第六章树和二叉树优秀课件.ppt

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1、第六章 树和二叉树1第1页，本讲稿共75页 第六章第六章 树和二叉树树和二叉树6.1 树的有关概念6.2 二叉树6.3 二叉树的遍历6.4 遍历的应用6.5 线索二叉树6.6 树和森林6.7 哈夫曼树及应用2第2页，本讲稿共75页 6.1 6.1 树的有关概念树的有关概念1.树的概念2.树的应用3.树的表示4.树的有关术语5 树的基本操作3第3页，本讲稿共75页1树的概念树的概念 树是树是n个结点的有限集合，在任一棵非空树中：个结点的有限集合，在任一棵非空树中：（1）有且仅有一个称为根的结点。）有且仅有一个称为根的结点。（2）其余结点可分为个互不相交的集合，而且这些集合中）其余结点可分为个互不

2、相交的集合，而且这些集合中的每一集合都本身又是一棵树，称为根的子树。的每一集合都本身又是一棵树，称为根的子树。树是递归结构，在树的定义中又用到了树的概念J JI IA AC CB BD DH HG GF FE E4第4页，本讲稿共75页从逻辑结构看：从逻辑结构看：1）树中只有根结点没有前趋；）树中只有根结点没有前趋；2）除根外，其余结点都有且仅一个前趋；）除根外，其余结点都有且仅一个前趋；3）树的结点，可以有零个或多个后继；）树的结点，可以有零个或多个后继；4）除根外的其他结点，都存在唯一条从根到该结点的路径；）除根外的其他结点，都存在唯一条从根到该结点的路径；5）树是一种分枝结构）树是一种分

3、枝结构 （除了一个称为根的结点外）每个元素（除了一个称为根的结点外）每个元素都有且仅有一个直接前趋，有且仅有零个或多个直接后继。都有且仅有一个直接前趋，有且仅有零个或多个直接后继。J JI IA AC CB BD DH HG GF FE E1树的概念树的概念 5第5页，本讲稿共75页4树的 基本术语 树的结点：包含一个数据元素及若干指向子树的分支；孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子；双亲结点：B结点是A结点的孩子，则A结点是B结点的双亲；兄弟结点：同一双亲的孩子结点；堂兄结点：同一层上结点；结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推；树的高度：树中最大的结点层结点的度：结

4、点子树的个数树的度：树中最大的结点度。叶子结点：也叫终端结点，是度为0的结点；分枝结点：度不为0的结点；森林；互不相交的树集合；有序树：子树有序的树，如：家族树；无序树：不考虑子树的顺序；6第6页，本讲稿共75页5 树的基本操作 树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作：（以DOS元文件系统为例解释树的基本操作）1）InitTree(&T);2）DestroyTree(&T);3）CreateTree(&T,definition);4）ClearTree(&T);5）TreeEmpty(T);6）TreeDepth(T);7）Root(T);8）Value(T,&cur

5、_e);9）Assign(T,cur_e,value);10）Paret(T,cur_e);11）LeftChild(T,cur_e);12）RightSibling(T,cur_e);13）InsertChild(&T,&p,i,c);14）DeleteChild(&T,&p,i);15）TraverseTree(T,Visit();7第7页，本讲稿共75页 6.2 6.2 二叉树二叉树一 二叉树的概念二 二叉树的性质三 二叉树的存储结构8第8页，本讲稿共75页一一 二叉树的概念二叉树的概念1 1 二叉树的定义二叉树的定义二叉树：或为空树，或由根及两颗不相交的左子树、右子树构成，并且左、右子

6、树本身也是二叉树。说明说明1）二叉树中每个结点最多有两颗子树；二叉树每个结点度小于等于2;2）左、右子树不能颠例有序树;3）二叉树是递归结构，在二叉树的定义中又用到了二叉树的概念;A A F F G G E E D D C C B B9第9页，本讲稿共75页 A A F F G G E E D D C C B B(a)、(b)是不同的二叉树，(a)的左子树有四个结点，(b)的左子树有两个结点，(a)A A G G E E D D B B C C F F(b)10第10页，本讲稿共75页 2二叉树的基本形态二叉树的基本形态11第11页，本讲稿共75页3应用举例例1 可以用二叉树表示表达式 e e

