备战中考数学二次函数的综合热点考点难点附详细答案.doc

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1、备战中考数学二次函数的综合热点考点难点附详细答案一、二次函数1已知二次函数的最大值为4，且该抛物线与轴的交点为，顶点为.（1）求该二次函数的解析式及点，的坐标；（2）点是轴上的动点，求的最大值及对应的点的坐标；设是轴上的动点，若线段与函数的图像只有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1），点坐标为，顶点的坐标为；（2）最大值是，的坐标为，的取值范围为或或.【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的

2、坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x0）时有一个公共点时，求t的值；当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x0）时也有一个公共点，则当t-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值【详解】解：（1），的对称轴为.人最大值为4，抛物线过点.得，解得.该二次函数的解析式为.

3、点坐标为，顶点的坐标为.（2），当三点在一条直线上时，取得最大值.连接并延长交轴于点，.的最大值是.易得直线的方程为.把代入，得.此时对应的点的坐标为.的解析式可化为设线段所在直线的方程为，将，的坐标代入，可得线段所在直线的方程为.（1）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.当时，线段与函数的图像只有一个公共点.（2）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.当线段过点，即点与点重合时，此时线段与函数的图像有两个公共点.所以当时，线段与函数的图像只有一个公共点.（3）将带入，并整理，得.令，解得.当时，线段与函数的图像只有一个公共点.综上所述

4、，的取值范围为或或.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的

5、坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时BDM的周长最小，然后求出直线DB的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作

6、AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，2a=2，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x+3；当x=0时，y=x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（1，0），C（0，3）代入得，解得，直线AC的解析式为y=3x+3；（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶

7、点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（3，0），MB=MB，MB+MD=MB+MD=DB，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，点M的坐标为（0，3）；（3）存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，直线AC的解析式为y=3x+3，直线PC的解析式可设为y=x+b，把C（0，3）代入得b=3，直线PC的解析式为y=x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=x+b，把A（1，0）代入得+

8、b=0，解得b=，直线PC的解析式为y=x，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题3如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直

9、线BD于点M（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，将AOC绕平面内某点H顺时针旋转90，得到A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标【答案】（1）y=-+x+2；（2）存在，Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点，A1的横坐标是1，.【解析】【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利

10、用待定系数法求解； （2）分两种情况分别讨论，当QBM=90或MQB=90，即可求得Q点的坐标 （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1）， 当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1； 当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，y=-+x+2；（2）点C与点D关于x轴对称，D（0，-2）设直线BD的解析式为y=kx-2将（4，0）代入得：4k-2=0，k=直线BD的解析式为y=x-2当P点与A点重合时，BQM是直角

11、三角形，此时Q（-1，0）；当BQBD时，BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，-2x+8=-+x+2，可求x=3或x=4（舍）x=3；Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1；当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键4已知，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）和C（0，3）（1）求抛物线的解析式

12、；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当MAC是直角三角形时，求点M的坐标【答案】（1）；（2）当的值最小时，点P的坐标为；（3）点M的坐标为、或.【解析】【分析】由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；设点M的坐标为，则，分、和三种情况，利

13、用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标【详解】解：将、代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，如图1所示当时，有，解得：，点B的坐标为抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线设直线BC的解析式为，将、代入中，得：，解得：，直线BC的解析式为当时，当的值最小时，点P的坐标为设点M的坐标为，则，分三种情况考虑：当时，有，即，解得：，点M的坐标为或；当时，有，即，解得：，点M的坐标为；当时，有，即，解得：，点M的坐标为综上所述：当是直角三角形时，点M的坐标为、或【点睛】本题考查待定系数法求二次一次函数解析式

14、、二次一次函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；分、和三种情况，列出关于m的方程5已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答

15、案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+6；（2）当t=3时，PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM，先求出直线AB解析式为y=x+6，设P（t，t2+2t+6），则N（t，t+6），由SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PNOB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PHOB知DHAO，据此由OA=OB=6得BDH=BAO=45，结合DPE=90知若PDE为等腰直角三角形，则EDP=45，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案【详解】（1）

16、抛物线过点B（6，0）、C（2，0），设抛物线解析式为y=a（x6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a=，所以抛物线解析式为y=（x6）（x+2）=x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=x+6，设P（t，t2+2t+6）其中0t6，则N（t，t+6），PN=PMMN=t2+2t+6（t+6）=t2+2t+6+t6=t2+3t，SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PN（AG+BM）=PNOB=（t2+3t）6

