高二物理竞赛电磁学教案.doc

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1、电磁学电磁学是物理学的一个分支。电学与磁学领域有着紧密关系，广义的电磁学可以说是包含电学和磁学，但狭义来说是一门探讨电性与磁性交互关系的学科。 主要研究电磁波，电磁场以及有关电荷，带电物体的动力学等等。电磁学或称电动力学或经典电动力学。之所以称为经典，是因为它不包括现代的量子电动力学的内容。电动力学这样一个术语使用并不是非常严格，有时它也用来指电磁学中去除了静电学、静磁学后剩下的部分，是指电磁学与力学结合的部分。这个部分处理电磁场对带电粒子的力学影响。电磁场理论电磁学的基本理论由19世纪的许多物理学家发展起来，麦克斯韦方程组通过一组方程统一了所有的这些工作，并且揭示出了光作为电磁波的本质。电磁

2、学与相对论电磁学的基本方程为麦克斯韦方程组，此方程组在经典力学的相对运动转换（伽利略变换）下形式会变，在伽里略变换下，光速在不同惯性座标下会不同。保持麦克斯韦方程组形式不变的变换为洛伦兹变换，在此变换下，不同惯性座标下光速恒定。廿世纪初迈克耳孙-莫雷实验支持光速不变，光速不变亦成为爱因斯坦的狭义相对论的基石。取而代之，洛伦兹变换亦成为较伽利略变换更精密的惯性座标转换方式。电磁学的发展静磁现象和静电现象很早就受到人类注意。中国远古黄帝时候就已经发现了磁石吸铁、磁石指南以及摩擦生电等现象。系统地对这些现象进行研究则始于16世纪。1600年英国医生威廉·吉尔伯特(William Gilbe

3、rt，15441603)发表了<论磁、磁饱和地球作为一个巨大的磁体>(Demagnete，magneticisque corporibus et de magnomagnete tellure)。他总结了前人对磁的研究，周密地讨论了地磁的性质，记载了大量实验，使磁学从经验转变为科学。书中他也记载了电学方面的研究。国际单位制电磁学单位国际单位制电磁学单位名称符号量纲物理量安培AA电流库仑CA·s电荷量伏特VJ/C = kg·m2·s3·A1电压欧姆V/A = kg·m2·s3·A2电阻、阻抗、电抗欧姆米·

4、mkg·m3·s3·A2电阻率瓦特WV·A = kg·m2·s3功率法拉FC/V = kg1·m2·A2·s4电容法拉每米F/mkg1·m3·A2·s4电容率倒法拉F1kg1·m2·A2·s4倒电容西门子S1 = kg1·m2·s3·A2电导, 导纳, 电纳西门子每米S/mkg1·m3·s3·A2电导率韦伯WbV·s = kg·m2·s2·A1磁通

5、量特斯拉TWb/m2 = kg·s2·A1磁通量密度、磁感应强度安培每米A/mm1·A磁场强度安培每韦伯A/Wbkg1·m2·s2·A2磁阻亨利HWb/A = V·s/A = kg·m2·s2·A2自感亨利每米H/mkg·m·s2·A2磁导率(无量纲)-磁化率电磁学电 · 磁静电学电荷库仑定律电场电势能高斯定律电势电势差电通量静电感应电偶极矩泊松方程法拉第笼静磁学磁场磁通量磁矩磁矢势毕奥-萨伐尔定律安培定律高斯磁定律电动力学电流洛伦兹力电动势法拉第定律位移

6、电流麦克斯韦方程组电磁场电磁辐射傅科电流坡印亭定理坡印亭矢量电路电压电导电导率电阻电阻率电容电感电抗感抗容抗阻抗电纳导纳共鸣管波导串联电路并联电路基爾霍夫電流定律RC电路RLC电路电压源电流源戴維南定理诺顿定理欧姆定律密勒定理重叠定理张量相对论电磁张量电磁应力能源麦克斯韦应力张量静电学静电学是研究“静止电荷”的特性及规律的一门学科，是电学的领域之一。静电是指静电荷，是称呼电荷在静止时的状态，而静止电荷所建立的电场称为静电场，是指不随时间变化的电场。该静电场对于场中的电荷有作用力。静电现象在公元前六世纪，人类就发现琥珀摩擦后，能够吸引轻小物体的“静电现象”。这是自由电荷在物体之间转移后，所呈现的

