程

22、为：y-x03=3x02(x-x0)，将点P 1,t代入方程得：t-x03=3x02(1-x0)，整理得t=3x02-2x03，设函数g(x)=3x2-2x3，过点P 1,t可作出曲线y=x3的三条切线，可知两个函数图像y=t与g(x)=3x2-2x3有三个不同的交点，又因为gx=6x-6x2，由gx=0，可得x=0或x=1，所以函数g(x)在(-,0)，(1,+)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数g(x)的极大值为g(1)=3-2=1，函数g(x)的极小值为g(0)=0-0=0，如图所示，当t 0,1时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.4.(20222022 四川南充四川南

23、充 三模三模(理理)已知函数 f x=x+1x，过点 P 1,0作函数 y=f x图象的两条切线，切点分别为M，N则下列说法正确的是()A.PMPNB.直线MN的方程为2x-y+1=0C.MN=2 10D.PMN的面积为3 2【答案】C因为 f 1=1+1=2，所以P 1,0没有在函数的图象上，fx=1-1x2=x2-1x2，设切点坐标为 a,ba0，当a=1时，f 1=2，x=1不与 f x=x+1x相切，所以a1，fa=a2-1a2=ba-1，又因为a+1a=b，解得a=-12，即-1-2,-2 2，-1+2,2 2，所以kPMkPN=2 22+22 22-2=-4-1，故A错误；kNM=

24、2 2+2 22 2=2，所以直线MN的方程为y=2 x-1，即2x-y+2=0，故B错误；MN=-1+2+1+22+2 2+2 22=2 10，故C正确；P 1,0到直线MN的距离为d=2-0+24+1=4 55，所以PMN的面积为12MNd=122 10 4 55=4 2，故D错误.故选：C.5.(20222022 河北河北 高三阶段练习高三阶段练习)若过点 P(1,m)可以作三条直线与曲线 C:y=xex相切，则 m 的取值范围为()A.-,3e2B.0,1eC.(-,0)D.1e,3e2【答案】D由y=xex，则y=1-xex，设切点为 x0,x0ex0，则切线斜率k=1-x0ex0则

25、在点 x0,x0ex0的切线方程为y-x0ex0=1-x0ex0 x-x0，代入点P坐标得m-x0ex0=1-x0ex01-x0整理为m=x20-x0+1ex0，即这个方程有三个不等式实根，令 f(x)=x2-x+1ex，则 f(x)=-x2+3x-2ex，令 f(x)0则1x2函数 f(x)在(-,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,+)上单调递减，故得 f(1)m0，解得：-2x-1，所以 f x在-2,-1上递增；令 fx0，解得：x-1，所以 f x在-,-2和-1,+上递增.要使方程m=-x02-x0-1ex0有三个不等根即可.只需 f-2m f-1,即-3e2x-1e.

26、故选：D7.(20222022 湖南湖南 长郡中学高三阶段练习长郡中学高三阶段练习)已知 f x=x3-x，如果过点 2,m可作曲线y=f x的三条切线.则下列结论中正确的是()A.-1m8B.0m7C.-3m5D.-2m7【答案】D设切点为 x0,x30-x0，fx=3x2-1，切线斜率为3x20-1，切线方程为y-x30-x0=3x20-1x-x0，将 2,m代入得方程m-x30-x0=3x20-12-x0，即2x30-6x20+2+m=0，由题设该方程有3个不等实根.令u x=2x3-6x2+2+m，ux=6x2-12x=6x x-2，当x0,当0 x2时,u(x)2时,u(x)0,所以

27、u(x)在(-,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+)上递增,所以u(x)在x=0时取得极大值u(0)=2+m,在x=2时取得极小值u(2)=28-64+2+m=m-6,由三次函数图象知u(0)=2+m0u(2)=m-60,解得-2m6,因为-2m6可以推出,-2m7，所以-2m7也正确.故选：D8.(20222022 河南河南 高三阶段练习高三阶段练习(文文)过点P 0,-1有三条直线和曲线y=x3+ax2+bx bR相切，则实数a的取值范围是()A.1,+B.3,+C.-,1D.-,3【答案】B设直线过点P 0,-1且与曲线y=x3+ax2+bx相切，切点为 x0,x30+ax20+

