凸函数和应用毕业论文.doc

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1、1/17分 类 号O17论 文 编 号0本本 科科 生生 毕毕 业业 论论 文文凸函数与其应用凸函数与其应用姓名：余浪彪院系：数学科学学院年级专业：10 级数学与应用数学指导教师：秀(副教授)2014 年 4 月2/17诚信承诺书本人重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。作者签名：日期：关于学位论文使用授权的声明本人完全了解民族师学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院

2、保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权民族师学院可以将本学位论文的全部或部分容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文和汇编本学位论文。(论文在解密后应遵守此规定)作者签名：导师签名：日期：3/17目录摘要 IAbstractII第一章绪论 11.1 凸函数的产生 11.2 凸函数的发展 1第二章凸函数的定义与判定 22.1 凸函数的国际定义 22.2 凸函数的几何意义 22.3 凸函数的判定 3第三章凸函数的定义与性质的应用 43.1 凸函数定义的应用 43.2 凸函数的性质 63.3 凸函数性质的应用 7第四章结论 8参考

3、文献 9致 10附录 11I/17摘要凸函数是一种具有特殊性质的函数，在函数的研究领域中占有十分重要的地位.到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究.对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处.特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用.凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，与其在数学各个领域都有广泛的应用.因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要.凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以与判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉与.所以，探讨一些凸函数性质

4、，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的.而且凸函数与一搬函数之间已有着千丝万缕的联系，利用其解决一般函数的相关问题也有着事半功倍的效果.关键词：关键词：凸函数性质不等式应用II/17AbstractThe convex function is a special kind of function,occupies a veryimportant position in the research field of function.So far,researchof convex function from to theconvexity

5、 of the study definition,research and then to convex applications.Research on the concavity andconvexity of functions,are useful in a branch of mathematical analysis.Especially in the derived function of graphic descriptions and inequality,convex function plays a very important role.It has good prop

6、erties ofconvex function is unique,because of the extensive theory of convexfunction in mathematics,and they are widely used in all fields.Therefore,the theory of convex function further deep research and promotion,isparticularly important.Convex function is a kind of special function in mathematica

7、l analysis,in the actual text generally introduces its definition and judgment,however it has be richly endowed by nature function in provinginequalities,but rarely involved.Therefore,summarizes some of theproperties of convex function,inequality and use these properties toprove some elementary math

8、ematics cannot prove,in order to explainapplication of convex function in inequality,is very important.And theconvex function with a move function between already have all kinds ofconnections with contact,use the relevant problems of general functiona l s oh a sam u l t i p l i e re f f e c t.K Keyw

9、ordseywords:Convex functionPropertyInequalityApplicationIII/171/17第一章 绪论1.1 凸函数的产生凸函数是一类重要的函数，它的概念源于 Jensen 著述1905中，在 Jensen著述中是这样介绍凸函数的：若函数 f x满足定义域上任意两个数1,2x x都有1212()22f xf xxxf，则称 f x为凸函数.凸函数的产生不仅给人们带来了一种新的研究函数的工具,也为函数这个“大家族”增枝散叶，随着凸函数的出现人们对函数这个概念又多了一丝陌生感，也引起人们“认识”它的欲望.在Jensen 定义凸函数后，有不少的数学家对凸函数

10、进行了研究，其中就有闵科夫斯基和杜克等人.1.2 凸函数的发展凸函数的研究起源于丹麦数学家约翰.詹森(Jensen)和爱因斯坦在瑞士的数学老师闵科夫斯基对凸函数的研究，但那是人们对凸函数并不看好，真正引起人们广泛重视的是 40-50 年代.诺伊曼和杜克等人对策论和数学规划的研究，由于这方面的需要，从 50 年代初到六十年代末人们对凸函数进行了大量的研究.60年代中期产生了凸分析.从此以后，关于凸函数的研究大多数都是围绕凸分析所展开的.我国的数学爱好者对凸函数的研究也有涉与，其中的代表人物有晓明、光中和胡克等人，他们的研究成果多数是以教材的形式所展示，而且对凸函数的定义也不尽一样.譬如，同济大学

11、高等代数教材对凸函数所下定义与国际相反，国际定义的凸函数是指上方图是凸集，而同济大学高等代数数学教材则是指其下方图是凸集，两者定义刚好相反.由于人的求知欲是无限的和科技的不断发展，人们对凸函数的研究还会更上一层楼.2/17第二章 凸函数的定义与判定2.1 凸函数的国际定义由于目前对凸函数的理论研究是十分丰富的，而且对凸函数所给的定义也不尽一样，但人们常用凸函数的国际定义作为研究对象，本文也将采用凸函数国际定义.定义 2.1 设函数 f x在区间I上有定义，若对任意的1,2x xI与对任意的0,1k 总有：121211fkxk xkf xk f x，则称函数 f x为区间I上的凸函数(conve