7、电性。此外丝绸或毛料摩擦时，产生的小火花，是电荷中和的效果。“雷电”则是大自然中，因为云层累积的正负电荷剧烈中和，所产生的电光、雷声、热量。静电现象包括许多大自然例子，像塑胶袋与手之间的吸引、似乎是自发性的谷仓爆炸、在制造过程中电子元件的损毁、影印机的运作原理等等。当一个物体的表面接触到其它表面时，电荷集结于这物体表面成为静电。虽然电荷交换是因为两个表面的接触和分开而产生的，只有当其中一个表面的电阻很高时，电流变的很小，电荷交换的效应才会被注意到。因为，电荷会被入陷于那表面，在那里度过很长一段时间，足够让这效应被观察到的一段时间。静电现象是由点电荷彼此相互作用的静电力产生的。库仑定律专门描述静

8、电力的物理性质。在氢原子内，电子与质子彼此相互作用的静电力超大于万有引力，静电力的数量级大约是万有引力的数量级的 40 倍。基本概念库仑定律静电学最基本的定律是库仑定律。一个点电荷 作用于另一个点电荷 的静电力 ，可以用库仑定律计算出来。点电荷是理想化的带电粒子。在这里，称点电荷 为源点电荷，称点电荷 为检验电荷。静电力的大小跟两个点电荷之间的距离的平方成反比，跟 、 的乘积成正比，作用力的方向沿连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸：； 其中， C2N1m2是真空电容率， 是从源点电荷 指向检验电荷 的矢量， 是其单位矢量。电场电场 定义为作用于一个检验电荷 的静电力 除以 ：。 从这个定义和库仑

9、定律，一个源点电荷 产生的电场可以表达为。 叠加原理在静电学里，叠加原理阐明，任何两个点电荷的相互作用与其它点电荷无关。因此，给予 个点电荷，我们可以应用库仑定律，单独地计算每一个源点电荷 作用于检验电荷 的静电力 。这样，作用于检验电荷 的总静电力 是。 我们可以得到这便利。原因是库仑定律线性地相依于源点电荷 。将作用力除以检验电荷 ，可以得到电场。所以，总电场 为； 其中， 是源点电荷在检验电荷的位置所产生的电场。类似地，电位也遵守叠加原理：； 其中， 是源点电荷在检验电荷的位置所产生的电位。高斯定律高斯定律阐明，流出一个封闭表面的电通量与这封闭曲面内含的总电荷量成正比。比例常数是真空电容

10、率的倒数。用积分方程形式表达，； 其中， 是无穷小面积元素， 是电荷密度， 是无穷小体积元素。用微分方程形式表达，。 泊松方程综合电位的定义和高斯定律的微分方程，可以给出电位 和电荷密度 之间的关系方程，称为泊松方程：。 给予点电荷的分布资料和充分的边界条件，应用泊松方程，我们可以计算在空间里任何位置的电位 。根据唯一定理，这也是唯一的解答。拉普拉斯方程假若电荷密度是零，则泊松方程变为拉普拉斯方程：。 给予充分的边界条件，应用拉普拉斯方程，我们可以计算在真空里任何位置的电位 。根据唯一定理，这也是唯一的解答。接触起电主条目：接触起电假若两种不同的物质因互相接触而产生静电，则称此为接触起电 (c

11、ontact electrification) 摩擦起电效应 (triboelectric effect) 是一种接触起电效应。在摩擦起电里，两种不同的物质，经过接触、摩擦、分开，这三道程序后，会从原本中性，变为带电体；其中一种物质会带有正电，另外一种物质会带有同样大小的负电。电荷的正负极性和电量，依照材质、表面粗糙、温度、应变等等，各种性质或参数而变化。举例而言，将羊毛摩擦于琥珀，会使琥珀获得负电荷。这性质，最先由米利都学派的创始人泰勒斯纪录于历史文书1，是有纪录以来，人类最早研究的起电现象。其它诸如丝绸与玻璃的摩擦、硬橡胶与毛料的摩擦，都会产生静电。摩擦两种不导电物体会生成大量的静电。但是

12、，不只是摩擦才会造成这样的结果。两种不导电物体，经过接触、分开，两道程序后，也会产生静电。由于大多数的表面都相当粗糙，经过接触比经过摩擦需要更多的时间来完成充电。摩擦增加了两块表面的附着接触。一般而言，绝缘体，不导电的物体，是起电（产生静电）和保留电荷的优良材料。例如，橡胶、塑胶、玻璃等等，都是很优良的起电材料。导电物体也会生成静电。由于导电物体很容易流失电荷，必须在外面特别包上一层绝缘体，才能保留住电荷。特别注意到电流的存在并不会阻止起电、静电力、火花、电晕放电 (corona discharge) 等等静电现象的发生。电荷中和自然的电荷中和现象最常发生于低湿度的季节。这现象偶而会造成一些困