28、bx0由y=x3+ax2+bx得y=3x2+2ax+b，切线的斜率为3x20+2ax0+b，切线方程为y+1=3x20+2ax0+bx，x30+ax20+bx0+1=3x20+2ax0+bx0，2x30+ax20-1=0设 f x=2x3+ax2-1，由题意，函数 f x有三个零点fx=6x2+2ax，由 fx=0得x=0，或x=-a3当a=0时，函数 f x只有一个零点，舍去；当a0，由 fx0，得x-a3，由 fx0，得0 x-a3所以x=0是函数 f x的极大值点，由于 f 0=-10，同理可得x=-a3是函数F(x)的极大值点，由条件结合三次函数的性质得，f-a3=a327-10，解得

29、a3故选：B9.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若过点(m,n)可以作曲线y=ax(a0且a1)的两条切线，则()A.loganmC.logan=mD.logan与m的大小关系与a有关【答案】D设切点为：(x0,ax0)，则y=ax0lna，所以切线方程为y-ax0=ax0lna x-x0，因为点(m,n)在切线上，所以n-ax0=ax0lna m-x0，即ax0lnax0-lnam-1+n=0，令g x=axlnax-lnam-1+n，则 gx=axlna lnax-lnam，令 gx=0，得x=m，当 xm时，gxm时，gx0，所以当x=m时，g x取得极小值 g

30、m=-am+n，若a1，当xm时，-n=axlnax-lnam-10；若0am时，-n=axlnax-lnam-10且a1)的两条切线，所以-am+n0，即0n0时，过点(a,a+b)均可以作曲线y=lnx的两条切线，则b的取值范围是()A.(-,-1)B.(-,-1C.(-1,+)D.-1,+)【答案】C设过点(a,a+b)的切线与y=lnx相切于 m,n,m0，则有n=lnm1m=n-a+bm-a，消去n得：1-am=lnm-a+b.因为过点(a,a+b)均可以作曲线y=lnx的两条切线，所以关于m的方程1-am=lnm-a+b有两解.即b=am+lnm-a-1有两解.令y1=b,y2=a

31、x+lnx-a-1,x0.只需y1与y2有两个交点.对于y2=ax+lnx-a-1,x0，则y2=-ax2+1x=1x2x-a.令y20，解得：xa；令y20，解得：0 xlna-a.记g a=lna-a,a0，ga=1a-1=1a1-a.令ga0，解得0a1；令ga1；所以g a=lna-a在 0,1上单调递增，在 1,+单调递增.所以g a的最大值为g 1=ln1-1=-1，所以b-1.故选：C11.(20212021 江苏江苏 高二单元测试高二单元测试)已知 f x=xlnx，若过一点 m,n可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是()A.nmlnmC.2e-en0D.m0，由题

32、意可知，方程g t=0有两个不等的实根.gt=1-mt=t-mt.当m0时，对任意的t0，gt0，此时函数g t在 0,+上单调递增，则方程g t=0至多只有一个根，不合乎题意；当m0时，当0tm时，gtm时，gt0，此时函数g t单调递增.由题意可得g tmin=g m=m-mlnm+n-m=n-mlnm0，可得n0可以作曲线y=x3-3x的三条切线，则()A.b-3aB.-3aba3-3aD.b=-3a或b=a3-3a【答案】By=3x2-3设切点P m,m3-3m，切线方程y-m3-3m=3m2-3x-m，切线过点 a,ba0，b-m3+3m=3m2-3a-m，整理得：2m3-3am2+

33、3a+b=0，由于可以作三条切线，所以关于m的方程2m3-3am2+3a+b=0有三个不同的实根，g m=2m3-3am2+3a+b，gm=6m2-6am，令gm=6m2-6am=0，m=0或m=a,a0.函数g m=2m3-3am2+3a+b的增区间为-,0,a,+，减区间为 0,a，所以函数极大值g 0=3a+b，极小值g m=-a3+3a+b，关于m的方程2m3-3am2+3a+b=0有三个不同的实根，所以-a3+3a+b0，所以b3a,-3ab0，得x1或x25，gx0，得23x1，所以g x在-,23，1,+单调递增，23,1单调递减，又g23=2827，g 1=1，g x=t+1有

