[精品]2022届高考数学第二轮专题复习系列(6)---不等式天天练新人教A版.doc

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1、高三数学第二轮专题复习系列高三数学第二轮专题复习系列(6)-(6)-不等式不等式一、本章知识结构：一、本章知识结构：实数的性质二、高考要求二、高考要求1理解不等式的性质及其证明。2掌握两个不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。3分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式。4掌握某些简单不等式的解法。5理解不等式|a|b|a+b|a|+|b|。三、热点分析三、热点分析1.重视对根底知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视根底知识的考查，常考常新，创意不断，设

2、问方式不断创新，图表信息题，多项选择型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式根底知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分表达由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有

3、几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其交叉综合局部为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能表达出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之不等式的性质均值不等式不等式的证明不等式的解法不等式的应用比拟法综合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论最值的计算与讨论实际应用问题多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意

4、识.不等式局部的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点：1不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。2选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。3不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比拟法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容无视。四、复习建议四、复习建议1力求熟练掌握不等式的性质，以最大限度地减少不等式解题中可能出现的失误。2对于不等式的证明，应略高于教材上有关例题和习题的难度。必须重视演

5、练与其它内容综合在一起的证明题，特别是综合教材上的例题与习题、创新题。3对于解不等式，一般不需超出教材上的例题和习题的难度，也不要超出教材上的例题和习题所涉及的范围，但对于需要分类求解的不等式应给予充分的注意，而这类习题的分类一般不超过两层。4熟练掌握利用平均值不等式求最值的方法及其使用条件，并重视在几何和实际问题中的应用。5,通过训练,使学生掌握等价转化思想和化归思想,培养学生的代数推理能力,提高学生应用不等式知识解决问题的能力.6.重视数学思想方法的复习根据本章上述的命题趋向我们迎考复习时应加强数学思想方法的复习.在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习.解不等式的过程是一个等价

6、转化的过程，通过等价转化可简化不等式组，以快速、准确求解.加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏.加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的根底知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的

7、足够重视.利用函数 fx=x a0的单调性解决有关最值问题是近几年高考中的热点，应加强这方面的训练和指导.7.强化不等式的应用高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力.如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，防止不必要的错误.五、典型例题五、典型例题不等式的解法不等式的解法【例【例 1 1】解不等式：axa12解：原不等式可化为：2

8、)2()1(xaxa0，即(a1)x+(2a)(x2)0.当a1 时，原不等式与(x12aa)(x2)0 同解.假设12aa2，即 0a1 时，原不等式无解；假设12aa2，即a0 或a1，于是a1 时原不等式的解为(，12aa)(2，+).当a1 时，假设a0，解集为(12aa，2)；假设 0a1，解集为(2，12aa)综上所述：当a1 时解集为(，12aa)(2，+)；当 0a1 时，解集为(2，12aa)；当a=0 时，解集为；当a0 时，解集为(12aa，2).【例【例 2 2】设不等式x22ax+a+20 的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围.解：M1，4有n种情况：其一是M

9、=，此时0；其二是M，此时0，分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x22ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0 时，1a2，M=1，4(2)当=0 时，a=1 或 2.当a=1 时M=11，4；当a=2 时，m=2 1，4.(3)当0 时，a1 或a2.设方程f(x)=0 的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x240,410)4(,0)1(且且aff即210071803aaaaa或，解得：2a718，M1，4时，a的取值范围是(1，718).【例【例 3 3】解关于x的不等式：0 12log1log42axax解解：原不等式等价于12

10、1012012xaxxax，即02121xaxaxx.由于1a，所以a121，所以，上述不等式等价于0212xaxax解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准确实定就成了解答的关键如何确定这一标准？1当21a时，不等式组等价于axxax或212此时，由于01122aaaa，所以aa12从而212xaxa或2当2a时，不等式组等价于223xx所以223xx，且3当2a时，不等式组等价于axxax或212此时，由于212a，所以，axxa或212综上可知：当21 a时，原不等式的解集为212xaxax或；当2a时，原不等式的解集为223xxx，且；当2a时，原不等式的解集为ax