13、扰。但是，在某些特别状况，会变得具有相当的破坏性和摧毁性（例如，电子制造业）。假若因为工作原由，必须直接接触到集成电路电子元件（特别是易损坏的金属氧半导体场效应晶体管 (MOSFET)），或处于易燃气体附近，应该非常小心地避免累积静电和突然放电。电子元件工厂常使用反静电装置 (antistatic device) 来保护电子元件。电荷感应因为电荷感应，纸屑被带电的光碟吸引。主条目：静电感应一个物体内部的电荷，因为受到物体以外的电荷的影响，而重新分布，称此现象为电荷感应。将一个带负电荷的物体 A 移至另一个物体 B 附近时，物体 B 内部离物体 A 较近的区域会带有较多的正电荷。由于正电荷与负电

14、荷相吸引，两个物体会感受到吸引力的作用。例如，用一块羊毛布摩擦一个塑胶气球，这会使气球得到负电荷。将这气球拿到一座墙壁附近。那么，气球会被墙壁吸引而黏在墙壁上。这是因为静电感应，墙壁的自由电子会被气球的负电荷排斥，剩下正电荷。由于塑胶气球的负电荷不容易移动，不会与墙壁的正电荷中和。请参阅数据模拟网页气球与静电。静电感应的原理已经成功地应用于工业界很多年了，对于众多工业有极大的贡献。发展成功的静电油漆系统可以经济地将瓷漆 (enamel paint) 和聚氨酯漆，均匀地油漆于消费品表面，包括汽车、脚踏车等等其它产品。电荷电荷是物质、原子或电子等所带的电量单元。单位是库仑（记号为C）。我们常将“带

15、电粒子”称为电荷，但电荷本身并非“粒子”，只是我们常将它想像成粒子以方便描述。因此带电量多者我们称之为具有较多电荷，而电量的多寡决定了力场（库仑力）的大小。此外，根据电场作用力的方向性，电荷可分为正电荷与负电荷，电子则带有负电。根据库仑定律，带有同种电荷的物体之间会互相排斥，带有异种电荷的物体之间会互相吸引。排斥或吸引的力与电荷的乘积成正比。点电荷点电荷 是带电粒子的理想模型。真正的点电荷并不存在，只有当带电粒子之间的距离远大于粒子的尺寸，或是带电粒子的形状与大小对于相互作用力的影响足以忽略时，此带电体就能称为“点电荷”。一个实际带电体能否看作点电荷，不仅与带电体本身有关，还取决于问题的性质和

16、精度的要求。点电荷是建立基本规律时必要的抽象概念，也是把分析复杂问题时不可少的分析手段。例如，库仑定律、洛伦兹定律的建立，带电体的电场以及带电体之间相互作用的定量研究，试验电荷的引入等等，都应用了点电荷的观念。粒子的电荷库仑扭秤在粒子物理学中，许多粒子都带有电荷。电荷在粒子物理学中是一个相加性量子数，电荷守恒定律也适用于粒子，反应前粒子的电荷之和等于反应后粒子的电荷之和，这对于强相互作用、弱相互作用、电磁相互作用都是严格成立的。库仑定律库仑定律（Coulomb's law），法国物理学家查尔斯·库仑于1785年发现，因而命名的一条物理学定律。库仑定律是电学发展史上的第一个定量

17、规律。因此，电学的研究从定性进入定量阶段，是电学史中的一块重要的里程碑。库仑定律阐明，在真空中两个静止点电荷之间的相互作用力与距离平方成反比，与电量乘积成正比，作用力的方向在它们的连线上，同号电荷相斥，异号电荷相吸。编辑 纯量形式库仑扭秤 (torsion balance) 示意图。库仑使用扭秤来测量两个点电荷彼此互相作用的静电力，从而创立了库仑定律。该图描述了库仑定律的基本原理：同号电荷相互吸引，异号电荷相互排斥。库仑定律的标量形式只描述两个点电荷彼此相互作用的静电力的大小。一个电量为 的点电荷作用于另一个电量为 的点电荷，其静电力 的大小，可以用方程表达为， 其中， 是两个点电荷之间的距离

18、， 是库仑常数1。库仑常数与真空电容率的关系方程为。 正值的 表示排斥力；而负值则表示牵引力1。采用国际单位制，真空电容率 的值是 Fm12。采用厘米-克-秒制，单位电荷 (esu) ，又称为静库仑 (statcoulomb) ，定义为使库仑常数 为 1 的数值。库仑定律的标量公式表明，力量的大小直接地与两个点电荷的电量成正比，又与两个点电荷之间距离的平方成反比。根据实验数据，距离的指数，与 的偏差，低于十亿分之一3！矢量形式给予两个电量分别为 、 ，位置分别为 、 的点电荷。为了要得到点电荷 作用于点电荷 的力量 的大小与方向，必须使用库仑定律的矢量形式：。 假若两个点电荷同性（电荷的正负号

