2013年高考数学理（广东卷A卷）解析版.pdf

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1、20132013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A A数学（理科）逐题详解数学（理科）逐题详解参考公式参考公式: :台体的体积公式112213VSS SSh,其中12,S S分别是台体的上、下底面积,h表示台体的高.一、选择题一、选择题: :本大题共本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分分, ,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项是符合只有一项是符合题目要求的题目要求的. .1设集合2|20,Mx xxxR,2|20,Nx xxxR,则MN ()A.A. 0B B0,2C C

2、2,0D D2,0,2【解析解析】D D；易得2,0M ,0,2N ,所以MN 2,0,2,故选 D D2定义域为R的四个函数3yx,2xy ,21yx,2sinyx中,奇函数的个数是()A.A.4B B3C C2D D1【解析解析】C C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3yx与2sinyx,故选 C C3若复数z满足24izi,则在复平面内,z对应的点的坐标是()A.A.2,4B B2, 4C C4, 2D D4,2【解析解析】C C；2442izii对应的点的坐标是4, 2,故选 C C4已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望EX ()1221

3、1正视图俯视图侧视图第 5 题图A.A.32B B2C C52D D3【解析解析】A A；33115312351010102EX ,故选 A A5某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.A.4B B143C C163D D6【解析解析】B B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故22221141122233V ,故选 B B6设,m n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.A.若,m,n,则mnB B若/,m,n,则/mnC C若mn,m,n,则D D若m,/mn,/n,则【解析解析】D D；ABCABC 是典型错误命题,选

4、 D D7已知中心在原点的双曲线C的右焦点为3,0F,离心率等于32,在双曲线C的方程是()A.A.22145xyB B22145xyC C22125xyD D22125xy【解析解析】B B；依题意3c ,32e ,所以2a ,从而24a ,2225bca,故选 B B8设整数4n ,集合1,2,3,Xn.令集合, ,| , ,Sx y zx y zXxyz yzx zxy且三条件恰有一个成立若, ,x y z和, ,z w x都在S中,则下列选项正确的是()是否输入1,1is输出s结束开始in第 11 题图n1sis1ii A.A., ,y z wS, ,x y wSB B, ,y z w

5、S, ,x y wSC C, ,y z wS, ,x y wSD D, ,y z wS, ,x y wS【解析解析】B B；特殊值法,不妨令2,3,4xyz,1w ,则 , ,3,4,1y z wS, , ,2,3,1x y wS,故选 B B如果利用直接法:因为, ,x y zS，, ,z w xS，所以xyz，yzx，zxy三个式子中恰有一个成立；zwx，wxz，xzw三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：成立，此时wxyz，于是, ,y z wS，, ,x y wS；第二种：成立，此时xyzw，于是, ,y z wS，, ,x y wS；第三种：成立，此时yzwx，于是,

6、,y z wS，, ,x y wS；第四种：成立，此时zwxy，于是, ,y z wS，, ,x y wS.综合上述四种情况，可得, ,y z wS，, ,x y wS.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分( (一一) )必做题必做题(9(91313 题题) )9不等式220 xx的解集为_【解析解析】2,1；易得不等式220 xx的解集为2,1.10若曲线lnykxx在点1,k处的切线平行于x轴,则k _.【解析解析】1；求导得1ykx ,依题意10k ,所以1k .11执行如图所示

7、的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为_.【解析解析】7；第一次循环后:1,2si；第二次循环后:2,3si；第三次循环后:4,4si；第四次循环后:7,5si；故输出7.12.在等差数列 na中,已知3810aa,则573aa_.【解析解析】20；依题意12910ad,所以57111334641820aaadadad.或:57383220aaaaxy441O.AEDCBO第 15 题图13.给定区域D:4440 xyxyx,令点集000000,|,TxyD xyZxy是zxy在D上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定_条不同的直线.【解析解析】6；画出可行域如图所示,其中zxy取得

8、最小值时的整点为0,1,取得最大值时的整点为0,4,1,3,2,2,3,1及4,0共5个整点.故可确定5 16 条不同的直线.（二）选做题（二）选做题（1414、1515 题题, ,考生只能从中选做一题考生只能从中选做一题, ,两题全答的两题全答的, ,只计前一题的得分）只计前一题的得分）14.( (坐标系与参数方程选讲选做题坐标系与参数方程选讲选做题) )已知曲线C的参数方程为2cos2sinxtyt(t为参数),C在点 1,1处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_.【解析解析】sin24；曲线C的普通方程为222xy,其在点 1,1处的切线l的

9、方程为2xy,对应的极坐标方程为cossin2,即sin24.15.( (几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题) )如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BCCD,过C作圆O的切线交AD于E.若6AB ,2ED ,则BC _.【解析解析】2 3；依题意易知ABCCDE:,所以ABBCCDDE,又BCCD,所以212BCAB DE,从而2 3BC .三、解答题三、解答题: :本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,满分满分 8080 分分, ,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. .16 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）已知函数

10、( )2cos12f xx,xR. 179 2015 30第 17 题图()求6f的值；()若3cos5,3,22,求23f【解析解析】()2cos2cos2cos1661244f；()22cos 22cos 2cos2sin233124f因为3cos5,3,22,所以4sin5 ,所以24sin22sincos25 ,227cos2cossin25 所以23fcos2sin272417252525 .17 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.()根据茎叶图计算样本均值；()日加工零件