34、三个解，得1t+12827，即0t 1)为曲线 f x=ex-1与曲线 g x=elnx 的公切线，则l的纵截距b=()A.0B.1C.eD.-e【答案】D设l与 f x的切点为(x1,y1)，则由 fx=ex-1，有l:y=xex1-1+1-x1ex1-1.同理，设l与 f x的切点为(x2,y2)，由gx=ex，有l:y=ex2x+e lnx2-1.故ex1-1=ex2,1-x1ex1-1=e lnx2-1.解得x1=1,x2=e.或x1=2,x2=1.则l:y=x或y=ex-e.因k1，所以l为y=x时不成立.故b=-e，故选：D.2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练

35、习)若函数y=ax2与y=lnx存在两条公切线，则实数a的取值范围是()A.0,1eB.0,12eC.1e,+D.12e,+【答案】D设切线与曲线y=lnx相切于点 t,lnt，对函数y=lnx求导得y=1x，所以，曲线y=lnx在点 t,lnt处的切线方程为y-lnt=1tx-t，即y=1tx+lnt-1，联立y=ax2y=1tx+lnt-1 可得ax2-1tx+1-lnt=0，由题意可得a0且=1t2-4a 1-lnt=0，可得14a=t2-t2lnt，令g t=t2-t2lnt，其中t0，则gt=2t-2tlnt+t=t 1-2lnt.当0t0，此时函数g t单调递增，当te 时，gt0

36、，此时函数g t单调递减，所以，g tmax=ge=e2.且当0t0，当te时，g t0，如下图所示：由题意可知，直线y=14a与曲线y=g t有两个交点，则014a12e.故选：D.3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若两曲线 y=lnx-1 与 y=ax2存在公切线，则正实数 a 的取值范围是()A.0,2eB.12e-3,+C.0,12e-3D.2e,+【答案】B设公切线与曲线y=lnx-1和y=ax2的交点分别为 x1,lnx1-1，x2,ax22，其中x10，对于y=lnx-1有y=1x，则y=lnx-1上的切线方程为y-lnx1-1=1x1x-x1，即y=x

37、x1+lnx1-2，对于y=ax2有y=2ax，则y=ax2上的切线方程为y-ax22=2ax2x-x2，即y=2ax2x-ax22，所以1x1=2ax2lnx1-2=-ax22，有-14ax21=lnx1-2，即14a=2x21-x21lnx1x10，令g x=2x2-x2lnx，gx=3x-2xlnx=x 3-2lnx，令gx=0，得x=e32，当x 0,e32时，gx0，g x单调递增，当x e32,+时，gx0，g x单调递减，所以g xmax=g e32=12e3，故01e时h x0，h x递增；当0 x1e时h x0与曲线y=-x2+nx-6 x0的公切线，则()A.m=-2B.m

38、=-1C.n=6D.n=7【答案】AD解：设直线y=3x+m与曲线y=x3x0相切于点 a,a3，与曲线y=-x2+nx-6 x0相切于点 b,3b+m，对于函数y=x3x0，y=3x2，则3a2=3 a0，解得a=1，所以13=3+m，即m=-2.对于函数y=-x2+nx-6 x0，y=-2x+n，则-2b+n=3 b0，又-b2+nb-6=3b-2，所以-b2+b 3+2b-6=3b-2，又b0，所以b=2，n=7.故选：AD6.(20222022 福建泉州福建泉州 高二期中高二期中)函数 f(x)=lnx+mxx+1与 g(x)=x2+1有公切线y=ax a0，则实数m的值为 _【答案】