19、相同），则其电量的乘积 是正值，两个点电荷互相排斥。反之，假若两个点电荷异性（电荷的正负号相反），则其电量的乘积 是负值，两个点电荷互相吸引。电场主条目：电场根据洛伦兹力定律，。 其中， 是洛伦兹力， 是电场， 是电荷的运动速度， 是磁场。假设，电荷静止不动：， 则 。所以，一个电量为 ，位置为 的点电荷，所产生的电场 在位置 为。 假若电荷是正值，电场的方向是从点电荷以径向朝外指出；假若是负值，则电场的方向是反方向。电场的单位是 V/m 或 N/C 。离散电荷系统由 个点电荷所组成的一个系统，其作用于一个电量为 ，位置为 的检验电荷的静电力，可以用叠加原理来计算：； 其中， 和 分别是第 个

20、点电荷的电量和位置。连续电荷分布对于一个连续电荷分布，我们可以将将每一个无穷小的空间元素视为一个电量为 的点电荷，做无限求和。这程序等价于连续电荷分布的区域积分。线电荷分布（例如，一根带电的直线）的电量为； 其中， 是位于 的线电荷密度（每单位长度所带的电量）， 是一个无穷小线元素。表面电荷分布（例如，两平行金属板电容器的一片带电的金属板）的电量为； 其中， 是位于 的面电荷密度（每单位面积所带的电量）， 是一个无穷小面积元素。体积电荷分布（例如，一个带电的圆球）的电量为； 其中， 是位于 的体电荷密度（每单位体积所带的电量）， 是一个无穷小体积元素。作用于一个电量为 的检验电荷的静电力 ，可

21、以表达为。 其中， 是检验电荷的位置， 是位于 的无穷小电荷元素。静电近似在上述两种表述里，只有当点电荷是处于固定状态的时候，库仑定律才是完全正确的；假若点电荷处于缓慢的运动状态，则只能说库仑定律是大概正确。这条件称为静电近似。当几个点电荷处于相对运动状态的时候，根据爱因斯坦的相对论，会有磁场产生，这连带地改变了作用于点电荷的力量。物理量表格位于 电荷 作用于位于 电荷 电荷性质关系场性质矢量作用力电场关系标量电势能电势电场电场是存在于电荷周围能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场。在电荷周围总有电场存在；同时电场对场中其他电荷发生力的作用。观察者相对于电荷静止时所观察到的场称为静电场。如果电荷

22、相对于观察者运动，则除静电场外，还有磁场出现。除了电荷可以引起电场外，变化的磁场也可以引起电场，前者为静电场，后者叫做涡旋电场或感应电场。变化的磁场引起电场。所以运动电荷或电流之间的作用要通过电磁场来传递。电场力电场力 是当电荷置于电场中所受到的作用力。或是在电场中为移动自由电荷所施加的作用力。其大小可由库仑定律得出。当有多个电荷同时作用时，其大小及方向遵循矢量运算规则。电场强度电场强度是用来表示电场的强弱和方向的物理量。实验表明，在电场中某一点，试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力与其所带电荷的比值是一个与试探点电荷无关的量。于是以试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力的电场方向为方向，以前述

23、比值为大小的矢量定义为该点的电场强度，常用 E 表示。按照定义，电场中某一点的电场强度的方向可用试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力的电场方向来确定；电场强弱可由试探电荷所受的力与试探点电荷带电量的比值确定。试探点电荷应该满足两个条件；（1）它的线度必须小到可以被看作点电荷，以便确定场中每点的性质；（2）它的电量要足够小，使得由于它的置入不引起原有电场的重新分布。电场强度的实用单位为伏特/米或牛顿/库仑。常用的单位还有伏特/厘米。要注意的是，只要有电荷存在就有静电场存在，电场的存在与否是客观的，与是否引入试探点电荷无关。引入试探点电荷只是为了检验电场的存在和讨论电场的性质而已。正像人们使用天平

24、可以称量出物体的质量，如果不用天平去称量物体，物体的质量仍然是客观存在的一样。由于电场力满足矢量叠加原理，电场强度也满足叠加原理。点电荷产生的电场库仑定律指出：点电荷产生的电场强度与与其所带的电量成正比，并且与距离的平方成反比，离场电荷愈远则电场强度愈弱。· 位于真空中一点 O 的点电荷在某一点 P 产生的电场强度 E(P) 的公式是： 其中 Q: 场电荷量(建立电场的电荷) r: 离电荷的距离：OP : 方向上的单位向量 0: 真空电容率 在与 O 等距的球面上，电场强度的大小相等。点电荷产生的电场是球对称的。电场线在任何电场中，每一点 P 的场强E(P) 都有一定的方向。据此，我