11、xax或212【例【例 4 4】解关于x的不等式：102loglog4aaxxaa，解：原不等式等价于22loglog402log0log4xxxxaaaa0log3log4log20log3log4log22xxxxxxaaaaaa或4log3xa，当a 1时，原不等式的解集为43axax当01a时，原不等式的解集为34axax【例【例 5 5】设函数 12xaxxf，1当2a时，解不等式 1)(fxf；2求a的取值范围，使得函数 xf在,1上为单调函数讲解：12a时，1)(fxf可化为：1122xx，等价于：1140122xxx或01012xx解得351 x，解得1x所以，原不等式的解集为

12、1351xxx或2任取,1,21xx，且21xx，那么1111111122212121222122212122212122221121xxxxaxxxxxxxxaxxxxaxaxxaxxfxf要使函数 xf在,1上为单调函数，需且只需：11222121xxxxa恒成立，或11222121xxxxa恒成立 因此，只要求出11222121xxxx在条件“,1,21xx，且21xx 之下的最大、最小值即可为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：1,121xx，容易知道，此时11222121xxxx；假设考虑21xx，那么不难看出，此时11222121xxxx1，至此我们可以看出：要使得函

13、数 xf为单调函数，只需1a事 实 上，当1a时，由 于011222121xxxx恒 成 立，所 以，111222121xxxx 所以，在条件“,1,21xx，且21xx 之下，必有：021xfxf所以，xf在区间,1上单调递减当1a时，由1可以看出：特例2a的情况下，存在 351ff由此可以猜测：函数 xf在区间,1上不是单调函数为了说明这一点，只需找到,1,21xx，使得 21xfxf即可简便起见，不妨取11x，此时，可求得111222aax，也即：aaaff11122，所以，xf在区间,1上不是单调函数另解：21xfxax，对1,x，易知：当1x 时，21xx；当x 时，211xx；所以

14、当1,x时，211xx，从而只须1a，必有 0fx，函数在1,x上单调递减。【例【例 6 6】f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，假设m、n1，1，m+n0 时nmnfmf)()(0.(1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式：f(x+21)f(11x)；(3)假设f(x)t22at+1 对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围.解：(1)证明：任取x1x2，且x1，x21，1，那么f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=2121)()(xxxfxf(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由2121)()(xxxfxf0，又x1x20，f(x1

15、)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数.(2)解：f(x)在1，1上为增函数，112111111211xxxx解得：x|23x1，xR R(3)解：由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1 对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11 成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于 0，g(1)0，g(1)0，解得，t2 或t=0 或t2.t的取值范围是：t|t2 或t=0 或t2.【例【例 7 7】给出一个不等式cccxcx1122xR。经验证

16、：当 c=1,2,3 时，对于x取一切实数，不等式都成立。试问：当 c 取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立？假设能成立，请给出证明；假设不成立，请求出 c 的取值范围，使不等式对任何实数x都能成立。解：令f(x)=cxcx221，设 u=cx 2(uc)那么f(x)=uuuu112(uc)f(x)cucucuccuucc)1(1)1(1要使不等式成立，即f(x)cc10uc0只须 uc10u2c1u2c1x2+cc1x2c1c故当 c=21时，原不等式不是对一切实数x都成立，即原不等式对一切实数x不都成立要使原不等式对一切实数x都成立，即使x2c1c 对一切实数都成立。x20故c1c0

17、c1(c0)c1 时，原不等式对一切实数x都能成立。不等式的证明不等式的证明【例【例 1 1】2a，求证：1loglog1aaaa解 1：1log1log11loglog1aaaaaaaa1log1log1log1aaaaaa因为2a，所以，01log,01logaaaa，所以，14log41log21log1log1log1log22222aaaaaaaaaaaa所以，01loglog1aaaa，命题得证解 2：因为2a，所以，01log,01logaaaa，所以，1log1log11log1log11loglog1aaaaaaaaaaaa，由解 1 可知：上式1故命题得证【例【例 2 2】