12、x function).2.2 凸函数的几何意义设()f x为 区 间I上 的 凸 函 数 且 图 像 如 图 21 所 示，若 当1212(),(),f xA f xBx xI其中，则弦 AB 的方程为：221212()()()yf xxxf xf xxx.若存在参数(0,1)k,则有1122(1)xkxk xx，故弦 AB 的方程可改写为：1212()(1)()(1)ykf xk f xxkxk x，由于函数()f x为凸函数，则：1212(1)()(1)()f kxk xkf xk f x.即连接凸函数图像上的任意两点的弦总位于对应图像的上方(如图 2-2).3/172.3 凸函数的判定

13、对任意的3212331,01xxxxxkxx有2121331(1),011xxxkxk xkxx，若()f x是凸函数，则有：21313()(1)()(1)()f xf kxk xkf xk f x.将3231xxkxx带入式且经整理可得：31212131()()()()()()xxf xf xxxf xf x，即31212131()()()()f xf xf xf xxxxx若31212131()()()()f xf xf xf xxxxx即21213131()()()()xxf xf xf xf xxx.将21311xxkxx带入式且经整理可得：2131()()(1)()()f xf xk

14、f xf x经移项整理得：231131()(1)()()()(1)()()f xkf xf xf xk f xkf x.又将213(1)xkxk x带入式且经整理可得：1313(1)()(1)()f kxk xkf xk f x.，由式可得函数()f x为所给区间的凸函数，由此可得：定理 2.1函数()f x为所给区间 I 上凸函数的充要条件为：对任意的31211231232131()()()(),()f xf xf xf xx x xI xxxxxxx总有.同理可得：定理2.2函数()f x为所给区间 I 上凸函数的充要条件为：对任意的123123123123111,()0()()()x x

15、 xI xxxxxxf xf xf x总有定理2.2 证明过程与定理 2.1 的推理过程小异，故在此不再证明.4/17第三章 凸函数的定义与性质的应用3.1 凸函数定义的应用不等式是数学学科中一个重要的组成部分，不等式最关键的就是对它的证明，而有些不等式用常规的不等式的证明方法就显得十分麻烦和困难，如借助凸函数的定义去证明就十分便捷，如下几例.例3.1设1111,0,1,1,pqxyx yp qx ypqpq且证明（Young）不等式.1111()ln,(0,),0,11 1,(0,1)1111111ln()lnln1111ln()lnlnln11pqpqf xxxx yp qp qpqxyx

16、ypqpqxyxyx ypqpqx yxypq 证明：在上为凸函数由凸函数的定义可得：即即，故所给不等式得证.例 3.2,0,2x yxyxy若求证（均值不等式）()()(0,),0,1111()()()22222.f xxf xxx yfxyf xf yxyxy证明：设，在为凸函数，因为则由凸函数的定义可得：由上化简整理可得：即所给命题得证.5/17111111.,0(1,2,.,),1,()()()nnnppppppkkkkkkkkkxyknpxyxy例33 设证明：（Minkowski不等式）.11111111111111(1)1111=()()11,1,1(1)()()().()+()

17、.(nnppkkkkkkkknnppkkkkkkkknnnpppkkkkkkkkkkknnqpq ppkkkkknppkkxyxyxyxxyyxyp qpq ppqxyxxyyxyxxyyx证明：且当时，有1(1)1111111111111111)()().()()()()()nqq pkkknnnqpppppkkkkkkknnnnpqppppppkkkkkkkkkkyxyxyxyxyxy故由上可以看出，凸函数的定义在解决不等式（无论是困难的，还是简单的）的证明方面都有着独特的作用.6/173.2 凸函数的性质无论是国外还是国的数学爱好者都对凸函数进行了大量的研究，也发现凸函数的许多性质，本文

18、着重介绍凸函数的以下四条性质：性质 1(有界性)若()f x为,a b上的凸函数，则()f x在,a b上有界.性质2(连续性)若()f x为区间I上的凸函数，则()f x在任意点,xa bI处连续.性质 3(可导性)若()f x为区间I上的凸函数，则()0fx(反之也成立).性质 4(单调性)若()f x为区间I上的凸函数，则().fxI在 上单调递增本文只证明性质 1，其它的性质都具有相通之处，便不再累述.证明性质 1：,bxxa bkba 对取则有:(1)()(1)xkak bf xf kak b(),.f xa b函数为区间上的凸函数()(1)()(1)f xf kak bkf ak

