2023年新高考一轮复习讲义第31讲 平面向量基本定理及坐标表示含答案.docx

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1、2023年新高考一轮复习讲义第31讲平面向量基本定理及坐标表示学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2023全国高三专题练习）已知向量，则（）A2B3C4D52（2023全国高三专题练习）若，则的值为（）ABCD3（2022全国高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（）ABCD4（2023全国高三专题练习）在平行四边形中，设，为的中点，与交于，则（）ABCD5（2023全国高三专题练习）已知为坐标原点，若、，则与共线的单位向量为（）AB或C或D6（2023全国高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（）

2、AB2CD17（2023全国高三专题练习）已知在中， ，则（）ABCD18（2022广东高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，若，则（）ABCD9（多选）（2022重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知向量，且，则下列说法正确的是（）ABC的值为2D10（多选）（2022福建三明一中模拟预测）已知向量，其中，下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若与的夹角为钝角，则D若，向量在方向上的投影为11（多选）（2023全国高三专题练习）在中，为中点，且，则（）ABCD12（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）设向量，若，则_13（2023全国高三专题练习）已知向量，向量，若，则实数_.14（2

3、022全国高三专题练习）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则_.15（2022浙江大学附属中学高三阶段练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为_16（2022全国高三专题练习）平面内给定两个向量，.(1)求；(2)若，求实数的值.17（2021江苏沛县教师发展中心高三阶段练习）已知，.(1)若，求D点的坐标；(2)设向量，若与平行，求实数k的值.18（2022全国高三专题练习）如图所示，已知矩形ABCD中，AC与MN相交于点E(1)若，求和的值；(2)用向量表示【素养提升】1（2022全国高三专题练习）在中，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（）A

4、BCD2（2023全国高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则_3（2022全国高三专题练习）如图所示，在ABO中，AD与BC交于点M设，(1)试用向量，表示；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，其中，证明：为定值，并求出该定值试卷第6页，共6页（北京）股份有限第31讲平面向量基本定理及坐标表示学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2023全国高三专题练习）已知向量，则（）A2B3C4D5【答案】D【分析

5、】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D2（2023全国高三专题练习）若，则的值为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意得到，结合，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，因为，可得，解得.故选：A.3（2022全国高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（）ABCD【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以.故选：C.4（2023全国高三专题练习）在平行四边形中，设，为的中点，与交于，则（）ABCD【答案】B【分析】根据题意得，再分析求解即可.【详解】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，所

6、以为三角形的重心，所以.故选：B.5（2023全国高三专题练习）已知为坐标原点，若、，则与共线的单位向量为（）AB或C或D【答案】C【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得【详解】由得，即，与同向的单位向量为，反向的单位向量为故选：C6（2023全国高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（）AB2CD1【答案】A【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，BC/EF，设，则，故选：A.7（2023全国高三专题练习）已知在中， ，则（）ABCD1

7、【答案】A【分析】根据，得到，再根据求解.【详解】解：因为，所以，因为，所以，又，所以，又，所以，得故选：A8（2022广东高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，若，则（）ABCD【答案】A【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.【详解】解：因为在平行四边形中，点、分别满足，所以，所以故选：A9（多选）（2022重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知向量，且，则下列说法正确的是（）ABC的值为2D【答案】BD【分析】先根据向量加法，可直接求出.对选项，直接求出向量和的模，然后验证即可；对选项，直接求出余弦值；对选项，直接求出向量的模；对选项，直接求出正弦值.【详解】根据向量的加法可得

8、：根据诱导公式及同角三角函数的关系，且，解得：.对选项，则有：，故选项错误；对选项，则有：，故选项正确；对选项，则有：故有：，故选项错误；对选项，则有：，故选项正确.故选：BD.10（多选）（2022福建三明一中模拟预测）已知向量，其中，下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若与的夹角为钝角，则D若，向量在方向上的投影为【答案】ABD【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直结合向量的模长公式可判断B选项；由已知且、不共线，求出的取值范围，可判断C选项；利用平面向量的几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则，解得，A对；对于B选项，若，则，所以，B对；对于C选项，若与的夹

9、角为钝角，则，可得，且与不共线，则，故当与的夹角为钝角，则且，C错；对于D选项，若，则，所以，向量在方向上的投影为，D对.故选：ABD.11（多选）（2023全国高三专题练习）在中，为中点，且，则（）ABCD【答案】BC【分析】由已知条件可得点为的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可【详解】因为，则三点共线，且，又因为为中线，所以点为的重心，连接并延长交于，则为的中点，所以，所以故选：BC12（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）设向量，若，则_【答案】【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程,即可求得答案.【详解】因为，所以，解得，故答案为：13（2023全国高三专题练习）已知

10、向量，向量，若，则实数_.【答案】【分析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算【详解】根据题意可知，不共线若，则，使得，即则可得，解得故答案为：14（2022全国高三专题练习）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则_.【答案】【分析】根据题意得，求出，所以，即，求解即可.【详解】因为，所以，又，即，因为点在线段上，所以，三点共线，由平面向量三点共线定理得，即，所以，又是边长为的等边三角形，所以，故.故答案为：.15（2022浙江大学附属中学高三阶段练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为_【答案】【分析】构建以为原点，为x、y轴的直