18、a0，b0，且a+b=1。求证：(a+a1)(b+b1)425.证法一：(分析综合法)欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证 4(ab)233(ab)+80，即证ab41或ab8.a0，b0，a+b=1，ab8 不可能成立1=a+b2ab，ab41，从而得证.证法二：(均值代换法)设a=21+t1，b=21+t2.a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|21，|t2|21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222

19、112122221122212122tttttttttttttttttttttbbaabbaa显然当且仅当t=0，即a=b=21时，等号成立.证法三：(比拟法a+b=1，a0，b0，a+b2ab，ab41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222bbaaabababababbabbaabbaa证法四：(综合法)a+b=1，a0，b0，a+b2ab，ab41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222abababababab425)1)(1(bbaa即证法五：(三角代换法a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0，

20、2).425)1)(1(4252sin4)2sin4(412sin125162sin24.3142sin4,12sin2sin416)sin4(2sin42cossin2cossin)cos1)(cossin1(sin)1)(1(2222222222222442222bbaabbaa即得2【例【例 3 3】证明不等式nn2131211(nN N*)证法一：(1)当n等于 1 时，不等式左端等于 1，右端等于 2，所以不等式成立；(2)假设n=k(k1)时，不等式成立，即 1+k131212k，,1211)1(11)1(21121131211kkkkkkkkkk则当n=k+1 时，不等式成立.综

21、合(1)、(2)得：当nN N*时，都有 1+n131212n.另从k到k+1 时的证明还有以下证法：,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk又如.12112kkk证法二：对任意kN N*，都有：.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221nnnnkkkkkkk因此证法三：设f(n)=),131211(2nn那么对任意kN N*都有：01)1()1(2)1(11 1)1(2)1(21111)1(2)()1(2kkkkkkkkkkkkkkkkfkff(k+1)f(k

22、)因此，对任意nN N*都有f(n)f(n1)f(1)=10，.2131211nn不等式的应用不等式的应用【例【例 1 1】,03log7x)2(log 5.020.5Mx的解集为已知不等式.)4)(log2(log)(,22的最大值和最小值函数时当求xxxfMx,03log7x)2(log5.020.5解：由x.82|,8221log30)3)(log1log2(5.05.05.0 xxMxxxx2log3)(log)2)(log1(log)(),4)(log2(log)(2222222xxxxxfxxxf得由3,21,41)23(23)(,log=u 222得令uuuuufx根据复合函数的

23、单调性得：.2)(,83,41)(,2223maxminxfxuxfxu时即当时即当【例【例 2 2】例 2、函数.1220|,log2aaaaxya其中1判断函数xyalog的增减性；2假设命题|)2(|1|)(:|xfxfp为真命题，求实数x的取值范围.解：1,102,02012,12120|22aaaaaaa即函数xyalog是增函数；2 1|2log|log|)2(|1|)(|xxxfxfaa即，必 有410,0 xx当时，02loglogxxaa，不等式化为12log,12loglogxxxaaa，故4121,21,12logxaaxxa此时；当xxxaa2log0log,141时，

24、不等式化为12log,12loglogaaaxx，这显然成立，此时141 x；当1x时，xxaa2loglog0，不等式化为12log,12loglogxxxaaa故21,2axax此时；综上所述知，使命题 p 为真命题的x的取值范围是.221|axax【例【例 3 3】1994 年)函数，且，若，21212020)(xxxxxtgxxf2)()(212121xxfxfxf证明：解：tgxxf)()(21)()(212121tgxtgxxfxf2121212211coscos2sincoscossincossincossin21xxxxxxxxxx)cos()cos()sin(coscos2)