7、 d d c c b b f f a a +*/-a b c d-*+e f/-a b c d-*+e f/-表达式的后缀表示表达式的后缀表示 a+b*c a+b*c d d e/f -e/f -表达式的中缀表示表达式的中缀表示 -+a*b-+a*b c d/e f -c d/e f -表达式的前缀表示表达式的前缀表示 12第12页，本讲稿共75页3应用举例例1 可以用二叉树表示表达式 e e d d c c b b f f a a +*/-a b c d-*+e f/-a b c d-*+e f/-表达式的后缀表示表达式的后缀表示 a+b*c a+b*c d d e/f -e/f -表达式的

8、中缀表示表达式的中缀表示 -+a*b-+a*b c d/e f -c d/e f -表达式的前缀表示表达式的前缀表示 13第13页，本讲稿共75页下面是两个关于二叉树的性质性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i=1)利用归纳法证明性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k=1)第比数列求和性质3：对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0，度为2的结点 数为n2，则n0=n2+114第14页，本讲稿共75页两种特殊的二叉树满二叉树：如果深度为k的二叉树，有2k-1个结点则称为满二叉树；A A G G F F E E D D C C B B A A C C B BK=3的满二叉

9、树K=2的满二叉树15第15页，本讲稿共75页完全二叉树：如果一颗二叉树只有最下一层结点数可能未达到最大，并且最下层结点都集中在该层的最左端，则称为完全二叉树；A A E E D D C C B B G G A A E E D D C C B B(a)a)(c)c)(b)b)(a)(a)、(b)b)完全二叉树(c)c)不是完全二叉树 A A G G F F E E D D C C B B16第16页，本讲稿共75页下面是两个关于完全二叉树的性质性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为：log2 n+1对完全二叉树的结点编号：从上到下，每一层从左到右 A A F F E E D D C C B

10、B1 12 23 34 45 56 6性质5：在完全二叉树中编号为i的结点，1）若有左孩子，则左孩编号为2i；2）若有右孩子，则有孩子结点编号为2i+1；3）若有双亲，则双亲结点编号为i/2；17第17页，本讲稿共75页三二叉树存贮结构三二叉树存贮结构 1 二叉树的顺序结构完全二叉树的顺序结构用一组连续的内存单元，按编号顺序依次存储完全二叉树的元素顺序结构图示1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 m-1m-1 A B C D E FA B C D E F A A F F E E D D C C B B1 12 23 34 45 56 618第18页，本讲稿共75页二叉树的顺序

11、结构 假想，我们补齐二叉树所缺少的那些结点，对二叉树结点编号 A A F F G G E E D D C C B B7 71 16 62 24 45 53 3 A A F F G G E E D D C C B B9 98 8101019第19页，本讲稿共75页1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m-m-1 1 A B A B C C D E D E F F G G二叉树的顺序结构图示将二叉树原有的结点按编号存储到内存单元“相应”的位置上1 16 62 24 45 53 3 A A F F G G E E D D C C B B9 98 8101020第20

12、页，本讲稿共75页2 二叉链表 二叉链表中每个结点包含三个域：数据域、左指针域、右指针域 D D A A B B C C E E F F A A F F E E D D C C B B3 三叉链表 三叉链表中每个结点包含四个域：数据域、双亲指针域、左指针域、右指针域二叉链表图示21第21页，本讲稿共75页4静态链表 上面二叉链表或三叉链表是用指针实现，是一种动态的链式存储结构，链式存储结构也可用一维数组来实现，用一维数组表示的二叉链表或三叉链表，称为静态链表 A A F F E E D D C C B B孩子结点在数组中的位置-1表示无左或右孩子静态二叉链表2 A 13 C -15 B -1-