11、角坐标系，确定相关点坐标并设且()，由向量线性关系的坐标表示列方程得到关于的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值.【详解】由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示：所以，令且()，所以，又，即，所以，而，则，故当时，有最大值.故答案为：16（2022全国高三专题练习）平面内给定两个向量，.(1)求；(2)若，求实数的值.解：(1)由已知，因此，.(2)由已知，因为，则，解得.17（2021江苏沛县教师发展中心高三阶段练习）已知，.(1)若，求D点的坐标；(2)设向量，若与平行，求实数k的值.解：(1)设，又因为，所以，因为，所以，得，所以.(2

12、)由题意得，所以，因为与平行，所以，解得.所以实数的值为.18（2022全国高三专题练习）如图所示，已知矩形ABCD中，AC与MN相交于点E(1)若，求和的值；(2)用向量表示解：(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，所以所以，所以解得(2)设，因为，所以解得，即，所以，又因为M，E，N三点共线，所以，所以【素养提升】1（2022全国高三专题练习）在中，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（）ABCD【答案】B【分析】先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以以AC的中点为

13、原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（1，0），C（1，0），B（，），设P的坐标为，所以，又，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立故选：B2（2023全国高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则_【答案】【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为可知，则，即又，即，即，化简得故答案为：3（202

14、2全国高三专题练习）如图所示，在ABO中，AD与BC交于点M设，(1)试用向量，表示；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，其中，证明：为定值，并求出该定值解：(1)设，由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，则，因为，所以，由平面向量基本定理得，即，同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，则，又，所以，由平面向量基本定理得 即，由得，故；(2)由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且）使得，即，于是，又，所以，由平面向量基本定理得，消去，得，故为定值，该定值为5.试卷第24页，共18页（北京）股份有限第32讲平面向量的数量积及应用举例学校:_姓名：

15、_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022全国高考真题（文）已知向量，则（）A2B3C4D52（2022辽宁大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A30B60C120D1503（2022全国高考真题（理）已知向量满足，则（）ABC1D24（2022山东潍坊模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角若，则等于（）ABCD5（2022江苏南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，且与的夹角为，则（）ABCD36（2022湖南长沙县第一中学模拟预测）已知ABC中，AB=4，AC=6，且，则（）A12B14C16D187（2022北京高考真题）在中，P为所在平面内的动点，且，则

16、的取值范围是（）ABCD8（2022江苏无锡模拟预测）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A、B所在位置如图所示，则最大值为（）A9B10CD9（多选）（2022湖北天门市教育科学

17、研究院模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（）A若，则的值为B若则的值为C若，则与的夹角为锐角D若，则10（多选）（2022山东聊城三模）在平面四边形中，则（）ABCD11（2022全国高考真题（文）已知向量若，则_12（2022全国高考真题（理）设向量，的夹角的余弦值为，且，则_13（2022湖南株洲一模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，则物体的重力大小为_N.14（2022山东青岛二模）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为_.15（2022浙江省杭州学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是

18、_16（2022广东佛山高三期末）菱形中，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），则_，的最小值为_.17（2022全国高三专题练习）在中，设.（1）求证：为等腰三角形；（2）若且，求的取值范围.【素养提升】1（多选）（2022全国高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心；B若，则点为的内心；C若，则点为的外心；D若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心.2（2022江苏常州高级中学模拟预测）设直角，是斜边上一定点满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是_3（2022浙江模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最大值是_4（2022湖北省仙

19、桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段， ，则的取值范围为 _ .5（2022天津市第四中学模拟预测）如图，已知，是直角两边上的动点，则的最大值为_.6（2022浙江温州二模）已知，是非零平面向量，则的最大值是_.7（2022浙江绍兴一中模拟预测）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_试卷第30页，共6页（北京）股份有限第32讲平面向量的数量积及应用举例学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022全国高考真题（文）已知向量，则（）A2B3C4D5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D

20、2（2022辽宁大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A30B60C120D150【答案】C【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为，为单位向量，所以， 又，所以，即，所以，即，所以，所以，因为，所以；故选：C3（2022全国高考真题（理）已知向量满足，则（）ABC1D2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：，又9，故选：C.4（2022山东潍坊模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角若，则等于（）ABCD【答案】D【分析】由向量数量积定义可构造方程求得，由此可得，根据可求得结果.【详解】，又，.故选：D.5（202

21、2江苏南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，且与的夹角为，则（）ABCD3【答案】C【分析】由求解.【详解】解：因为，且与的夹角为，所以，故选：C6（2022湖南长沙县第一中学模拟预测）已知ABC中，AB=4，AC=6，且，则（）A12B14C16D18【答案】B【分析】以，为基底表示，再与求数量积即可【详解】解：，且所以：故选：B.7（2022北京高考真题）在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，因为，所以

22、在以为圆心，为半径的圆上运动，设，所以，所以，其中，因为，所以，即；故选：D8（2022江苏无锡模拟预测）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A、B所在位置如图所示，则最大值为（）