25、sin(2121212121xxxxxxxxxx，212120 xxxx1)cos(00coscos0)sin(2212121xxxxxx，且，)cos(1)cos()cos(0212121xxxxxx有2)cos(1)sin()(2121212121xxtgxxxxtgxtgx2)()(212121xxfxfxf即【例【例 4 4】(1995 年)设 na是由正数组成的等比数列，nSn是前项之和。(1)证明12lg2lglgnnnSSS(2)是否存在常数 C0,使得)lg(2)lg()lg(12CSCSCSnnn成立？并证明你的结论。证明：(I)12lg2lglgnnnSSS要证即可即证02

26、12nnnSSS11)1(naSqn，则若0)1()2(2121211212aanannaSSSnnnqqaSqnn1)1(1)2(1，若221212221212)1()1()1()1)(1(qqaqqqaSSSnnnnnn021nqa212)2)(1(nnnSSS可得由根据对数函数的单调性，可得212lg)lg(nnnSSS即成立12lg2lglgnnnSSS(2)不存在常数 C 使等式成立。证法一证法一：因为要使成立，则有)lg()lg()lg(2112CSCSCSnnn0)()(222CSCSCSCSnnnn212)()(1CSCSCSqnnn则若0)1()2)(212111aCanCa

27、nCna论成立，即不存在正数使结212)()(CSCSCSnnn1q若212)()(CSCSCSnnn2112111)1(1)1(1)1(CqqaCqqaCqqannn)1(11qCaqan0)1(011qCaqan只能有，且qaC11；，001aC10q，即不存在在常数不可能满足时，当00111011CSqqaqaSqnnn使结论成立。0C综合上面的证明可见不存在常数，0C成立。使等式)lg()lg()lg(2112CSCSCSnnn还可以直接用反证法证明：证法二证法二：假设存在常数 C0，使等式能够成立,那么有)4()()()3(0)2(0)1(021221CSCSCSCSCSCSnnnn

28、nn由(4)可得：)5()2(12212nnnnnnSSSCSSS由平均值不等式可知)(2)()(21212CSCSCSSSSnnnnnn0)(2)(212CSCSCSnnn0C0)2(12nnnSSSC0)(212nnnSSSI 可知而由不可能成立等式)5()lg()lg(2102CSCSCnn，使等式数这个矛盾说明不存在常成立。)lg(1CSn【例【例 5 5】(1990 年)设naannnxfxxx是实数，其中)1(21 1lg)(是任意给定的自然数，且2n。(1)如果，当1()(xxf时有意义，求a的取值范围。(2)如果xxfxfa当，证明，)2()(2 10(0 时成立。解：(I)时

29、有意义，当 1()(xxf2 1(0)1(21nxannxxx，1(121，即xnnnnaxxx上都是增函数，在，1()121(nKnKx上也是增函数，在 1(121xxxnnnn时取得最大值，故它在1x)1(21)1(21121nnnnnnnn)1(21na；)1(21|naaa的取值范围为(2)证法一证法一：根据xxnxaxfxfxf)1(21 0 10()2()(2 )(即，的定义可知)1(0 10()1(21 2222xaannnanxxxx，下面用数学归纳法证之。A.设 n=2 时假设)21(2)21(22221)21(010222222aaaaaxaxxxxx则，即(1)成立。假设

30、，因为，xxa2101式成立时，当)1(2)21(22221)21(222nxxxxB.设xxxxKaKKKKn2221)1(21)2(，有不等式时0 11()1(22xaaKkxx，且，其中时且则若010 xaaKKKaKKxxxxxxxx)1)(21(2)21()1()21(2222)1(aKx2222)1()1)(21(2)21(akaKKKKxxxxxx2222)1()1(2)1(22)1(12)21(aKaKKaKaKKKxxxxxxxx222222222222)1()1()1(2)1(1)21(aKaKKaKaKKKxxxxxxxx)1(21)1(2222aKKKxxx)1(21)