13、1 E-1-1 F-1-1 D 4 0123456Lchild data rchild22第22页，本讲稿共75页 6.3 6.3 二叉树的遍历二叉树的遍历 一.二叉树的遍历方法 二.遍历的递归算法23第23页，本讲稿共75页遍历：按某种搜索路径访问二叉树的每个结点，而且每个结点仅被访问一次。访问：含义很广，可以是对结点的各种处理，如修改结点数据、输出结点数据。遍历是各种数据结构最基本的操作，许多其他的操作可以在遍历基础上实现。如何访问二叉树的每个结点，而且每个结点仅被访问一次？24第24页，本讲稿共75页一一二叉树的遍历方法二叉树的遍历方法 二叉树由根、左子树、右子树三部分组成 二叉树的遍历

14、可以分解为：访问根，遍历左子树和遍历右子树令：令：L L：遍历左子树 D D：访问根结点 R R：遍历右子树 有六种遍历方法：D DL LR R，L LD DR R，L LR RD D，D DR RL L，R RD DL L，R RL LD D 约定先左后右,有三种遍历方法：D DL LR R、L LD DR R、L LR RD D，分别称为 先序遍历、中序遍历、后序遍历 A A F F G G E E D D C C B B25第25页，本讲稿共75页 先序遍历（DLR）若二叉树非空（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树；先序遍历序列：A,A,B,D,E,G,B,D,E

15、,G,C,FC,F A A F F G G E E D D C C B B例：先序遍历右图所示的二叉树 （1）访问根结点A （2）先序遍历左子树：即按D DL LR R的顺序遍历左子树 （3）先序遍历右子树：即按D DL LR R的顺序遍历右子树26第26页，本讲稿共75页中序遍历（L LD DR R）若二叉树非空（1）中序遍历左子树（2）访问根结点（3）中序遍历右子树 中序遍历序列：D,B,G,E,D,B,G,E,A,A,C,FC,F A A F F G G E E D D C C B B例：中序遍历右图所示的二叉树 （1）中序遍历左子树：即按L LD DR R的顺序遍历左子树 （2）访问根

16、结点A A （3）中序遍历右子树：即按L LD DR R的顺序遍历右子树27第27页，本讲稿共75页后序遍历（L LR RD D）若二叉树非空（1）后序遍历左子树（2）后序遍历右子树（3）访问根结点 后序遍历序列：D,G,E,B,D,G,E,B,F,C,F,C,A A例：后序遍历右图所示的二叉树 （1）后序遍历左子树：即按L LR RD D的顺序遍历左子树 （2）后序遍历右子树：即按L LR RD D的顺序遍历右子树 （3）访问根结点A A A A F F G G E E D D C C B B28第28页，本讲稿共75页 e e d d c c b b f f a a +*/-后序遍历序列：

17、a b c d-*+a b c d-*+e f/e f/-中序遍历序列：a+b*c a+b*c d d e/fe/f 先序遍历序列：-+a*b+a*b c d c d/e f/e f例：先序遍历、中序遍历、后序遍历下图所示的二叉树29第29页，本讲稿共75页按层遍历:从根出发,依次访问第一层、第二层结点 A A F F G G E E D D C C B B按层遍历序列:A B C D E F G30第30页，本讲稿共75页 若二叉树非空 （1）访问根结点；（2）先序遍历左子树 （3）先序遍历右子树；二二.遍历的递归算法遍历的递归算法先序遍历（DLR）的定义：上面先序遍历的定义等价于：若二叉树

18、为空，结束 基本项（也叫终止项）若二叉树非空 递归项 （1）访问根结点；（2）先序遍历左子树 （3）先序遍历右子树；31第31页，本讲稿共75页1先序遍历递归算法先序遍历递归算法void PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType e)/采用二叉链表存贮二叉树，visit()是访问结点的函数。/本算法先序遍历以T为根结点指针的二叉树if(T)/若二叉树不为空，Visit(T-data)；/访问根结点 PreOrderTraverse(T-lchild,Visit);/先序遍历T的左子树，PreOrderTraverse(T-rchild

