第1章线性空间与内积空间精选PPT.ppt
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1、第1章 线性空间与内积空间第1页，此课件共56页哦 第第2 2章章 线性映射与线性变换线性映射与线性变换 第第1 1章章 线性空间与内积空间线性空间与内积空间 第第3 3章章 矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的JordanJordan标准形标准形 第第4 4章章 矩阵的因子分解矩阵的因子分解 第第7 7章章 矩阵函数与矩阵值函数矩阵函数与矩阵值函数 第第5 5章章 Hermite Hermite矩阵与正定矩阵矩阵与正定矩阵 第第6 6章章 范数与极限范数与极限 第第8 8章章 广义逆矩阵广义逆矩阵第2页，此课件共56页哦约定和常用符号约定和常用符号 （1 1）集合用大写字母）集合用大写字母A，B，C，表
2、示，集合中的元素用小写字表示，集合中的元素用小写字母母a，b，c表示表示.第3页，此课件共56页哦第4页，此课件共56页哦1.1 预备知识预备知识1.2 线性空间线性空间1.3 基与坐标基与坐标1.4 线性子空间线性子空间1.5 线性空间的同构线性空间的同构1.6 内积空间内积空间 第第1章章 线性空间与内积空间线性空间与内积空间第5页，此课件共56页哦1.1 预备知识预备知识元素元素 称为元素称为元素 在映射在映射 下的下的像像，称，称 为为 的的原像原像。集合。集合 称为映射称为映射 的的定义域定义域，集合，集合称为映射称为映射 的的值域值域。定义定义1.1.11.1.1 设设 是两个非空
3、集合，如果存在对应法则是两个非空集合，如果存在对应法则 ，使得，使得 ，按对应法则，按对应法则 ，在，在 中有唯一元中有唯一元素素 与之对应，则称与之对应，则称 是是 到到 的一个的一个映射映射,记为记为 映射的例子：映射的例子：第6页，此课件共56页哦定义定义1.1.21.1.2设是非空集合，定义映射设是非空集合，定义映射 如下如下:称是上的称是上的恒等映射恒等映射或或单位映射单位映射。定义定义1.1.1.1.设设 是集合是集合 到到 的一个映射，的一个映射，（1 1）如果）如果 ，则称，则称 是是 到到 的的满映射满映射；（2 2）如果）如果 ，有，有 ，则称，则称 是是 到到 的的单映射
4、单映射；（3 3）如果）如果 既是单映射又是满映射，则称既是单映射又是满映射，则称 是是 到到 上上的的一一映射一一映射或称或称 是是 到到 的的双映射双映射。第7页，此课件共56页哦定义定义1.1.1.1.设设 是两个映射，如果是两个映射，如果 则称映射与则称映射与相等相等，记为。，记为。定理定理1.1.11.1.1设有映射设有映射 和和 ，则则定义定义1.1.51.1.5设设 是三个非空集合，如果是三个非空集合，如果 和和 是两个映射，则定义是两个映射，则定义乘积乘积映射映射 如下：如下：第8页，此课件共56页哦定义定义1.1.1.1.设有映射设有映射 ，如果存在映射，如果存在映射使得，则
5、称使得，则称 为为 的的逆映射逆映射,记为记为 。如果映射如果映射 有逆映射有逆映射 ，则称，则称 为为可逆映射可逆映射。定理定理1.1.21.1.2 设映射设映射 是可逆的，则是可逆的，则 的逆映射的逆映射 是唯一的。是唯一的。定理定理1.1.31.1.3 映射映射 是可逆映射的充分必要条件是是可逆映射的充分必要条件是 为为 到到 的双映射。的双映射。定义定义1.1.设设 是三个非空集合，是三个非空集合，到到 的映射的映射称为称为 与与 到到 的一个的一个代数运算代数运算；到到 的映射称为的映射称为 到到 的代数运算；的代数运算；到到 的映射称为的映射称为 上的代数运算。上的代数运算。第9页
6、，此课件共56页哦 对任意对任意 ，映射，映射 是是 与与 到到 的代数运算。的代数运算。对任意对任意 ，映射，映射 是是 与与 到到 的代数运算。的代数运算。对任意对任意 ，映射，映射 是是 上上的代数运算。的代数运算。对任意对任意 ，映射，映射 是是 到到 的的代数运算。代数运算。第10页，此课件共56页哦1.2 线线 性性 空空 间间定义定义1.2.11.2.1 设设P是包含是包含0 0和和1 1在内的数集，如果在内的数集，如果P中任意两个数中任意两个数的和、差、积、商（除数不为的和、差、积、商（除数不为0 0）仍是）仍是P中的数，则称中的数，则称P为一个为一个数域数域。定义定义1.2.