31、1(2222aKKKxxK也成立。时，即当)1(1 Kn成立，都有数的证明可知对任意自然，由)1(2nBA成立，即0 10()2()(2xaxfxf证法二证法二：只需证明)1(21)1(21 22222annnannnxxxxxx时，10(，a，)(2)()(1312122221221nnnnaaaaaaaaaaaa)()()()(2222322221222122221nnnaaaaaaaaaaa)()()(2212222122nnnnnnaaaaaa)(22221naaan)()(22221221nnaaanaaa时成立。其中等号当且仅当naaa21xxa2101时，因，当)1(21)1(2

32、1 2222xxxxxxnnnnnaaxa2010时，因，当xxxxxxxnannnann22222221)1(21)1(21)1(22annxx成立。，即0 10()2()(2xaxfxf【例【例 6 6】如图，ABC 是某屋顶的断面，CDAB，横梁 AB 的长是竖梁 CD 长的 2 倍.设计时应使tgBtgAy2保持最小，试确定 D 点的位置，并求y的最小值.解：设 AD=x，CD=1，那么 AB=2，BD=2x，0 x2DCBA令BDCDADCDtgBtgAy22)2(2221xxxxx628212212xxxxx24282xx；当且仅当222,8)2(2xx时取等号当222x时，y取得

33、最小值22236241此时21224222:,224)222(2DBADDB答：取 AD:DB=1:2时，y有最小值2223【例【例 7 7】在一容器内装有浓度为 r%的溶液a升，注入浓度为 p%的溶液a41升，搅匀后再倒出溶液a41升，这叫做一次操作。(I)设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为bn每次注入的溶液都是 p%，计算bbb123，并归纳出bn的计算公式不要求证明(II)设)(2qprprqp，且要使容器内溶液浓度不小于 q%，问至少要进行上述操作多少次？3010.02lg解：)5154(100141004100)(1praaparabI5451)54(1001410042212pp

34、raapabab545451)54(100141004322323pppraapabab545451)54(100112ppprbnnnn)54()54(541 500)54(100)(12nnnprbII)()54(1001100541)54(1500)54(100rppprnnn100)()54(1001100qrppn依题意有：上式化简得：)(2qprp2)45(n次。至少要注入倒出4 103.33010.0313010.02lg312lgn【例【例 8 8】某商场经过市场调查分析后得知，2022 年从年初开始的前 n 个月内，对某种商品需求的累计数)(nf万件近似地满足以下关系：12,

35、3,2,1,)18)(2(901)(nnnnnf问这一年内，哪几个月需求量超过 1.3 万件？假设在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？精确到件解解：首先，第 n 个月的月需求量 1,11,212fnf nf nn)18)(2(901)(nnnnf，1711.330f当2n 时，)19)(1)(1(901)1(nnnnf21()(1)(33519)90f nf nnn令()(1)1.3f nf n，即117193532nn，解得：7314 n，nN，n=5，6即这一年的 5、6 两个月的需求量超过 1.3 万件设每月初等量投放商品a

36、万件，要使商品不脱销，对于第 n 个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品所以，需且只需：0)(nfna，90)18)(2()(nnnnfa又9102)18()2(90190)18)(2(2nnnn910a即每月初至少要投放 11112 件商品，才能保证全年不脱销【例【例 9 9】一根水平放置的长方体形枕木的平安负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比将此枕木翻转 90即宽度变为了厚度，枕木的平安负荷变大吗？为什么？现有一根横断面为半圆半圆的半径为 R的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使平

37、安负荷最大？解：由题可设平安负荷kladky(221为正常数，那么翻转 90后，平安负荷222daykl因为12ydya，所以，当0da时，12yy平安负荷变大；当0ad时，12yy，平安负荷变小2如图，设截取的枕木宽为a，高为d，那么2222adR，即22244adR 枕木长度不变，u=ad2最大时，平安负荷最大22222422442udadRddRd3222222223+22442234 39ddRdddRdR当且仅当2222dRd，即取Rd36，RdRa332222时，u最大，即平安负荷最大adl【例【例 1010】现有流量均为 3002/ms的两条河流 A、B 会合于某处后，不断混合，