19、,Visit);/先序遍历T的右子树/PreOrderTraverse最简单的Visit函数是：StatusPrintElement(TElemTypee)/输出元素e的值printf(e);returnOK;D D A A B B C C E E F F T T32第32页，本讲稿共75页2 中序遍历递归算法中序遍历递归算法void InOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType e)/采用二叉链表存贮二叉树，visit()是访问结点的函数。/本算法中序中序遍历以T,为根结点指针的二叉树 if(T)/若二叉树不为空，访问根结点，遍历右子树I

20、nOrderTraverse(T-lchild,Visit);/中序中序遍历T的左子树Visit(T-data)；/访问根结点InOrderTraverse(T-rchild,Visit);/中序中序遍历T的右子树/InOrderTraverse 33第33页，本讲稿共75页3 后序遍历递归算法后序遍历递归算法voidPostOrderTraverse(BiTreeT,Status(*Visit)(TElemTypee)/采用二叉链表存贮二叉树，visit()是访问结点的函数。/本算法后序遍历以T为根结点指针的二叉树，对每个数据元素调用函数Visit()if(T)/若二叉树不为空，PostOr

21、derTraverse(T-lchild,Visit);/后序遍历T的左子树PostOrderTraverse(T-rchild,Visit);/后序遍历T的右子树，Visit(T-data)；/访问根结点/PostOrderTraverse34第34页，本讲稿共75页遍历的非递归算法遍历的非递归算法中序遍历的非递归算法中序遍历的非递归算法(使用栈实现非递归中序遍历使用栈实现非递归中序遍历)StatusInOrderTraverse(BiTreeT,Status(*Visit)(TelemTypee)/采用二叉链表存储结构，Visit是对数据元素操作的应用函数。/中序遍历二叉树T的非递归算法，

22、对每个数据元素调用函数Visit。InitStack(S);p=T;While(p|!StackEmpty(s)if(p)Push(s,p);p=p-lchild;/根指针进栈，遍历右子树else/根指针退栈，访问根结点，遍历右子树 Pop(S,p);Visit(p-data);p=p-rchild;/else/WhilereturnOK;/InOrderTraverse35第35页，本讲稿共75页按层遍历算法 与图的广度优先遍历类似,利用队列实现树的按层遍历StatusLevelTraverse(BiTreeT,Status(*Visit)(TelemTypee)/采用二叉链表存储结构，Vi

23、sit是对数据元素操作的应用函数。使用辅助队列Q,按层遍历二叉树T。InitQueue(Q);InitQueue(Q);/建空的辅助队列Q p=T;p=T;Visit(p-data)Visit(p-data)，EnQueue(Q,p)/EnQueue(Q,p)/访问访问p p所指结点所指结点,p,p入队入队 While(!QueueEmpty(Q)While(!QueueEmpty(Q)DeQueue(Q,p);DeQueue(Q,p);/队头元素出队,并赋值给p p=p p=p-lchild,Visit(p-data);EnQueue(Q,p);,Visit(p-data);EnQueue(

24、Q,p);p=p p=p-rchild,Visit(p-data);EnQueue(Q,p);,Visit(p-data);EnQueue(Q,p);/while /while/LevelTraverse36第36页，本讲稿共75页 6.4 6.4 遍历的应用遍历的应用 1.求二叉树的叶子结点个数 2.建立二叉链表 37第37页，本讲稿共75页例1 编写 求二叉树的叶子结点个数的算法输入：二叉树的二叉链表结果：二叉树的叶子结点个数 D D A A B B C C E E F F T Tvoidleaf(BiTreeT)/采用二叉链表存贮二叉树，n为全局变量，用于累加二叉树的叶子结点的个数。本算

25、法在先序遍历二叉树的过程中，统计叶子结点的个数/第一 次被调用时，n=0if(T)if(T-lchild=null&T-rchild=null)n=n+1;/若T所指结点为叶子，则累加。leaf(T-lchild);leaf(T-rchild);/if/leaf与与先序遍历算法先序遍历算法比较一下比较一下！38第38页，本讲稿共75页voidleaf(BiTreeT)/采用二叉链表存贮二叉树，n为全局变量，用于累加二叉树的叶子结点,的个数。/本算法在先序遍历二叉树的过程中，统计叶子结点的个数第一次被调用时，n=0if(T)/若二叉树为空，结束返回/若二叉树不为空，在先序遍历二叉树的过程中，统计