7、21.2.2 设设V 是一个非空集合，是一个非空集合，P是一个数域，如果在是一个数域，如果在V 上定义有代数运算上定义有代数运算 （称为（称为加法加法运算）；在运算）；在P与与V到到V 定义有代数运算定义有代数运算 （称为（称为数乘数乘运算），并且加运算），并且加法与数乘运算满足如下八条规则：法与数乘运算满足如下八条规则：第11页，此课件共56页哦其中其中k，m是是P中的任意数，中的任意数，,是是V 中的任意元素，则称中的任意元素，则称V 为数为数域域P上的上的线性空间线性空间。线性空间。线性空间V 中的元素也称为中的元素也称为向量向量。定理定理1.2.11.2.1 设设V是数域是数域P上的线
8、性空间，则上的线性空间，则(1)(1)中零元素是唯一的；中零元素是唯一的；(2)(2)中任一元素中任一元素的负元素是唯一的；的负元素是唯一的；定义线性空间中的定义线性空间中的减法减法：。第12页，此课件共56页哦以下总设以下总设 P 是数域，是数域，V 是数域是数域 P 上的线性空间。上的线性空间。定义定义1.2.31.2.3 设是设是V 中的一组向量，中的一组向量，是数域是数域 P 中的数，如果中的数，如果V 中向量中向量可以表示为可以表示为则称则称可由可由线性表示线性表示，或称，或称是是 的的线性组合线性组合。定义定义1.2.41.2.4 设设 与与 是线性空是线性空间间V 中两个向量组，
9、如果向量组中两个向量组，如果向量组()中每个向量都可由向量组中每个向量都可由向量组()线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组()可由向量组可由向量组()线性表示线性表示；如；如果向量组果向量组()与与()可以互相线性表示，则称向量组可以互相线性表示，则称向量组()与向量与向量组组()等价等价。第13页，此课件共56页哦设向量组设向量组 可由向量组可由向量组 线性表示，线性表示，则则上式可以简记为上式可以简记为 ，其中，其中第14页，此课件共56页哦注注1 1 向量组向量组 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示的充分必要条件是，存在的充分必要条件是，存在 矩阵矩阵 A，使得，使得 注注2 2
10、 向量组的线性表示满足传递性。向量组的线性表示满足传递性。注注3 3 向量组的等价满足自反性、对称性和传递性。向量组的等价满足自反性、对称性和传递性。定义定义1.2.51.2.5 设设 是是V 中一组向量，如中一组向量，如果存在不全为零的数果存在不全为零的数 P，使得，使得则称则称 线性相关线性相关，否则就称，否则就称 线性无线性无关关。第15页，此课件共56页哦注注4 4 向量组线性相关的充分必要条件是，向量组线性相关的充分必要条件是，向量方程向量方程 在数域在数域 中有非零解。中有非零解。定理定理1.2.21.2.2 设设V 是数域是数域 P上的线性空间上的线性空间.(1)(1)V 中一个
11、向量中一个向量线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是=0=0；(2)(2)V 中一组向量中一组向量 线性相关的充分必线性相关的充分必要条件是要条件是,其中有一个向量是其余向量的线性组合。其中有一个向量是其余向量的线性组合。例例1.2.11.2.1证明中的一组向量证明中的一组向量线性相关。线性相关。第16页，此课件共56页哦 定理定理1.2.31.2.3 设设V 是是 P 上的线性空间，如果上的线性空间，如果V 中向量组中向量组 线性无关，并且可由向量组线性无关，并且可由向量组 线性表示，线性表示，则则 。推论推论1.2.11.2.1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。两个