38、它们的含沙量分别为 23/kg m和 0.23/kg m假设从集合处开始，沿岸设有假设干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换1003m的水量，即从 A 股流入 B 股 1003m水，经混合后，又从 B 股流入 A 股 1003m水并混合问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 0.013/kg m不考虑泥沙沉淀？解解：此题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于 0.013/kg m但直接建构这样的不等关系较为困难为表达方便，我们分别用,nna b来表示河水在流经第 n 个观测点时，A 水流和 B 水流的含沙量那么1a23/kg m，1b

39、0.23/kg m，且11111003001002001312,1003004410020033nnnnnnnnnnabbabababa 由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列nnab由可得：1111112221313333442nnnnnnnnnnnnabbababaabab所以，数列nnab是以111.8ab为首项，以12为公比的等比数列所以，111.82nnnab由题，令nnab 0.01，得1112180n所以，2lg1801log 180lg2n 由7821802得27log 1808，所以，8n 即 从 第 9 个 观 测 点 开 始，两 股 水 流

40、 的 含 沙 量 之 差 小 于0.013/kg m【例【例 1111】用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且外表积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，那么当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解此题时，不计容器厚度)解：设h是正四棱锥的斜高，由题设可得：12222412214haaaha消去)0(11:.2ahah 解得由)1(33122hhhaV(h0)得：2121)1(31hhhhhhV而所以V61，当且仅当h=h1即h=1 时取等号故当h=1 米时，V有最大值，V的最大值为61立方米.六、专题练习

41、六、专题练习【不等式的解法不等式的解法练习练习 1 1】1不等式)(|1|Raaxax的解集是D DAaxx1|Baxx21|Caxax121|Daxxx2100|或2当时，不等式恒成立，那么 的取值范围是B BA),2 B 1，2C2,1(D 0，13不等式成立的一个充分但不必要条件是B BABCD4三个数的大小关系是B BABCD5假设全集BAxxxBxxARI则，lg2012是(B B)A 2B 1CD1xx6以下命题中，正确的选项是(C C)A假设02xxx，则B假设xxx20，则C假设xxx20，则D假设02xxx，则7假设是任意实数，且，那么(D D)A22baB1abC0lgba

42、Dba21218设，那么以下四数中最大的是(A A)A22ba BCD219不等式Rxxaxa对042222恒成立，那么的取值范围为(D D)A，22B，22C22，D22，10不等式的解集是(B B)A11，B1001，C D，212111当1babaRba时，不等式、成立的充要条件是(C C)A B C D123baRba，且、，那么ba33 的最小值是(B B)A6BCD3813不等式组xxxxx22330的解集是(D D)A20 xxB5.20 xxC30 xxD60 xx14不等式xxx121log的解集是(C C)A10 xxB2xxC210 xxx或D210 xxx或15xxxa

43、xaaaaloglogloglog122，则的大小顺序是xxxaaaaloglogloglog2216假设143log1a，那么的取值范围是。),34()1,0(17不等式1123xx的解集是4212132，18关于的不等式的解集是空集，那么的取值区间是0，419.解不等式：)0(1222aaaaxxx解：ax2+ax2=(a2+12a)ax，变形原不等式，得a0)1)(01)1(22222aaaaaaaxxxx，即(1)当 0 a 1 时，a221a，那么 a2 ax a-2，-2 x1 时，a221a，那么 a-2 ax a2，-2x2(3)当 a=1 时，a221a，无解。综上，当 a1

44、 时，-2 x 2，当 a=1 时无解。2020对于x(,12，关于x的不等式lglg()2axax0,a+x1,lg(a+x)0 有 lg2axlg(a+x),2axa+x(2a-1)x12时，x12 aa，由 1x2 时x2，21a32(2)a=21时，有 0 x121x2 时不等式总成立(3)0a12 aa，由 1x2 时x12 aa总成立，得 a1，综合 0a21，得 0a21综上，0a0，且x yz2，那么xyx2的最小值为。3；提示：3241341321213232422yxxxyxyxxy，当且仅当221xxy 即xy2时，上式等号成立，又22yx故此时2,1yx1111某乡为提