26、叶子结点的个数if(T-lchild=null&T-rchild=null)n=n+1;leaf(T-lchild);leaf(T-rchild);/if/leaf viod PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType e)/采用二叉链表存贮二叉树，visit()是访问结点的函数。本算法先序/遍历以为根结点指针的二叉树，对每个数据元素调用函数Visit()if(T)/若二叉树为空，返回/若二叉树不为空，访问根结点；遍历左子树，遍历右子树 Visit(T-data)；PreOrderTraverse(T-lchild,Visit);Pre

27、OrderTraverse(T-rchild,Visit);/PreOrderTraverse比较先序遍历算法和计算叶子结点算法，有什么相同和不同？结构类似函数名不同访问结点时调用visit()访问结点时统计叶子结点的个数39第39页，本讲稿共75页 例2 建立二叉链表 输入：二叉树的先序序列 结果：二叉树的二叉链表 遍历操作访问二叉树的每个结点，而且每个结点仅被访问一次。是否可在利用遍历，建立二叉链表的所有结点并完成相应结点的链接？基本思想：输入（在空子树处添加字符*的二叉树的）先序序列（设每个元素是一个字符）按先序遍历的顺序，建立二叉链表的所有结点并完成相应结点的链接 A A F F E

28、E D D C C B B*A B D*F*C E*40第40页，本讲稿共75页StatusCreateBiTree(BiTree&T)/输入（在空子树处添加字符*的二叉树的）先序序列（设每个元素是/一个字符）按先序遍历的顺序，建立二叉链表，并将该二叉链表根结/点指针赋给Tscanf(&ch);if(ch=*)T=NULL;/若ch=*则T=NULL返回else/若ch!=*if(!(T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode)exit(OVERFLOW);T-date=ch;/建立（根）结点CreateBiTree(T-lchild);/构造左子树链表，并将左子树根结

29、点指针/赋给（根）结点的左孩子域CreateBiTree(T-rchild);/构造右子树链表，并将右子树根结点指针/赋给（根）结点的右孩子域returnOK;/CreateBiTree41第41页，本讲稿共75页 D D A A B B C C E E F F T T 先序序列：A B D F C E（在空子树处添加*的二叉树的）先序序列：A B D*F*C E*A A F F E E D D C C B B*A A F F E E D D C C B B42第42页，本讲稿共75页掌握利用先序和中序，中序和后序来建立一个二叉树 已知一个二叉树的先序和中序，怎样建立二叉树？先序：-+a*bc

30、d/ef 中序：a+b*cde/f 已知一个二叉树的后序和中序，怎样建立二叉树？中序：a+b*cde/f 后序：abcd-*+ef/-43第43页，本讲稿共75页小结 小小结结1 二叉树：或为空树，或由根及两颗不相交的左子树、右子树构成，并且左、右子树本身也是二叉树；2 二叉树即可以用顺序结构存储，也可用链式结构存储；3 遍历：按某种搜索路径访问二叉树的每个结点，每个结点仅被访问一次。二叉树的遍历可以分解为：访问根，遍历左子树和遍历右子树，本课程介绍了三种遍历算法：先序遍历、中序遍历、后序遍历；44第44页，本讲稿共75页HW:6.1 6.3(不用交）不用交）6.14 6.27 6.285月月

31、16号交作业号交作业45第45页，本讲稿共75页 6.4 6.4 线索二叉树线索二叉树 1.线索二叉树和线索链表 2.二叉树的线索化 3.线索二叉树的遍历46第46页，本讲稿共75页1线索二叉树线索二叉树和线索链表和线索链表加上结点前趋后继信息（线索）的二叉树称为线索二叉树 A A G G H H E E D D C C B B F F以中序遍历为例，通过遍历可以得到二叉树结点的中序序列。中序遍历序列：D,B,H,E,A,F,C,G在中序序列中，D的后继是B，H的前趋是B，后继是E47第47页，本讲稿共75页线索链表线索链表线索二叉树的存贮方法：T T D D A A B B C C F F