23、A9B10CD【答案】C【分析】由题意可得，设的夹角为，的夹角为，则=-,分在所对的优弧上和在所对的劣弧上两种情况计算即可得答案.【详解】解：如图所示：连接，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，所以可得，所以，在中由余弦定理可得，所以，设的夹角为，的夹角为，= =-,当在所对的优弧上时，所以，=,所以=- ,（其中）所以最大值为；当在所对的劣弧上时，所以，=,所以=- ,（其中）所以最大值为；综上所述：最大值为.故选：C.9（多选）（2022湖北天门市教育科学研究院模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（）A若，则的值为B若则的值为C若，则与的夹角为锐角D若，则【答案】AB【分析】根据向量的数

24、量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可；【详解】解：对于A：若，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时与同向，此时与的夹角为，故C错误；对于D：若，则，即，即，解得，当时，显然，当时，此时，故D错误；故选：AB10（多选）（2022山东聊城三模）在平面四边形中，则（）ABCD【答案】ABD【分析】根据所给的条件，判断出四边形内部的几何关系即可.【详解】因为，可得，所以为等边三角形，则 ，故A正确；因为，所以，又，所以 ，得，所以，则，故B正确；根据以上分析作图如下：由于与不平行，故C错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则，所以，故D正确；故选：AB

25、D.11（2022全国高考真题（文）已知向量若，则_【答案】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.12（2022全国高考真题（理）设向量，的夹角的余弦值为，且，则_【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：13（2022湖南株洲一模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，则物体的重力大小为_N.【答案】20【解析】根据力的平衡有,两边平方后可求出.【详解】由题意知

26、.的夹角为.所以.所以.所以.故答案为:20.14（2022山东青岛二模）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为_.【答案】【分析】已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，又，然后结合平面向量数量积的运算求解即可【详解】解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，又，则，故答案为：15（2022浙江省杭州学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是_【答案】【分析】设出，利用向量数量积运算法则得到，利用求出取值范围.【详解】设，所以,一方面，当且仅当与同向，与同向时取得最大值，另一方面，其中，当且仅当与反向时取得最小值故故答案为：16

27、（2022广东佛山高三期末）菱形中，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），则_，的最小值为_.【答案】 0 【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，设，则，则，；因为，所以，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为故答案为：0，17（2022全国高三专题练习）在中，设.（1）求证：为等腰三角形；（2）若且，求的取值范围.【解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故为等腰

28、三角形，（2）因为，所以，设，因为，所以，所以，所以，又因为，即.【素养提升】1（多选）（2022全国高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心；B若，则点为的内心；C若，则点为的外心；D若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心.【答案】BC【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；【详解】A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定

29、经过的重心，故错误.B：若为的内心，如下图示：，同理，故正确；C：若为的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确；D：由，故，即，动点的轨迹一定经过的垂心，错误.故选：BC2（2022江苏常州高级中学模拟预测）设直角，是斜边上一定点满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是_【答案】【分析】取中点，根据结合可得，再根据三角形中的比例性质求解即可【详解】取中点，则，同理，又，故，即恒成立，所以.作，则为中点，故，所以.又因为直角，故，所以，即斜边上的高是 故答案为：3（2022浙江模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最大值是_【答案】【分析】由已知条件可设，由已知可确定点C在以为圆心，

30、1为半径的圆上，D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），则所求即为圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，从而可得答案.【详解】，又，则可设，设由知C在以为圆心，1为半径的圆上，取的中点为，由,又，所以 所以D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），如图所示作圆N关于x轴的对称圆圆P，其中，则表示圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，所以，即的最大值为故答案为：4（2022湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段， ，则的取值范围为 _ .【答案】【分析】首先在上取一点，使得，取的中点，连接，根据题意得到，再根据的最值求解即可.【详解】在上取一点，使得，取的中点

31、，连接，如图所示：则，即.，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，则，当与重合时，则，所以，即的取值范围为.故答案为：5（2022天津市第四中学模拟预测）如图，已知，是直角两边上的动点，则的最大值为_.【答案】【分析】以点为原点，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，利用三角函数关系表示，的坐标，由题干条件分析可知为的中点，为的中点，即可得到，的坐标，进而得到与，整理可得为关于的函数，利用正弦型函数的性质即可求得最大值.【详解】如图，以点为原点，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，则，在中，所以设，即.由题意可知为的中点，为的中点，所以，所以，所以 （其中，为锐角），所以的最大值为，

32、此时，即，故答案为：6（2022浙江温州二模）已知，是非零平面向量，则的最大值是_.【答案】【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题【详解】由题，令，则,因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，又因为，利用数量积公式展开可得，所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，所以C的横坐标的最大值为，即为在上的投影，最大值为.故答案为：.7（2022浙江绍兴一中模拟预测）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_【答案】【分析】讨论、且、且或2或3，根据的定义及向量数量积的运算律，分别求最小值，即可得结果.【详解】当且时，；当且、时，则，当且仅当时等号成立；同理且、或且、时，的最小值也为；当时，则，由，设，则，所以，当时等号成立.综上，的最小值为故答案为：.