45、高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997 年该乡从甲企业获得利润 320 万元，从乙企业获得利润 720 万元。以后每年上交的利润是：甲企业以 1.5 倍的速度递增，而乙企业那么为上一年利润的32。根据测算，该乡从两个企业获得的利润到达 2000 万元可以解决温饱问题，到达 8100 万元可以到达小康水平.1假设以 1997 年为第一年，那么该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？2试估算 2022 年底该乡能否到达小康水平？为什么？解：假设以 1997 年为第一年，那么第n年该乡从这两家企业获得的利润为)1(,)32(720

46、)23(32011nynnn=1111)32(9)23(4802)32(9)23(480nnnn=9606802当且仅当11)32(9)23(4nn，即n=2 时，等号成立，所以第二年1998 年上交利润最少，利润为 960 万元。由 2000960=1040万元知：还需另筹资金 1040 万元可解决温饱问题。2022 年为第 9 年，该年可从两个企业获得利润889)32(720)23(320y1681812016168181320)23(3208810058120所以该乡到 2022 年底可以到达小康水平.12.12.如图，假设河的一条岸边为直线 MN，又 ACMN 于 C，点 B、D 在

47、MN 上。先需将货物从 A 处运往 B 处，经陆路 AD 与水路 DB.AC=10 公里，BC=30 公里，又陆路单位距离的运费是水路运费的两倍，为使运费最少，D 点应选在距离 C 点多远处?解解：设 CDx公里，设水路运价每公里为 a 元，那么陆路运价为每公里 2a 元，运费)30()100(22xaxxay(0 x30)令xxz)100(22,那么10022xxz,平方得 3x2-2zx+(400-z2)=0由xR,得=4z2-43(400-z2)0由 z0 解得 z310,当且仅当3310 x时310z因此当3310 x时y有最小值，故当3310CD公里时，运费最少。注：对于xxz100

48、22，也可以设x=10tg(02去解。1313在交通拥挤及事故多发地段，为确保交通平安，规定在此地段内，车距 d 是车速 V公里/小时的平方与车身长 S米积的正比例函数，且车距不得小于车身长的一半，现假设车速为 50 公里/小时的时候，车距恰为车身长。)试写出 d 关于 V 的分段函数式其中 S 为常数；问车速多大时，才能使此地段的车流量 Q=sdV1000最大。解：()设 d=KV S2，V=50 时，d=s，K=25001，d=SV225001，又 d=21S 时，V=25 2，d=)225(25001)2250(212VSVVS()Q=)2)(225()25001(1000)1)(225

49、0(320002VVSVVSV对于(1)，V=225时，SQ3250000极大值对于(2)，Q=SVVSVVS250002500121000)25001(1000V=50 时，SQ25000极大值SS325000025000V=50(公里/小时)1414某工厂为某工地生产容器为)(233米的无盖圆柱形容器，容器的底面半径为 r米，而且制造底面的材料每平方米为 30 元，制造容器的材料每平方米为 20 元，设计时材料的厚度可忽略不计。制造容器的本钱y元表示成 r 的函数；工地要求容器的底面半径 r2，3米，问如何设计容器的尺寸，使其本钱最低？，最低本钱是多少？精确到元解：容器壁的高为 h 米，容

50、器的体积为 V 米3。由22223.23,rhhrhrV得rhrry220302rr60302)0)(2(302rrr由)11(30)2(3022rrrrry901133032rrr当且仅当rr12。即 r=1 时，取等号。由3,21；下面研究函数rrxQ2)(2在3,2r上的单调性。设,3221rr)2()2()()(22212121rrrrrQrQ)11(2)(212221rrrr2121212)(rrrrrr,3221rr,02,0)(212121rrrrrr,0)()(21rQrQ即 Qr在2，3上为增函数。当 r=2 时，y取得最小值 150465元。当 r=2 米，83h米时，造价