25、们可以在电场中画出一系列曲线，使曲线上每一点的切线方向都和该点的场强方向一致，这些线称为电场线。电场线上标有箭头，表示线上各点切线应取的正方向(即该点的场强方向)。利用电场线，可确定它所通过的每一点的场强的方向，因而也就可以表示出放在该点上的正电荷所受电场力的方向。但要注意，一般情况下，电场线并非是正电荷受电场力作用而运动的轨道。因为电荷运动方向(即速度方向)不一定沿力的方向。为了使电场线不仅能够表示出场强的方向，同时还能够表示出场强的大小，我们在电场中任一点P ，假想作一个面积元S ，与该点场强的方向相垂直，使得通过这面积元所画的电场线条数N满足以下的关系：称为电场线密度，在电场中任一点处的

26、电场线密度在数值上等于该点处场强的大小。密度大的区域，电场线密集，表示该处的场强较强；密度小的区域，电场线较疏稀，表示该处的场强较弱。静电场中的电场线按照上述规定画出来的电场线，有两种性质：1. 因为静电场的电场线表示场强的方向，所以静电场中任何一条电场线，都是起自正电荷(或来自无穷远处)，止于负电荷(或伸向无穷远)，它们不会在没有电荷的地方中断，更不会回到电场线的起始点上的电荷处而形成闭合的回线。 2. 因为在静电场中任何一点(除点电荷所在处以外)，只有一个确定的场强方向，所以任何两条电场线不可能相交。 涡旋电场实验表明，磁场变化时线圈产生的感生电动势与导体的种类、形状、性质和构成均无关，是

27、由磁场本身的变化引起的。因此麦克斯韦提出了“变化的磁场会在其周围的空间激发一种电场，正式这种电场使得闭合回路中产生了感生电动势和感生电流”的理论，并将这种电场称为涡旋电场。电势能电势能是指电荷在电场中具有的势能。一般地，两个物体间的相互作用力的大小与两个物体的相对位置有关时，都可引入势能，如弹性势能、分子势能和重力势能。字面上“势”指的是相对性，所有的势能都是产生力的两个物体所共有的。电荷之间的相互作用力（库仑力）大小与两个电荷的相对位置有关，所以引入了电势能这个概念。在重力场中，重力势能的数值上等于这个物体由所在点移动到重力势能等于0的点的过程中重力对物体所做功。类比知，电场中，电荷具有的电

28、势能数值上等于这个电荷由所在点移动到电势能等于0的电的过程中电场力所做功。规律电场力做负功，电势能增加。反之电势能减少。计算式上式中，W即为电势能，为电势，q指电荷量。高斯定律在电磁学里，高斯定律阐明，流出封闭表面的电通量与封闭曲面内电荷之间的关系，其积分形式为：； 其中， 为电场， 为封闭曲面 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， 为封闭曲面内包含的电荷， 为真空电容率。高斯定律的微分形式为:； 其中， 为电荷密度(单位 C/m3)。在线性材料中，等式变为； 其中； 为材料的电容率。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。此方程是卡尔·

29、高斯在1835年提出的，但直到1867年才发布。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量，例如引力或者辐射强度。参看散度定理。积分形式采用国际单位制，对于空间内的任意体积 ，其表面 ，高斯定律的积分形式可以用方程表达为  其中， 为电场， 为封闭曲面 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， 是在体积 内的总电荷数量。· 电通量 是穿过曲面 的电场线数量： 。 · 包括自由电荷和束缚电荷（在介电质内，因电极化强度而产生的电荷）。 · 是真空电容率。 应用主条目：高斯曲面给予空间的某个区域内，任意位置的电场。原则上，应用高斯定律，可

30、以很容易地计算出电荷的分布。只要积分电场于任意区域的表面，再乘以真空电容率，就可以得到那区域内的电荷数量。但是，更常遇到的是逆反问题。给予电荷的分布，求算在某位置的电场。这问题比较难解析。虽然知道穿过某一个封闭曲面的电通量，这资料仍旧不足以解析问题。在封闭曲面任意位置的电场可能会是非常的复杂。假若，问题本身显示出某种对称性，促使在封闭曲面位置的电场变得一致。那么，我们可以藉著这一致性来计算电场。像圆柱对称、平面对称、球对称等等，这些空间的对称性，都能帮助高斯定律来解析问题。若想知道怎样利用这些对称性来计算电场，请参阅高斯曲面 (Gaussian surface) 。微分形式高斯定律的方程的微分