39、4根据题意，函数 f x=lnx+mxx+1与g x=x2+1有公切线y=ax(a0)，设切点分别为F(x1，y1)，G(x2，y2)，f(x)=1x+m(x+1)2,g(x)=2x；所以a=2x20且x22+1x2=2x2x2=1,a=2，所以公切线为y=2x，则有lnx1+mx1x1+1=2x11x1+m(x1+1)2=2lnx1+2x12-x1-1=0，设h x=lnx+2x2-x-1(x0)hx=1x+4x-1=4 x-182+1516x0，则h(x)在(0,+)上递增，又h(1)=0，故x1=1，m=4，故答案为：47.(20222022 广东广东 执信中学高三阶段练习执信中学高三阶

40、段练习)已知 f(x)=ex-1(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+1，则 f(x)与g(x)的公切线条数为_【答案】2根据题意，设直线l与 f(x)=ex-1相切于点(m,em-1)，与g(x)相切于点(n,lnn+1)，对于 f(x)=ex-1，其导数为 f(x)=ex，则有k=f(m)=em，则直线l的方程为y+1-em=em(x-m)，即y=emx+em(1-m)-1，对于g(x)=lnx+2，其导数为g(x)=1x，则有k=g(n)=1n，则直线l的方程为y-(lnn+1)=1n(x-n)，即y=1nx+lnn，直线l是 f(x)与g(x)的公切线，则em=1n(1-m)em-

41、1=lnn，可得(1-m)(em-1)=0，则m=0或m=1，故直线l的方程为y=x或y=ex-1；则 f(x)与g(x)的公切线条数是2条故答案为：28.(20222022 黑龙江黑龙江 牡丹江一中高二阶段练习牡丹江一中高二阶段练习)若两曲线y=lnx-1与y=ax2存在公切线，则正实数 a的取值范围是_.【答案】12e-3,+设公切线与曲线y=lnx-1和y=ax2的交点分别为 x1,lnx1-1，x2,ax22，其中x10，对于y=lnx-1有y=1x，则y=lnx-1上的切线方程为y-lnx1-1=1x1x-x1，即y=xx1+lnx1-2，对于y=ax2有y=2ax，则y=ax2上的

42、切线方程为y-ax22=2ax2x-x2，即y=2ax2x-ax22，所以1x1=2ax2lnx1-2=-ax22，有-14ax21=lnx1-2，即14a=2x21-x21lnx1x10，令g x=2x2-x2lnx，gx=3x-2xlnx=x 3-2lnx，令gx=0，得x=e32，当x 0,e32时，gx0，g x单调递增，当x e32,+时，gx0，g x单调递减，所以g xmax=g e32=12e3，故00)与g x=lnx有两条公切线，则a的取值范围为_【答案】12e,+对y=ax2求导得：y=2ax；对y=lnx求导得：y=1x，设与y=ax2相切的切点为 s,t，与曲线g x

43、=lnx相切的切点为 m,b(a0)，公共切线斜率为2as=1m=t-bs-m，又t=as2，b=lnm，2as=1m=as2-lnms-m，整理得as2-ln 2as-1=0，设 f s=as2-ln 2as-1，则 fs=2as-2a2as=2as2-1s，又a0，s0，当s12a时，fs0，f s单调递增；当s12a时，fs0，故(0,1)上h(x)0，即h(x)递增，h(x)h(1)=0，即xlnx+1，故-2asas2-2as=as(s-2)，显然当s2时 f s0.只要 f12a12e.故答案为：12e,+.和切线有关的其它综合问题和切线有关的其它综合问题1.(20222022 河

44、南南阳河南南阳 高二期中高二期中(理理)若y=ax+b是 f x=xlnx的切线，则a+b的取值范围为()A.-1,+B.1,+C.-,0D.-1,0【答案】C解：设点 x0,x0lnx0(x00)是函数 f x=xlnx图象上任意一点，由 f(x)=lnx+1，f(x0)=lnx0+1，所以过点 x0,x0lnx0的切线方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0)，即y=(lnx0+1)x-x0，a=lnx0+1，b=-x0，所以a+b=lnx0+1-x0令g x=lnx+1-x，x 0,+，所以gx=1x-1=1-xx，所以当0 x0，当x1时gx0)，则g x=2x2+3x-2x