32、H H E E G G A A G G H H E E D D C C B B F F2)每个n个结点的二叉链表，有n+1个空指针域。可利用这些的空指针域存放结点的前趋和后继指针。这种二叉链表称为线索链表1）为每个结点增加二个指针域48第48页，本讲稿共75页线索二叉树 A A G G H H E E D D C C B B F F孩子指针前趋指针后继指针线索链表线索链表头结点F F1 11 1E E0 01 1G G1 11 1D D1 11 1A A0 00 0B B0 00 0H H1 11 1C C0 00 00 01 149第49页，本讲稿共75页2.2.二叉树的线索化二叉树的线索化

33、StatusInOrderThreading(BiThrTree&Thrt,BiThrTreeT)A A0 00 0B B0 00 0C C0 00 0D D0 00 0H H0 00 0E E0 00 0G G0 00 0F F0 00 0在二叉树加线索F F1 11 1E E0 01 1G G1 11 1D D1 11 1A A0 00 0B B0 00 0H H1 11 1C C0 00 00 01 1头结点50第50页，本讲稿共75页二叉树的二叉线索存储表示 typedef enumLink,ThreadPointerTag;/Link=0 指针 Thread=1 线索 typedef

34、 struct BiThrNode TElemType data;Struct BiThrNode *lchild,*right;PointerTag LTag,RTag;BiThrNode,*BiThrTree;51第51页，本讲稿共75页StatusInOrderThreading(BiThrTree&Thrt,BiThrTreeT)/中序遍历二叉树T，并将其中序线索化，Thrt指向头结点。if(Thrt=(BiThrTree)malloc(sizeof)(BiThrNode)exit(OVERFLOW);Thrt-Ltag=Link;Thrt-Rtag=Thread;/建头结点Thrt-

35、rchild=Thrt;/右指针回指if(!T)Thrt-lchild=Thrt;/若二叉树空，则左指针回指elseThrt-lchild=T;/若二叉树非空，则左指针指向根结点 pre=Thrt;/头结点看作是中序序列第一个结点的前趋 InThreading(T);/中序遍历进行中序线索化 Pre-rchild=Thrt;pre-Rtag=Thread;/最后一个结点线索化 Thrt-rchild=pre;returnOK;/InOrderThreading52第52页，本讲稿共75页voidInThreading(BiThrTreep)if(p)InThreading(p-lchild);

36、/左子树线索化if(!p-lchild)p-Ltag=Thread;p-lchild=pre;/为当前结点加上前趋线索if(!p-rchild)pre-Rtag=Thread;pre-rchild=p;/为当前结点的前趋加上后继线索pre=p;/保持pre指向p的前趋InThreading(p-rchild);/右子树线索化/if/InThreading53第53页，本讲稿共75页基本思想：基本思想：1）若p所指结点的右孩子域为线索，则p的右孩子结点即为后继结点；2）若p所指结点的右孩子域为孩子指针，则p的后继结点为其右子树的最左下结点；中序遍历序列：D,B,H,E,A,F,C,G3线索二叉树

37、的遍历线索二叉树的遍历F F1 11 1E E0 01 1G G1 11 1D D1 11 1A A0 00 0B B0 00 0H H1 11 1C C0 00 00 01 1头结点54第54页，本讲稿共75页线索链表的遍历算法VoidInOrderTraverse_Thr(BiThrTreeT,Status(*Visit)(TE1emTypee)/T指向头结点，头结点的左链lchild 指向根结点，/中序遍历二叉线索树T算法，对每个数据元素调用函数Visit。P=T-lchild;/p指向根结点 While(p!=T)/空树或遍历结束时，p=TWhile(p-Ltag=Link)p=p-l