19、bmax(),()f af bmax(),()().f af bMf xM取，即().f x故有上界,现证明其存在下界,xa babxa b 取则有11()=(+()()222abffxabxf x，且为凸函数.111()=(+()()()2222abffxabxf xfabx1()2f xM()2()2abf xfM即()f x有下界.故性质1(有界性)得证.7/173.3 凸函数性质的应用上节介绍了凸函数的四条基本性质，本节就以上的性质，作出实例，以充实理论.12121113.40(1,2,.,),(.).knnxknxxxxxx例 已知试求的最值.311112121121112()0()

20、0()(0,)1111()()1(.=)1minnnnkknkkkkkknnknkkknnkkkkf xxfxxxf xnfxf xnnnxxxnxxxxxnx解：设，则 由凸函数的可导性的反面可得：为的凸函数.即当取“”1()()3.5(),()().22baabf af bf xa bff x dxba例设为上的可微凸函数，证明：(),.()()()22,.:()()()1()(),()()()()()()()()221()()()()22bababaf xa babf af bfa bstf x dxfbaf x dxfbaabf xf aff babf af bffabf af bff

21、 x dxba 证明：为的可微凸函数有积分中值定理可得：故且为所给区间上的凸函数.即8/17第四章 结论凸函数是一种具有特殊性质的辅助函数，它在函数图像、函数最值与不等式系统中都起着十分重要的作用.如今随着科技的发展和网络的普与，人们对凸函数的认识越来越系统，研究也越来越全面,特别是凸函数的应用方面，许多数学爱好者都对其进行了大量的研究，他们的研究成果都为我们更好的认识凸函数作出了巨大贡献.本文是对前人的研究进行归纳和总结，当然也有自己的一些观点，在本次课题研究中，我发现：凸函数的定义与性质是研究凸函数的基石，无论我们是研究凸函数的浅显概念还是其广泛的应用都应从其定义与性质着手，凸函数的性质极

22、多在研究其应用时我们应做到“对症下药”，不能盲目地使用其性质，盲目地使用其性质只会让我们走进误区，更有甚者走进死胡同，只有正确地使用凸函数的性质才能使我们的研究事半功倍.9/17参考文献1华东师大学数学系.数学分析（上）M.:高等教育,2010.7.151-157.2三阳,于力,广民.数学分析选讲M.：科学，2007.77-89.3熊鹏飞.凸函数的性质和应用J.科技信息，2011,(21）:180.4小宁.关于凸函数的有趣不等式J.黄冈职业技术学院院报，2013,(1):99-100.5杜厚雄.凸函数的性质与应用J.现代企业教育，2007,(16）：173-174.6象华.凸函数的应用J.云南

23、民族大学学报，1991,(4）：71-84.7时贞军.凸函数的若干性质与应用J.应用数学，2004,(51）：1-4.8再鹏.凸函数在不等式中的应用J.成功（教育版），2009,(7）：173.9佩.凸函数性质举例J.考试（高考教育版），2012,(8）：50-51.10罗超群.凸函数在分析中的应用初探J.科教文汇（下旬刊），2010,(9）：92-93.11郭志荣.利用凸函数的性质巧证积分不等式J.数学学习与研究，2011,(7）：56.12王强芳，元金.函数凹凸性在解题中的应用J.中学数学，2007，（11）：31-32.13再鹏.凸函数在不等式中的应用J.长江教育，2009,(7）：17

24、3.14小明.几何凸函数 安徽大学，2004.06.11-14.15光中.凸分析与极值问题M.：高等教育，1991.05.222-246.16(德)洛克菲拉.凸分析(英文版)M.世界图书出版公司，2011.01.10-50.10/17致此次论文到此就接近尾声了，在此我要感我的论文指导老师秀老师，在她不辞辛劳的指导下，本论文才得以完美收笔.同时我也感在论文创作中帮过我的朋友与老师,正因为他们的帮助，我在书写论文时才显得游刃有余.最后，我还要特别感我所参考的文献作者，可以这么说，我是站在他们的肩膀上才摘得了成熟的果实,如没有他们的研究，我可能很难发现前进的灯塔,更不可能自由航行.由于自身才疏学浅与

25、书写经验不足，文中必有不足，还望各位高手不吝赐教！11/17附录1.闵可夫斯基（Minkowski，18641909）:德国数学家，出生于俄国的一个商人家庭，他的主要成就是在数论、代数和数学物理上.在数论上，他对二次型进行了重要的研究,在 1881 年法国大奖中，Minkowski 深入钻研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet）等人的论著.因为 Gauss 曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，Minkowski 由前人的工作中认识到把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关.由此，他深入研究了 n 元二次型，建立了完整的理论体系.2.约翰詹森（18591925）：丹麦数学家和工程师,约翰詹森最知名的是他的詹生不等式，1915 年詹森也证明了存在无穷多个非正则素数.