45、3当0 x12时，g x12时，g x0，g x单调递增故g xmin=g12=-2ln2-4，则m+2n的取值范围是-2ln2-4,+故选：C.3.(20222022 河南河南 南阳中学高三阶段练习南阳中学高三阶段练习(文文)已知函数 f(x)=lnx-1x，直线y=mx+n是曲线y=f(x)的一条切线，则m+2n的取值范围是()A.-3,+B.-2ln2-54,+C.-,e-3e2 D.-2ln2-4,+【答案】D设切点为P t,f t，f x=1x+1x2，k=f t=1t+1t2曲线y=f x在切点P t,f t处的切线方程为y-f t=f tx-t，整理得y=1t+1t2x+lnt-

46、2t-1，令x=0，y=mx+n=n=lnt-2t-1，令x=1，y=mx+n=m+n=1t+1t2+lnt-2t-1=1t2+lnt-1t-1，所以m+2n=1t2+2lnt-3t-2令g x=1x2+2lnx-3x-2(x0)，则g x=2x2+3x-2x3当0 x12时，g x12时，g x0，g x单调递增故g xmin=g12=-2ln2-4，则m+2n的取值范围是-2ln2-4,+故选：D.4.(20222022 安徽安徽 高二期中高二期中)若函数 f x=lnx+ax2的图象上存在与直线x+2y=0垂直的切线，则实数a的取值范围是()A.-,12B.12,+C.-,12D.12,

47、+【答案】A由题意得，函数 f x的定义域为 0,+，且 fx=1x+2ax，函数 f x=lnx+ax2的图象上存在与直线x+2y=0垂直的切线，即1x+2ax=2有正数解，即a=-12x2+1x在 0,+上有解，x0，-12x2+1x=-121x-12+1212，a12故选：A5.(20222022 广东广东 佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中)已知 f(x)为 R 上的可导的偶函数，且满足 f x-1=-f x+1，则y=f(x)在x=2022处的切线斜率为_.【答案】0由题设，f(x)=-f(x+2)，则 f(x+2)=-f(x+4)，即 f(x)=f

48、(x+4)，所以 f(x)的周期为4，又 f(x)为R上的可导的偶函数，即 f(0)=0，而 f(x)=-f(x+2)，故 f(0)=-f(2)=0，即 f(2)=0，且 f(x)=f(x+4)，故 f2022=f4505+2=f2=0.故答案为：06.(20222022 海南海南 模拟预测模拟预测)已知存在a0，使得函数 f x=alnx与 g x=x2-3x-b的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为_.【答案】-3解:fx=ax,gx=2x-3令 fx=ax=1，得x=a，切点为 a,alna，令gx=2x-3=1，得x=2，切点为(2,-2-b).切线方程为y-alna=

49、x-a代入，可得-2-b-alna=2-a则b=a-alna-4令h x=x-xlnx-4，则hx=1-lnx-1=-lnx,当0 x0，当x1时，h(x)0，因为在曲线y=f(x)上总存在两点P x1,y1，Q x2,y2，使得曲线在P，Q相两点处的切线平行，所以 fx1=fx2，且x1x2,x10,x20，即 t2+1t2+21x1-1-1x12=t2+1t2+21x2-1-1x22，所以 t2+1t2+21x1-1x2=1x12-1x22=1x1-1x21x1+1x2，所以1x1+1x2=t2+1t2+2，令m=t2+2,m2，则t2=m-2，设h m=m+1m-2,m2，则hm=1-1

50、m2=m2-1m2，当m2时，hm0，所以函数h m在 2,+上递增，所以h mh 2=12所以1x1+1x212，又1x1+1x2=x1+x2x1x2，x1x2x1+x222，又因为x1x2，所以x1x2x1+x2x1+x222=4x1+x2，所以4x1+x28，所以x1+x2的取值范围是 8,+.故答案为：8,+.二、单调性问题二、单调性问题已知单调区间求参数已知单调区间求参数1.(20222022 四川省峨眉第二中学校高二阶段练习四川省峨眉第二中学校高二阶段练习(理理)若函数 f(x)=x2+ax+1x在12，+上是增函数，则a的取值范围是()A.-1，0B.-1，+)C.0，3D.3，