31、形式为。 在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。自由电荷的高斯定律自由电荷与束缚电荷主条目：电极化自由电荷是自由移动，不被束缚于原子内的电荷；而束缚电荷则是束缚于原子内的电荷。大多数时候，当遇到涉及介电质（可电极化物质）的问题时，我们才会需要考虑到束缚电荷产生的效应。当介电质被置入于外电场时，介电质内的原子的电子，虽然仍旧束缚于原子，会被外电场影响，因而会做微小位移。所有这些微小位移的贡献造成了宏观的净电荷分布，这构成了束缚电荷的效应。虽然微观而言，所有的电荷，不论是自由电荷，还是束缚电荷，基本上都是一样的。实际上，有时候，使用自由电荷会简化问题的解析。

32、但有时候，由于问题比较复杂，缺乏对称性，必须使用束缚电荷来解析问题。积分形式对于空间内的任意体积 ，其表面 ，这个高斯定律表述，可以用积分形式的方程表达为  其中， 为电位移， 为封闭曲面 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， 是在体积 内的自由电荷数量。微分形式只涉及自由电荷，这个高斯定律表述的微分形式可以表达为其中， 是自由电荷密度，完全不包括束缚电荷。请注意，在某种状况下，虽然区域内可能没有自由电荷， 。但是，这并不表示电位移等于 0 。因为，； 其中， 是电极化强度。取旋度于方程的两边，。 所以，电位移很可能不等于 0 。最典型的例子是永电体。在数学里，高斯定律的微分形式等价

33、于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。等价证明对于总电荷的高斯定律等价于对于自由电荷的高斯定律的证明在这段落里，我们会证明高斯定律对于总电荷的方程 ， 等价于高斯定律对于自由电荷的方程。 请注意，我们只处理微分形式，不处理积分形式。但是，这已达成足够条件，因为，依照散度定理，对于总电荷案例和自由电荷案例，微分形式都等价于积分形式。我们先引入电极化强度 ，其与 和 的关系式为 的定义式：。 束缚电荷 的定义式为（参阅电极化）。 注意到 是总电荷：。 现在，思考以下三个方程：、 、   所以，前两个方程相加的代数和等于第三个方程。第一个方程是个定义方程，因定义而成立。那么，第二个

34、方程成立若且惟若第三个方程成立。第二个方程等价于第三个方程。线性介电质线性介电质有一个简单良好的性质，其 和 的关系方程为； 其中， 是物质的电容率。对于线性介电质，又有一对等价的高斯定律表述：、 。 高斯定律与库仑定律的关系从库仑定律推引高斯定律库仑定律阐明，一个固定的点电荷的电场是； 其中， 是点电荷， 是电场位置， 是点电荷位置。根据这方程，计算位于 的无穷小电荷元素所产生的位于 的电场，积分体积曲域 内所有的无穷小电荷元素，可以得到电荷分布所产生的电场：。 取这方程两边对于 的散度：。 注意到； 其中，是狄拉克函数。所以， 的散度是。 利用狄拉克函数的挑选性质，可以得到高斯定律的微分形

35、式：。 由于库仑定律只能应用于固定不动的电荷，对于移动电荷，我们不能从这推引也要求高斯定律成立。事实是，对于移动电荷，高斯定律也成立。所以，从这角度来看，高斯定律比库仑定律更一般化。从高斯定律推引库仑定律严格地说，我们无法单独地从高斯定律推引库仑定律，高斯定律并没有给出任何关于电场的旋度的资料（参阅亥姆霍兹定理和法拉第定律）。但是，假若我们能够添加一个对称性假设，电荷造成的电场是球对称的（就像库仑定律本身一样，在固定不动电荷的状况，这假设是正确的；在移动电荷的状况，这假设是近乎正确的），那么，我们可以从高斯定律推引出库仑定律。高斯定律的方程为。 设定高斯定律积分的曲面 为一个半径 圆球面，圆心

36、位置在电荷 的位置。那么，由于球对称性， ， 与 无关，我们可以将 从积分内提出：。 所以，库仑定律成立：。 电位势在静电学里，电位势（简称电位或电势）定义为单位电荷在静电场的某一位置所具有的电势能。电势为一个纯量，大小取决于电势为零的位置，其数值只具有相对的意义。通常，选取无穷远位置为电势等于零的参考位置。那么，在某一位置的电势，等于电荷从无穷远位置，经过任意路径，等速率地移动到该位置，所做的机械功与电荷量的比值。 电势常用的符号为 或 ，在国际单位制中的度量单位是伏特 (volt) （为了纪念物理学家亚历山卓·伏打而命名）。在电动力学里，当含时电磁场存在的时候，电势可以延伸为广义

