2021-2022学年河南省豫西顶级名校高二下学期4月联考数学（理）试题解析.doc

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1、2021-2022学年河南省豫西顶级名校高二下学期4月联考数学（理）试题一、单选题1已知、为非零实数，若且，则下列不等式成立的是()ABCD【答案】D【分析】作差法即可逐项判断.【详解】或，对于A：，无法判断正负，故A错误；对于B：，无法判断正负，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D.2在等差数列an中，已知a12，a2+a313，则a4+a5+a6等于（）A40B42C43D45【答案】B【分析】根据已知求出公差即可得出.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，则.故选：B.3已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=AB7C6D【答案】A【详解】试题分析：由等比数

2、列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6故答案为【解析】等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想4中内角的对边分别为.若，则A（）ABCD【答案】D【分析】由，得到，再，得到，利用余弦定理求解.【详解】解：因为，所以，又，则，所以，又，所以，故选：D5设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）ABCD【答案】D【详解】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（2，2）、B()及C(2，2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.6已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点

3、P的轨迹分别为()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条直线D双曲线的一支和一条射线【答案】D【分析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.【详解】依题意得，当时，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，故点P的轨迹为一条射线.故选D.故选：D7等差数列中，,，则当取最大值时，的值为 A6B7C6或7D不存在【答案】C【详解】设等差数列的公差为当取最大值时，的值为或故选C8下列命题错误的是()A命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B命题“若，则”的否命题为“若，则”C若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件D“ ”是“”的充分不必要条件【答案】C【分析】根据逆否命题的定

4、义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出、，根据充分条件和必要条件的概念可以判断C；解出不等式，根据充分条件和必要条件的概念可判断D.【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；若命题p：或；命题q：或，则：1x1是：2x1的充分不必要条件，故C错误；或x1，故“ ”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：C.9已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为ABCD【答案】A【详解】若AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,，所以方程为，故选A.【解析】椭圆方程及性质10下列

5、命题中正确的是（）A函数的最小值为2.B函数的最小值为2.C函数的最小值为D函数的最大值为【答案】D【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A，时为负值，故A错误对于B，而无解，无法取等，故B错误对于，当且仅当即时等号成立，故，D正确，C错误故选：D11设点P是双曲线，与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（）ABCD3【答案】C【分析】根据几何关系得到是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.【详解】点到原点的距离为，又因为在中，所以是直角三角形，即.由双曲线定义知，又因为，所以.在中，由勾股定理得，化简得，所以.故选：C.12已知圆C

6、1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（）Ax21(x1)Bx21Cx21(x1)Dx21【答案】A【分析】根据双曲线定义求解【详解】,则根据双曲线定义知的轨迹为的左半支故选：A二、填空题13设函数，则实数a_【答案】2；【分析】先对求导，再利用即可求解.【详解】，所以，解得，故答案为：.14下列程序执行后输出的结果是_.【答案】【分析】根据程序计算出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】根据算法语句，执行程序如下：，第一次循环，不成立；第二次循环，不成立；第三次循环，成立.跳出循环体，输出.故答案为：.15据统计，2019年

7、湖北省内某著名景点每天的游客人数近似服从正态分布，则在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5400的概率为_.附：若，则，.【答案】0.0228【分析】由已知可得，则，再由正态分布的对称性可求得的值【详解】解：因为游客人数近似服从正态分布，所以，所以，所以，所以在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5400的概率约为0.0228，故答案为：0.0228【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量的应用，考查正态分布曲线的对称性的应用，属于基础题16用秦九韶算法计算多项式当的值时，其中的值为_ .【答案】36【分析】本题可以先将多项式转化为，再令即可求出结果.【详解

8、】，当时，.故答案为：.三、解答题17已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出命题的等价条件，根据“”是真命题，即可求出实数的取值范围（2）若“”为假命题，“”为真命题，则只有一个为真命题，即可求实数的取值范围【详解】（1）因为,不等式恒成立，所以，解得，又“”是真命题等价于“”是假命题所以所求实数的取值范围是 （2）方程表示焦点在轴上的椭圆， “”为假命题，“”为真命题，一个为真命题，一个为假命题，当真假时， 则，此时无解 当假真时，则，

