第4节 解析函数零点孤立性及唯一性定理精选PPT.ppt

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1、第4节 解析函数零点孤立性及唯一性定理第1页，本讲稿共28页一 解析函数的零点的孤立性1定义4.7第2页，本讲稿共28页3定理4.17证明:“必要性必要性”由假设,只要令第3页，本讲稿共28页则则“充分性充分性”故由故由TaylorTaylor定理定理从而从而第4页，本讲稿共28页例1解第5页，本讲稿共28页例2解故故由由得得因为因为第6页，本讲稿共28页注:一个实函数的零点不一定是孤立的.如但在复变函数中但在复变函数中,我们有我们有第7页，本讲稿共28页4定理4.18证明:则第8页，本讲稿共28页5推论4.19证明:第9页，本讲稿共28页注2如第10页，本讲稿共28页二 解析函数的唯一性1

2、定理4.20证明:由推论4.19,考虑一般情形:第11页，本讲稿共28页由推论4.19有这样连续下去,可依次证明在第12页，本讲稿共28页2 推论4.21例3证明:由惟一性定理第13页，本讲稿共28页例4解则第14页，本讲稿共28页由惟一性定理知由惟一性定理知:故不存在故不存在.(2)(2)由于函数值点列有由于函数值点列有显然它在原点解析显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为故合条件的函数存在且为第15页，本讲稿共28页3 推论4.22证明故由惟一性定理，故由惟一性定理，第16页，本讲稿共28页例5解第17页，本讲稿共28页故由惟一性定理故由惟一性定理,注1:数分中常见的一些初等函数的幂级数

3、数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复函数上来展开式都可推广到复函数上来.如第18页，本讲稿共28页注2 定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它揭示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.注3第19页，本讲稿共28页证明:“反证反证”由平均值定理,只要圆三 最大模原理1定理4.23第20页，本讲稿共28页下面证明下面证明:故矛盾矛盾.于是于是第21页，本讲稿共28页因此因此,我们证明了我们证明了,注解解析析函函数数在在边边界界上上的的最最大大模模可可以以限限制制其其在在区区域域内内的的最大

4、模最大模.第22页，本讲稿共28页2推论4.24注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.注2:2:CauchyCauchy不等式中不等式中第23页，本讲稿共28页例7证明:由最大模原理由最大模原理,例8而且而且第24页，本讲稿共28页证明:则由题设则由题设,故故此时此时与最大模原理相矛盾与最大模原理相矛盾.第25页，本讲稿共28页3 最小模原理第26页，本讲稿共28页作业P180习题(一)8(2);9;12P180习题(一)13;14第27页，本讲稿共28页 本节结束 谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics第28页，本讲稿共28页