17、=t2+9t=（t3）2+，当t=3时，PAB的面积有最大值；（3）如图2，PHOB于H，DHB=AOB=90，DHAO，OA=OB=6，BDH=BAO=45，PEx轴、PDx轴，DPE=90，若PDE为等腰直角三角形，则EDP=45，EDP与BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.6如图，关于x的二次函数y=x2+bx+

18、c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，MN

19、B面积最大，最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个

20、单位处【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=4，c=3，二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）令y=0，则x24x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CP=CB时，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PCOC=33P1（0，3+3），P2（0，33）；当PB=PC时，OP=OB=3，P3（0，-3）；当BP=BC时，OC=OB=3此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（3，0）或（0，0）；（3）如图2，设A

21、M=t，由AB=2，得BM=2t，则DN=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t=（t1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，MNB面积最大，最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处7我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是。（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a= ；当顶点坐标为（m，m），m0时，a 与m之间的关系式是 ；（2）继续探究，如果b0，且过原点的抛物线顶点在直线上，请用含k的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，An在直线上，横坐标依次为1，2，n（n为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂

22、足记为B1，B2，B3，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过点Dn，求所有满足条件的正方形边长。【答案】（1）1；（2）（3）3，6，9【解析】解：（1）1；。（2）过原点的抛物线顶点在直线上，。b0，。（3）由（2）知，顶点在直线上，横坐标依次为1，2，n（n为正整数，且n12）的抛物线为：，即。对于顶点在在直线上的一点Am（m，m）（m为正整数，且mn），依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），若点Dm在某一抛物线上，则，化简，得。m，n为正整数，且mn12，n=4，8，12，m=3，6，9。所有满足条件的正方形边长

23、为3，6，9。（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有，即。当顶点坐标为（m，m），m0时，。（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标代入，化简即可用含k的代数式表示b。由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。（3）将依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），将（2 m，m）代入抛物线求出m，n的关系，即可求解。8如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线

24、于点N, FNBC（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）y=-x2+2x（0x4)，当x=2,y最大值=2.【解析】【分析】（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：AGEECF，则可证得：AE=EF；（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明ABEENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求

25、解最值问题【详解】（1）如图，在AB上取AG=EC，四边形ABCD是正方形，AB=BC，有AG=EC ，BG=BE ，又B=90，AGE=135，又BCD=90，CP平分DCN，ECF=135，BAEAEB=90，AEBFEC=90，BAE=FEC，在AGE和ECF中， ,AGEECF，AE=EF；(2)由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，BAE=NEF，B=ENF=90，ABEENF，FN=BE=x，SECF= (BC-BE)FN，即y= x(4-x），y=- x2+2x（0x4)，当x=2，y最大值=2.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问

26、题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键9如图，已知A（2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx1过A、B两点，并与过A点的直线y=x1交于点C（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，）；（3）N点坐标为

27、（4，3）或（2，1）【解析】分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 抛物线解析式为：y=x2x1抛物线对称轴为直线x=-1（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C（2，-1），连CO与直线x=1的交点即为P点设过点C、O直线解析式为：y=kxk=-y=-x则P点坐标为（1，-）（3）当AOCMNC时，如图，延长MN交y

28、轴于点D，过点N作NEy轴于点EACO=NCD，AOC=CND=90CDN=CAO由相似，CAO=CMNCDN=CMNMNACM、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-a-1）由EDNOACED=2a点D坐标为（0，-a1）N为DM中点点M坐标为（2a，a1）把M代入y=x2x1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当AOCCNM时，CAO=NCMCMAB则点C关于直线x=1的对称点C即为点N由（2）N（2，-1）N点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想10如图

29、，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.求抛物线的函数表达式；若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】；当 ，MANB= ，此时；存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a

30、+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=-1，c=3，此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，将点（-1，0）、（2，3）代入y=k

31、x+b中，得，解得，k=1，b=1，yAB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-）2+，根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，SAMB最大=SAMK+SBMK=MKAH+MK（xB-xH）=MK（xB-xA）=3=，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2SAMB最大=2=，M（，）；（3）存在点F，y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，对称轴为直线x=1， 当y=0时，x1=-1，x2=3，抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线

32、y=的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=-3=，CF=CH=，由题意可列：，解得，a=，F（1，）【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大11如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积

33、最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）当t=时，PEF的面积最大，其最大值为，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PHx轴，交直线l于点M，作FNPH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题