37、电势。特别注意，广义电势不能被视为单位电荷的电势能。概念带有电荷的物体称为带电体。一个外电场施加于带电体的力量称为电场力，使带电体朝着电场力的方向，呈加速度运动。对于带有正电荷的物体，电场力与电场的方向相同；对于带有负电荷的物体，电场力与电场的方向相反。电场力的大小与电荷量和电场成正比。力量与势能成正比。随着物体朝着力量的方向呈加速度运动，物体的动能变大，势能变小。例如，一个石头在山顶的势能大于在山脚的势能。随着物体滚落，势能变小，动能变大。对于某种特别力量，科学家可以定义其物理场和其物理场的位势，使得物体因为这物理场而给定的势能，只相依于物体在这物理场的位置。称这种力量为保守力，这种物理场为

38、保守场。例如，引力、静电场的电场力，都属保守力。静电场的标量势称为电势，或称为静电势。电势和磁矢量势共同形成一个四维矢量。处于各种不同运动状况的惯性参考系，可以用洛伦兹变换来计算出这两种位势。数学公式电势 的概念与电势能的概念密切相关：； 其中， 是处于一个电场 的检验电荷 的电势能， 是检验电荷的位置。电势能或电势的数值都只定义至一个加法常数的差别。假若想要设定其数值，则必须先设定在某一个位置（参考位置）的电势能或电势为 0 。那么，在任意位置 的电势 可以用方程定义为； 其中， 是电场， 是从参考位置到位置 的一个任意路径， 是这路径的微小位移。当 时，上述路径积分不相依于路径 ，只相依于

39、路径的两个端点位置。标记这两个端点位置为参考位置 和 ：。 若能够假设无穷远位置 的电势为 0 ，则可以设定无穷远位置为参考位置 ：。 在电场 的作用下，点电荷 所感受到的电场力为 。将它从无穷远位置等速率地移动到位置 所需要做的机械功 为。 所以，在位置 的电势等于机械功除以电荷量的除商：。 换句话说，将一个电荷，从无穷远位置等速率地移动到任意位置所需要做的机械功，除以电荷量，求得的除商，等于在那位置的电势。等价地，逆过来，通过梯度运算，电势决定了电场。 根据高斯定律，电场和电荷密度的关系式为； 其中， 是电荷密度（包括束缚电荷）， 是真空电容率。所以，电势满足泊松方程。 请注意，假若 ，也

40、就是说，电场不是保守的（由于随时间变化的磁场造成的效应；参阅麦克斯韦方程组），则不能使用这些方程。电荷分布所产生的电势采用国际单位制，一个位于 的点电荷 ，相对于在无穷远的电势，所产生在任意位置 的电势为。 对于一群点电荷，应用叠加原理，总电势等于每一个点电荷所产生的电势的叠加。这事实大大地简化了需要的计算，因为电势（标量）的加法比较电场（矢量）的加法简单很多。在一个体积区域 内，源头位置 的电荷密度为 的电荷分布，所产生在检验位置 的电势为； 其中， 是微小体积元素。推广至电动力学假设磁场相依于时间（每当电场相依于时间，则此假设成立。逆过来亦成立），则不能简单地以标量势 描述电场。因为 ，电

41、场不再具有保守性， 相依于路径。替代地，在定义标量势时，必须引入磁矢量势 ，定义为； 其中， 是磁感应强度，又称为磁通量。根据亥姆霍兹定理1 (Helmholtz theorem) ，假设一个矢量函数 满足以下两条件：、   其中， 是个标量函数， 是个矢量函数。再假设 和 ，在无穷远处都足够快速地趋向 0 ，则 可以用方程表达为  在这里， 只作用于 。采用库仑规范 (Coulomb gauge) ，则磁矢量势 满足、 。 所以，。 注意到，以上这些推导，并没有涉及时间参数。加入时间参数 ，结果也成立。所以，永远可以找到磁矢量势 ：。 根据法拉第定律，矢量场 是一个保守场

42、：。 所以，必定可以找到标量势 ，满足 。因此，下述方程成立：。 静电势只是这含时定义的一个特别案例，特别指定了 不相依于时间。从另外一方面来说，对于含时物理场，与静电学的结果大不相同， 。电压电压，也称作电势差或电位差，是衡量单位电荷在静电场中由于电势不同所产生的能量差的物理量。此概念与水位高低所造成的“水压”相似。需要指出的是，“电压”一词一般只用于电路当中，“电势差”和“电位差”则普遍应用于一切电现象当中。电压的国际单位是伏特（V）。1伏特等于对每1库仑的电荷做了1焦耳的功，即1 V = 1 J/C。电势差的定义· 电荷 q 在电场中从A点移动到B点，电场力所做的功WAB与电荷

