2022年选修坐标系与参数方程知识点及经典例题.doc

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1、坐标系与参数方程*选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求：1坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2参数方程： 了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.第一讲一、 平面直角坐标系伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任

2、意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。方法1：求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。方法2：待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:二、极坐标1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐

3、标系。2.点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为. 极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.3.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化：如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(，)(1)极坐标化直角坐标(2)直角坐标化极坐标方法3：极坐标与直角坐标的互化例：（1） 点M的极坐标是 （2）

4、点M的直角坐标是 练：三、简单曲线的极坐标方程1.圆的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)r(02)圆心在点(r，0)2rcos_()圆心在点(r，)2rsin_(0)圆心在点(r，)2rcos_()圆心在点(r，)2rsin_(0)(2)一般情形：设圆心C(0，0)，半径为r，M(，)为圆上任意一点，则|CM|r，COM|0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为220cos(0)r20即2.直线的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为(1)(R) 或(R) (2)(0) 和(0)过点(a，0)，且与极轴垂直cos_a过

5、点，且与极轴平行sin_a(0)过点(a，0)倾斜角为sin()asin (0)(2)一般情形，设直线l过点P(0，0)，倾斜角为，M(，)为直线l上的动点，则在OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为 sin()0sin(0)方法4：直角坐标方程与极坐标方程的互化方法5：极坐标系下的运算方法6：曲线极坐标方程的求法四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）1、柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0，02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点的位置可用有序数组(zR)表示这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之

6、间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0，02，zR(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为2、球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示，这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)，叫做点P的球坐标

7、，记作P(r，)，其中r0，0，0b0)的参数方程是(是参数)，规定参数的取值范围是0，2)(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆1(ab0)的参数方程是(是参数)，规定参数的取值范围是0，2)(3)中心在(h，k)的椭圆普通方程为1，则其参数方程为(是参数)2双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线1的参数方程是(为参数)，规定参数的取值范围为0，2)且，(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线1的参数方程是(为参数)3抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程为(t为参数)(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数方法1：参数方程和普通方程的互

8、化五、直线的参数方程1直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)2直线的参数方程中参数t的几何意义(1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离(2)当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数当与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t03直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线，选取参数tM0M得到的参数方程(t为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几何意义一般地，过点M0(x0，y0)，斜率k(a，b为常数)的直线，参数方程为(t为参

9、数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义方法2：求直线参数方程方法3：参数方程问题的解决办法解决参数问题的一个基本思路：将其转化为普通方程，然后在直角坐标系下解决问题。方法4：利用参数的几何意义解题六、渐开线与摆线（了解）1渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)

10、，则有(是参数)这就是圆的渐开线的参数方程2摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为(是参数)练习1曲线与坐标轴的交点是（ ）A B C D 2把方程化为以参数的参数方程是（ ）A B C D 3若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）A B C D4点在圆的（ ）A内部 B外部C圆上 D与的值有关5参数方程为表示的曲线是（ ）A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线6两圆与的位置关系是（ ）A内切 B外切 C相离 D内含7与参数方程为等

11、价的普通方程为（ ）A B C D8曲线的长度是（ ）A B C D9点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（ ）A B C D10直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）A B C D11若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（ ）A B C D 12直线被圆所截得的弦长为（ ）A B C D 13参数方程的普通方程为_14直线上与点的距离等于的点的坐标是_15直线与圆相切，则_16设，则圆的参数方程为_17求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离18已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积19分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数20已知直线过定点与圆：相交于、两点求：（1）若，求直线的方程；（2） 若点为弦的中点，求弦的方程