38、child;/找到最左下结点；访问之 Visit(p-data)while(p-Rtag=Thread&p-rchild!=T)/若p所指结点的右孩子域为线索且不是最后一个结点 p=p-rchild;Visit(p-data);/访问后继结点 p=p-rchild;/若p所指结点的右孩子域不是线索 returnOK;/InOrderTraverse_Thr为了增加算法的可读性，这里对书上算法作了简化，没有考虑访问结点出错的情况（即我们假设调用函数visit()访问结点总是成功的。55第55页，本讲稿共75页 6.6 6.6 树和森林树和森林 一.树的存储结构 二.树和二叉树的转换 三.树的遍历

39、 四.森林 56第56页，本讲稿共75页一树的存贮结构一树的存贮结构1 双亲表示法双亲表示法：通过保存每个结点的双亲结点的位置，表示树中结点之间的结构关系。双亲表示类型定义#defineMAX_TREEE_SIZE100typedefstructPTNodeTelemTypedata;intparent;/双亲位置域PTNode;typedefstructPTNodenodesMAX_TREE_SIZE;intn;/结点数Ptree;I IA AC CB BD DH HG GF FE E A -1 A -1 B 0 B 0 C 0 C 0 D 0 D 0 E 1 E 1 F 1 F 1 G 2

40、 G 2 H 3 H 3 I 3 I 30 01 12 23 34 45 56 67 78 8.data parent 9 9T.nodesT.n结点数双亲结点在数组中的位置-1表示无双亲57第57页，本讲稿共75页2、孩子表示法孩子表示法：通过保存每个结点的孩子结点的位置，表示树中结点之间的结构关系。方法1 ：多重链表（类似二叉链表）两种方式：定长结点 不定长结点定长结点优点结点结构一致，便于实现树的操作。缺点是浪费一些内存。不定长结点优点：节省内存缺点：不定长会使一些操作实现复杂一些58第58页，本讲稿共75页 A B C D E F G H I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 99结

41、点数和根的位置9013245867T.nodesT.nT.rdatafirstchild树的孩子链表图示结点的孩子结点链表I IA AC CB BD DH HG GF FE E方式II孩子链表：对树的每个结点用线性链表存贮它的孩子结点59第59页，本讲稿共75页树的孩子链表类型定义typedefstructCTNode/孩子结点 intchild;structCTNode*next;*ChildPtr;typedefstructTElemTypedata;ChildPtrfirstchild;/孩子链表头指针CTBox;typedefstructCTBoxnodesMAX_TREE_SIZE;

42、intn,r;/结点数和根的位置；CTree;A B C D E F G H I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 999013245867T.nodesT.nT.rdatafirstchild60第60页，本讲稿共75页 3 孩子兄弟表示法 孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存贮结构 孩子兄弟表示法类型定义 typedefstructCSNodeTElemTypedata;structCSNode*firstchild,*nextsibling;CSNode,*CSTree;I IA AC CB BD DH HG GF FE EA AI IH HD DG GF FC CE EB B树的孩子兄

43、弟表示法图示B的第一个孩子结点B的右兄弟结点61第61页，本讲稿共75页I IA AC CB BD DH HG GF FE E此二叉链表既是树(a)(a)的孩子兄弟表示又是二叉树(b)(b)的二叉链表(a)(a)(b)(b)由此可将树与二叉树对应起来A AI IH HD DG GF FC CE EB BF FI IA AB BD DH HG GC CE E62第62页，本讲稿共75页二 树与二叉树的转换 二叉树与树都可用二叉链表存贮，以二叉链表作中介，可导出树与二叉树之间的转换。树与二叉树转换方法树根结点X的第一个孩子结点X紧邻的右兄弟二叉树根结点X的左孩子结点X的右孩子63第63页，本讲稿共

44、75页树根结点X的第一个孩子结点X紧邻的右兄弟二叉树根结点X的左孩子结点X的右孩子I IA AC CB BD DH HG GF FE EF FI IA AB BD DH HG GC CE E64第64页，本讲稿共75页三三 树的遍历树的遍历先根遍历先访问根，然后依次先根遍历每一颗子树。例 先根遍历序列 A B E F C G D H I 后根遍历依次后根遍历根的每一颗子树，然后访问根。后根遍历序列 E F B G C H I D A树的先根遍历 对应二叉树的先序遍历；树的后根遍历 对应二叉树的中序遍历。不论是先根遍历还是后根遍历都是对树按深度方向的遍历，也可按宽度方向（按层）遍历树。I IA