11、个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；()从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析解析】()样本均值为17 19202125301322266；()由()知样本中优秀工人占的比例为2163,故推断该车间12名工人中有11243名优秀工人.()设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则 P A 1148212C CC1633.18 （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）如图 1,在等腰直角三角形ABC中,90A,6BC ,D E分别是,AC AB上的点,2CDBE,CDOBEAHCDOxEA向量法图yz

12、BO为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图 2 所示的四棱锥ABCDE,其中3A O.()证明:A O平面BCDE；()求二面角ACDB的平面角的余弦值.【解析解析】()在图 1 中,易得3,3 2,2 2OCACAD连结,OD OE,在OCD中,由余弦定理可得222cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知2 2A D,所以222A OODA D,所以A OOD,理可证A OOE,又ODOEO,所以A O平面BCDE.()传统法传统法:过O作OHCD交CD的延长线于H,连结A H,因为A O平面BCDE,所以A HCD,所以A HO为二面角ACDB的平面角.结合图 1 可知,H

13、为AC中点,故3 22OH ,从而22302A HOHOA所以15cos5OHA HOA H,所以二面角ACDB的平面角的余弦值为155.向量法向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,则0,0, 3A,0, 3,0C,1, 2,0D所以0,3, 3CA ,1,2, 3DA 设, ,nx y z为平面A CD的法向量,则00n CAn DA ,即330230yzxyz ,解得3yxzx ,令1x ,得1, 1, 3n .COBDEACDOBEA图 1图 2由()知,0,0, 3OA 为平面CDB的一个法向量,所以315cos,535n OAn OAn OA ,即二面角ACDB的

14、平面角的余弦值为155.19 （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）设数列 na的前n项和为nS.已知11a ,2121233nnSannn,*nN.()求2a的值；()求数列 na的通项公式；()证明:对一切正整数n,有1211174naaa.【解析解析】()依题意,12122133Sa ,又111Sa,所以24a ；()当2n 时,32112233nnSnannn,321122111133nnSnannn两式相减得2112213312133nnnananannn整理得111nnnanan n,即111nnaann,又21121aa故数列nan是首项为111a,公差为1的等差数列,所以

15、111nannn ,所以2nan.()当1n 时,11714a ；当2n 时,12111571444aa ；当3n 时,21111111nannnnn,此时222121111111111111111434423341naaannn 11171714244nn 综上,对一切正整数n,有1211174naaa.20 （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc 到直线l:20 xy的距离为3 22.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PA PB,其中,A B为切点.()求抛物线C的方程；()当点00,P xy为直线l上的定点时,求直线AB的方

16、程；()当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.【解析解析】()依题意,设抛物线C的方程为24xcy,由023 222c 结合0c ,解得1c .所以抛物线C的方程为24xy.()抛物线C的方程为24xy,即214yx,求导得12yx 设11,A x y,22,B xy(其中221212,44xxyy),则切线,PA PB的斜率分别为112x,212x,所以切线PA的方程为1112xyyxx,即211122xxyxy,即11220 x xyy同理可得切线PB的方程为22220 x xyy因为切线,PA PB均过点00,P xy,所以1001220 x xyy,2002220 x xyy所以

17、 1122,x yxy为方程00220 x xyy的两组解.所以直线AB的方程为00220 x xyy.()由抛物线定义可知11AFy,21BFy,所以121212111AFBFyyy yyy联立方程0022204x xyyxy,消去x整理得22200020yyxyy由一元二次方程根与系数的关系可得212002yyxy,2120y yy所以221212000121AFBFy yyyyxy 又点00,P xy在直线l上,所以002xy,所以22220000001921225222yxyyyy 所以当012y 时,AFBF取得最小值,且最小值为92.21 （本小题满分（本小题满分 1414 分）分

18、）设函数 21xf xxekx(其中kR).()当1k 时,求函数 f x的单调区间；()当1,12k时,求函数 f x在0,k上的最大值M.【解析解析】()当1k 时, 21xf xxex, 1222xxxxfxexexxexx e令 0fx,得10 x ,2ln2x 当x变化时, ,fxf x的变化如下表:x,000,ln2ln2ln2, fx00 f x:极大值:极小值:右表可知,函数 f x的递减区间为0,ln2,递增区间为,0,ln2,.() 1222xxxxfxexekxxekxx ek,令 0fx,得10 x ,2ln 2xk,令 ln 2g kkk,则 1110kgkkk ,所

19、以 g k在1,12上递增,所以 ln2 1ln2ln0g ke ,从而ln 2kk,所以ln 20,kk所以当0,ln 2xk时, 0fx；当ln 2,xk时, 0fx；所以 3max0 ,max1,1kMff kkek令 311kh kkek,则 3kh kk ek,令 3kkek,则 330kkee所以 k在1,12上递减,而 1313022ee所以存在01,12x使得 00 x,且当01,2kx时, 0k,当0,1kx时, 0k,所以 k在01,2x上单调递增,在0,1x上单调递减.因为1170228he , 10h,所以 0h k 在1,12上恒成立,当且仅当1k 时取得“”.综上,函数 f x在0,k上的最大值31kM