34、意可知有PAE=90或APE=90两种情况，当PAE=90时，作PGy轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当APE=90时，作PKx轴，AQPK，则可证得PKEAQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值试题解析： （1）由题意可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）A（0，3），D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段AC的中点为（，），直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，直线l过平行四边形的对称中心，A、D关于对称轴对称，抛物线对称轴为x=1，E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中

35、心坐标代入可得，解得，直线l的解析式为y=x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，F（，），如图1，作PHx轴，交l于点M，作FNPH，P点横坐标为t，P（t，t2+2t+3），M（t，t+），PM=t2+2t+3（t+）=t2+t+，SPEF=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM（FN+EH）=（t2+t+）（3+）=（t）+，当t=时，PEF的面积最大，其最大值为，最大值的立方根为=；（3）由图可知PEA90，只能有PAE=90或APE=90，当PAE=90时，如图2，作PGy轴，OA=OE，OAE=OEA=45，PAG=APG=45，PG=AG，t=t2+2t+33，即t2+

36、t=0，解得t=1或t=0（舍去），当APE=90时，如图3，作PKx轴，AQPK，则PK=t2+2t+3，AQ=t，KE=3t，PQ=t2+2t+33=t2+2t，APQ+KPE=APQ+PAQ=90，PAQ=KPE，且PKE=PQA，PKEAQP，即，即t2t1=0，解得t=或t=（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或考点：二次函数综合题12如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y=x5经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M当AMBC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以

37、点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+6x5；（2）P点的横坐标为4或或；点M的坐标为（，）或（，）【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断OCB为等腰直角三角形得到OBC=OCB=45，则AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQBC，作PDx轴交直线BC于D，如图1，利用PDQ=45得到PD=

38、PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；作ANBC于N，NHx轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到AM1B=2ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1

39、关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到AM2C=AM1B=2ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标详解：（1）当x=0时，y=x5=5，则C（0，5），当y=0时，x5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，5）代入y=ax2+6x+c得，解得，抛物线解析式为y=x2+6x5；（2）解方程x2+6x5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），B（5，0），C（0，5），OCB为等腰直角三角形，OBC=OCB=45，AMBC，AMB为等腰直角三角形，AM=AB=4=2，以点A，M，P，Q为顶点的四

40、边形是平行四边形，AMPQ，PQ=AM=2，PQBC，作PDx轴交直线BC于D，如图1，则PDQ=45，PD=PQ=2=4，设P（m，m2+6m5），则D（m，m5），当P点在直线BC上方时，PD=m2+6m5（m5）=m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m5（m2+6m5）=m25m=4，解得m1=，m2=，综上所述，P点的横坐标为4或或；作ANBC于N，NHx轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，M1A=M1C，ACM1=CAM1，AM1B=2ACB，ANB为等腰直角三角形，AH=BH=NH=2，N（3，2），易得AC的解析式为y=5

41、x5，E点坐标为（，设直线EM1的解析式为y=x+b，把E（，）代入得+b=，解得b=，直线EM1的解析式为y=x解方程组得，则M1（，）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则AM2C=AM1B=2ACB，设M2（x，x5），3=x=，M2（，）.综上所述，点M的坐标为（，）或（，）点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题13综合与探究如图，抛物线y=与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接

42、AC，BC点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值【答案】（1）C（0，4）；（2）Q点坐标为（，4）或（1，3）； （3）当m=2时，QF有最大值【解析】【分析】（1）解方程x2x-4=0得A（-3，0），B（4，0），计算自变量为0时的二次函数

43、值得C点坐标；（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-4，则可设Q（m，m-4）（0m4），讨论：当CQ=CA时，则m2+（m-4+4）2=52，当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；（3）过点F作FGPQ于点G，如图，由OBC为等腰直角三角形可判断FQG为等腰直角三角形，则FG=QG=FQ，再证明FGPAOC得到，则PG=FQ，所以PQ=FQ，于是得到FQ=PQ，设P（m，m2-m-4）（0m4），则Q（m，m-4），利用PQ=-m2+m得到FQ=（-m2+m），然后利用二次函数的性质解决问题【详解】（1）当y=0，x2x-4=0，解得x1=-3，x2=4，A（-3，0），B（4，0），当x=0，y=x2x-4=-4，C（0，-4）；（2）AC=，易得直线BC的解析式为y=x-4，设Q（m，m-4）（0m4），当CQ=CA时，m2+（m-4+4）2=52，解得m1=，m2=-（舍去），