43、量 q 的比值，叫做AB两点间的电势差（AB两点间的电势之差），用UAB表示，则有公式： oo 其中WAB为电场力所做的功，q为电荷量。 · 同时也可以利用电势这样定义： o电通量在电磁学中，电通量是电场的通量，与穿过一个曲面的电场线的数目成正比。曲面S上的电通量由以下公式给出：其中E是电场强度，dA是闭曲面S上的微分面积，其法线指向外侧。对于封闭的高斯曲面，电通量由以下公式给出：其中QS是曲面所包含的电荷（包括自由电荷和束缚电荷），0是真空电容率。这个关系称为电场的高斯定律，也是麦克斯韦方程组的四个方程之一。静电感应静电感应是物体内的电荷因受外界电荷的影响而重新分布。1这个现象由英

44、国科学家约翰·坎顿和瑞典科学家约翰·卡尔·维尔克分别在1753年和1762年发现。2静电发电机，例如威姆斯赫斯特电机、范德格拉夫起电机和起电盘，都使用这个原理。静电感应的演示。把静电发电机的正极靠近一个铜管，使铜管的左端带有正电荷，右端带有负电荷。从铜管上悬挂着的验电器可以看出，电荷主要分布在铜管的两端。解释正常的物质都带有等量的正电荷和负电荷，因此总的来说是不带电的。如果把带电的物体靠近不带电的导体，例如一片金属，则导体上的电荷将会重新分布。例如，如果把带正电的物体靠近一块金属（参见右面的图），则金属上的负电荷将会被吸引过去，而正电荷则会被排斥。这样便导致金属的

45、靠近外界电荷的部分带有负电荷，而远离外界电荷的部分则带有正电荷。由于这只是电荷的重新分布，因此物体仍然是不带电的。静电感应是可逆的，也就是说，如果外界的电荷被移走了，那么由于物体上正电荷和负电荷之间的吸引，它们将重新搀和起来。用静电感应来使物体带电用验电器来演示静电感应静电感应也可以用来使物体带电。例如，如果把物体靠近正电荷，并同时把物体与大地用导线相连，则大地的一些负电荷会因正电荷的吸引而流入物体中。如果在这时切断物体与大地之间的导线，则物体将会带负电。这可以用验电器（一种探测电荷的仪器）来演示。首先把带电物体靠近验电器的顶端。这将会使验电器内的电荷重新分布，使顶端带有与物体相反的电荷，而箔

46、片则带有与物体相同的电荷。由于两个箔片所带的电荷是相同的，它们将会互相排斥而分开。这时验电器仍然不带电，只是电荷重新分布了。但是，如果用手指接触验电器的顶端，则电荷将因带电物体的吸引而从大地流入验电器的顶端。这时，验电器所带的电荷是与带电物体相反的。如果这时候把手指移开，则流入验电器内的电荷将不能逃脱，这样验电器便带有电荷。因此，即使现在把带电物体移开，两个箔片也不会重新合拢。物体与大地相连后留下的电荷总是与外界的电荷相反的。绝缘体的静电感应绝缘体也有静电感应的现象，这就是带电物体能吸引小纸片的原因。在绝缘体中，电子被原子束缚着，不能在物体中自由移动；但是在原子内可以移动一点点。如果把带正电的

47、物体靠近绝缘体，则每一个原子中的电子都会被吸引而稍微移动一点，而原子核则会被排斥，而往相反的方向移动一点。这种现象称为极化。由于这时物体中的负电荷离外面的带电物体较近，而正电荷则距离较远，将导致吸引力比排斥力大一点点。这个现象是微观的，但因为有那么多的原子，加起来效果就很明显了，足以使较轻的物体（如小纸片）被吸引。电偶极矩电偶极矩是电荷系统的极性的一种衡量。在两个点电荷的简单情形中，一个带有电荷 + q，另一个带有电荷 q，则电偶极矩为：其中r是从负电荷指向正电荷的位移向量。这意味着电偶极矩的向量从负电荷指向正电荷。注意到电场线的方向是相反的，也就是说，从正电荷开始，在负电荷结束。这里并没有矛盾，因为电偶极矩与电荷的位置有关，与电场线无关。更一般地，对于任意数目的点电荷的系统，电偶极矩为：其中每一个是一个向量，从某一个参考点指向电荷qi。的