12、等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。推论推论1.2.21.2.2 如果向量组如果向量组 可由向量组可由向量组 线性表示且，则线性表示且，则 线性相关。线性相关。定理定理1.2.41.2.4 设线性空间设线性空间V 中向量组中向量组 线性无关线性无关,而向量组而向量组 线性相关，则线性相关，则可由可由 唯唯一线性表示。一线性表示。第17页，此课件共56页哦定义定义1.2.6 设设 是线性空间是线性空间V 的一组向量，的一组向量，是其线性无关部分向量组，如果是其线性无关部分向量组，如果 中任中任一向量都可由向量组一向量都可由向量组 线性表示，则称线性表示，则称 为向量组为向量组 的一个的一个
13、极大线性无关组极大线性无关组，数，数 r 称为向量称为向量组组 的的秩秩，记为，记为 推论推论1.2.51.2.5等价的向量组有相同的秩。等价的向量组有相同的秩。推论推论1.2.31.2.3 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是推论推论1.2.41.2.4 如果向量组如果向量组 可由向量组可由向量组 线性表示，则线性表示，则 。第18页，此课件共56页哦定义定义1.2.7 如果线性空间如果线性空间V 中有中有 n 个线性无关的向量，而任意个线性无关的向量，而任意+1个向量都线性相关，则称个向量都线性相关，则称V 是是 n 维维的，记为的，记为 dim(V)=n；如果在如果在 V 中存在任意
14、多个线性无关的向量中存在任意多个线性无关的向量，则称则称V 是是无限维无限维的，记为的，记为 dim(V)=；如果；如果V 中仅含有零向量，则称中仅含有零向量，则称V 是是零维零维的，记为的，记为 dim(V)=。定理定理1.2.5 设设 是是 V 中中 n 个线性无关的向量，个线性无关的向量，如果如果V 中任一向量都可由中任一向量都可由 线性表示，则线性表示，则dim(V)=n。例例1.2.2设有线性空间设有线性空间 ，证明，证明dim(V)=。第19页，此课件共56页哦1.3 基基 与与 坐坐 标标 定义定义1.3.11.3.1 设设V 为数域为数域 P上的上的 n 维线性空间，维线性空间
15、，V 中中n 个个线性无关的向量线性无关的向量 称为称为V 的的一组基一组基。设设是是V 中任一向量，则中任一向量，则可由基唯一线性可由基唯一线性表示：表示：其中系数其中系数 称为称为在基在基 下的下的坐标坐标，记为，记为 或或 。第20页，此课件共56页哦设设 是线性空间是线性空间V 的一组基，的一组基，是是V的的 n 个向量，个向量，则则 （2）当且仅当）当且仅当 T 可逆时，可逆时，也是也是V 的的一组基。一组基。当当和和 都是都是V 的基时，称的基时，称 是由是由基基 到基到基 的的过渡矩阵过渡矩阵。（1）存在）存在 n 阶方阵阶方阵 ，使得，使得 定理定理1.3.11.3.1 在在
16、n 维线性空间维线性空间V 中，任意一个线性无关中，任意一个线性无关的向量组的向量组 都可以扩充成都可以扩充成V 的一组基的一组基.第21页，此课件共56页哦 设设 与与 是线性空间是线性空间V 的两组基，且的两组基，且向量向量在基在基 和基和基 下的坐标分别是下的坐标分别是 和和 ，则有如下，则有如下坐标变换公式坐标变换公式：第22页，此课件共56页哦例例1.3.11.3.1在线性空间在线性空间 中取中取证明是证明是的一组基，并求矩阵的一组基，并求矩阵 在这组基下在这组基下的坐标。的坐标。第23页，此课件共56页哦1.4 线性子空间线性子空间定义定义1.4.11.4.1 设设V 是数域是数域
17、P上的线性空间，上的线性空间，W 是是V 的的非空子集，非空子集，如果如果W 对于对于V 的两种运算也构成数域的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称上的线性空间，则称W 是是V 的一的一个个线性子空间线性子空间，简称，简称子空间子空间。子空间的例子子空间的例子:第24页，此课件共56页哦定理定理1.4.21.4.2如果如果W 是线性空间是线性空间V 的子空间，则的子空间，则 定理定理1.4.3 1.4.3 设是线性空间设是线性空间的一组向量的一组向量则则W 是是V 的子空间，称为由向量的子空间，称为由向量张成的子空间张成的子空间。定理定理1.4.11.4.1设设V 是线性空间，是线性空间，W
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