9、此时或 综上所述，实数的取值范围是【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题18新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示.根据以上数据，绘制了散点图.天数123456抗体含量水平510265096195(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回

10、归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，求其中的y值大于50的天数为1的概率.参考数据：其中.3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87参考公式：用最小二乘法求经过点，的线性回归方程的系数公式，；.【答案】(1)更适合(2)，4023.87miu/mL(3)【分析】（1）根据散点图这些点的分布情况结合所学函数图象特点即可求解；（2）由（1）知该问题为变量之间的关系为非线性，先将非线

11、性转化为线性关系，结合题目给出数据求出回归直线的相关系数，进而求出回归直线方程，在代入换为y关于x的回归方程，将代入方程中即可求出预报值.（3）根据古典概型的计算公式即可求解.【详解】(1)根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型.(2)设，变换后可得，设，建立关于x的回归方程，所以所以关于x的回归方程为，所以，当时，即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL.(3)由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，天数为1的概率19如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，是的中点，是与的交点(1)

12、求证：底面；(2)求与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取的中点，连接，根据面面平行的判定和性质可得证；（2）取AC的中点O，连接，BO，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系利用线面角的向量求解方法可求得答案.【详解】(1)证明：取的中点，连接，是与的交点，且侧面为菱形，是的中点，底面，底面，底面，为中点，四边形为平行四边形，又底面，底面，底面，平面，平面，平面底面，平面底面；(2)解：取AC的中点O，连接，BO，侧面为菱形，为正三角形，侧面底面，侧面底面，侧面，底面，底面为正三角形，为的中点，以为坐标原点，分别以，的方

13、向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系底面是边长为2的正三角形，设平面的一个法向量为，由得，令，得，20已知椭圆 的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）求的长度.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程（2）直线与椭圆交于、两点且为直角，转化为 x1x2+y1y2=0再利用弦长公式求解即可【详解】（1）由题意， ， 所以.椭圆方程为（2）设，把代人，得.因为为直角，所以，得，所以， .的长度为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质

14、，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用21如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，点在底面的投影恰好为与的交点，.（1）证明：；（2）若为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在平面图形中，过点作的垂线交于点，得，在中，利用余弦定理求得，根据相似可得，从而证出，再由平面，可得，利用线面垂直的判定定理可证出平面，进而证出.（2）以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）证明：如图，在平面图形中，过点作的垂线交于点，易得，故，在中，由余弦定理知，故.由相似可知，

15、又，故，.又点在底面的投影为，平面，又，平面，.（2）解：如图，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，由（1）知，故，故，.设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，故.同理，可求得平面的一个法向量为，设二面角为，则.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、余弦定理解三角形、空间向量法求面面角，属于中档题.22已知直线l1，l2分别于抛物线y2x相切于A，B两点（1）若点A的坐标为（1，1），求直线l1的方程；（2）若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆（x+2）2+y21上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求的取值范围【答案】（1）x+2y+10；（2）.【分析】（1）设直线l1：y+

16、1k（x1），与抛物线方程联立，再由根的判别式等于零求得直线的斜率，由此可求得直线的方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求得直线，直线，得到点，表示出直线AB方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系表示，可求得范围【详解】（1）由题意知直线l1，l2的斜率一定存在，设直线l1：y+1k（x1），与抛物线方程联立，得ky2yk10由1+4k（k+1）0，得，则l1的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1： ，与抛物线方程y2x联立，得由 ，解得，所以直线，同理得直线，则，设点P（x0，y0），代入可得，则直线AB方程为与抛物线方程联立，得y22y0y+x00，则有y1+y22y0，y1y2x0则，所以又点P在圆（x+2）2+y21上，所以，即，所以.所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.第 16 页 共 16 页