45、AC CB BD DH HG GF FE E65第65页，本讲稿共75页四四森林森林森林：树的集合森林：树的集合将森林中树的根看成兄弟，可用树孩子兄弟表示法存储森林；用树与二叉树的转换方法，进行森林与二叉树转换；可用树的遍历方法对森林进行遍历；J J O O P P N N M M L L K KI IA AC CB BD DH HG GF FE E包含两棵树的森林66第66页，本讲稿共75页小结 小小结结1 以中序遍历为例，将中序序列中每个结点前趋、后继信息保存起来，以后再遍历二叉树时就可以根据所保存的结点前趋、后继信息对二叉树进行遍历。加上结点前趋后继信息（线索）的二叉树称为线索二叉树；2

46、 二叉树与树都可用二叉链表存贮，以二叉链表作中介，可导出树与二叉树之间的转换；67第67页，本讲稿共75页 6.7 6.7 哈夫曼树及应用哈夫曼树及应用 6.7.1 哈夫曼树及构造 6.7.1 哈夫曼编码 68第68页，本讲稿共75页6.7.1 6.7.1 哈夫曼树及构造哈夫曼树及构造1 哈夫曼树哈夫曼树的概念的概念路径：从一个祖先结点到子孙结点之间的分支构成这两个结点间的路径；路径长度：路径上的分支数目称为路径长度；结点的权：根据应用的需要可以给树的结点赋权值；结点的带权路径长度：从根到该结点的路径长度与该结点权的乘积；树的带权路径长度=树中所有叶子结点的带权路径之和；通常记作WPL=wiL

47、i哈夫曼树：假设有n个权值(w1,w2,wn)，构造有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点有一个wi作为它的权值。则带权路径长度最小的二叉树称为哈夫曼树。哈夫曼树。69第69页，本讲稿共75页3哈夫曼树的构造哈夫曼树的构造构造哈夫曼树的步骤：1根据给定的n个权值，构造n棵只有一个根结点的二叉树，n个权值分别是这些二叉树根结点的权。设F是由这n棵二叉树构成的集合2在F中选取两棵根结点树值最小的树作为左、右子树，构造一颗新的二叉树，置新二叉树根的权值=左、右子树根结点权值之和；3从F中删除这两颗树，并将新树加入F；4重复 2、3，直到F中只含一颗树为止；70第70页，本讲稿共75页404030306

48、06015155 510101515303040403030606015155 5101015153030100100例：构造以W=（5，15，40，30，10）为权的哈夫曼树。30305 51010151540404040303015155 51010151540403030303015155 510101515哈夫曼树中权值小的结点离根远权值大的结点离根近71第71页，本讲稿共75页w p lch rch0123456789101112131415 5 9 0 029 14 0 0 7 10 0 0 8 10 0 014 12 0 023 13 0 0 3 9 0 011 11 0 0 8

49、 11 1 715 12 3 419 13 8 929 14 5 10 42 15 6 1158 15 2 12100 0 13 14哈夫曼树对应的静态三叉链表w,p,lch,rch 是weight,parent,lchild,rchild的缩写292919195858424210010015158 87 73 35 58 81111232314142929以5,29,7,8,14,23,3,11为权值的哈夫曼树2构造哈夫曼树的算法 输入：n个权值 结果：哈夫曼树72第72页，本讲稿共75页例某通讯系统只使用8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分别为0.05,0.29,0.07,0.08,0.14,0.23,0.03,0.11。构造以字符使用频率作为权值的哈夫曼树。a:0110a:0110b:10b:10c:1110c:1110d:1111d:1111e:110e:110f:00f:00g:0111g:0111h:010h:010292919195858424210010015158 87 73 35 58 8111123231414292973第73页，本讲稿共75页HW:6.3774第74页，本讲稿共75页75第75页，本讲稿共75页