九年级数学一元二次方程带复习资料.doc

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1、精品文档第二章 一元二次方程第1讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一. 知识结构网络二、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为或的形式的方程求解。当时，可两边开平方求得方程的解；当时，方程无实数根。2. 因式分解法解方程的步骤：1将方程一边化为0；2将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；3令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3. 配方法解一元二次方程的步骤为：1化二次项系数为12移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。3方程两边都

2、加上一次项系数的一半的平方4原方程变为的形式5如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4. 公式法解一元二次方程的根本步骤：1将方程化为一般形式，确定a、b、c的值；2计算的值并判别其符号；3假设，那么利用公式求方程的解，假设，那么方程无实数解。【典型例题】1用因式分解法 解：2用公式法 解： 3用配方法解： 【经典练习】一、直接开方法1 2二、配方法注：1 2二、公式法1. 用求根公式法解以下方程；解：； 解：；解： ； 解：； 解：；解：； 解：(7)方程无实数根； 解：； 解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式， 解：。三、因式分解 1. 用因式分解法

3、解以下各方程：1x25x240； 解：；212x2x60；解：；3x24x1650 解：；42x223x560；解：；5； 解： 6；解：7 解：； 8； 解： (x2)25(x2)60，(x22)(x23)0，x14，x25；9t(t3)28； 解：9t23t280，(t7)(t4)0，t17，t24；10(x1)(x3)15。解：x24x315，(x6)(x2)0，x16，x222. 用因式分解法解以下方程：1(y1)22y(y1)0； 解：； 2(3x2)24(x3)2； 解： 39(2x3)24(2x5)20； 解：3(2x3)2(2x5)3(2x3)2(2x5)0， 4(2y1)23

4、(2y1)20。 解：(2y1)1(2y1)20， 三、综合练习 1. 以下方程中，有两个相等实数根的方程是 B A. 7x2x10B. 9x24(3x1) C. D. 2. 假设a，b，c互不相等，那么方程(a2bc2)x22(abc)x30 C A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根D. 根的情况不确定 解析: 因为4(abc)212(a2b2c2) 4(2a22b22c2222) 4(ab)2(bc)2(ca)203. 假设方程的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。 分析：此题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，求出m的取值范围，再用S的代

5、数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。 解：设方程的两个实根为 方程有两个实根 。4. 关于x的方程x2(2m1)x(m2)20。m取什么值时， 1方程有两个不相等的实数根？ 2方程有两个相等的实数根？ 3方程没有实数根？ 解析:(2m1)24(m2)25(4m3)。 1当，即时，原方程有两个不相等的实数根； 2当时，原方程有两个相等的实数根； 3当时，原方程没有实数根。5. 关于x的方程 1求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。 2如果a是关于y的方程 的根，其中为方程的两个实数根。 求：代数式的值。 分析：第1题直接运用根的判别式即可得到结论，第2题首先利用根与系数

6、关系可将方程化成，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代数式的值。 1证明： 对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。 2解：是方程的两个实数根 方程 a是方程的根， 注：第2问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6. 关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m 1试分别判断当时，是否成立，并说明理由； 2假设对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。 解：1原方程化为 即成立 当时，原方程化为 由，可设方程的两根分别为 那么 即不成立 2设原方程两个实数根是 那么 对于任意一个非零的实数a，都有 第2讲 根的判别式【知识要点】1.根的判别式： 关于x的一

7、元二次方程 当时，方程有两个不相等的实根 当时，方程有两个相等的实根 当时，方程无实根【典型例题】1. a，b，c是三角形的三条边， 求证：关于x的方程b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根分析：此题需证出0。条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a0，b0，c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边，“任意两边之差小于第三边。 证明：因为(b2c2a2)24b2c2 (b2c2a2)2(b2c2a2)2 (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca)。 (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为bca，即bca0， 同理bca0，又cab

8、，即bca0。 又abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。 所以，原方程没有实数根。【经典习题】为三边长的三角形是 A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以c为斜边的直角三角形 C. 以b为底边的等腰三角形 D. 以c为底边的等腰三角形 2. 关于x的一元二次方程1k取什么值时，方程有两个实数根。2如果方程的两个实数根满足，求k的值。 解：1 解得时，方程有两个实数根 2，分两种情况 当，方程有两个相等的实数根。 当 由根与系数关系，得 3. 方程的两根的平方和为11，求k的值。 解：设方程的两根为 那么有 当。 注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4含有绝对值的

9、一元二次方程 1. 方程840的实数根的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 4 解： 显然x0不是方程的根。 当x0时，xx8x40。 x0的任何实数不可能是方程的根。 当x0时，方程为x28x40。 此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因x0， 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A。 2. 求方程x2|2x1|40的实数根。 解：令得 显然不是方程的解 当时，方程是 即 x1舍去，x3 当时，方程是 即解得 舍去， 故方程的实数根是。5a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：，那么=18时， 。6. 是方程的两根，求代数式的值。7.广东广州，19，10分关于x的一元二次方

10、程有两个相等的实数根，求的值。【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值【答案】解：有两个相等的实数根，即 ，8.四川乐山中考假设关于的一元二次方程有实数根（1） 求实数k的取值范围；（2） 设，求t的最小值（3） 解：1一元二次方程有实数根，（4） ， 2分（5） 即，（6） 解得4分（7） 3由根与系数的关系得：， 6分（8） ， 7分（9） ，（10） ，（11） 即t的最小值为4 10分9. 四川绵阳中考关于x的一元二次方程x2 = 21mxm2 的两实数根为x1，x21求m的取值范围；2设y = x1

11、 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值【答案】1将原方程整理为 x2 + 2m1x + m2 = 0 原方程有两个实数根， = 2m124m2 =8m + 40，得 m2 x1，x2为x2 + 2m1x + m2 = 0的两根， y = x1 + x2 =2m + 2，且m因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值110. 湖北孝感中考关于x的一元二次方程、 1求p的取值范围；4分 2假设的值.6分【答案】解：1由题意得：2分解得：4分 2由得，6分8分9分10分说明：1可利用代入原求值式中求解；11.山东淄博中考关于x的方程1假设这个方程有实数根，求k的取值范围；2假

12、设这个方程有一个根为1，求k的值；3假设以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值【答案】解: 1由题意得0化简得 0，解得k52将1代入方程，整理得，解这个方程得 ，.3设方程的两个根为，根据题意得又由一元二次方程根与系数的关系得，那么，所以，当k2时m取得最小值512.广东茂名中考关于的一元二次方程为常数1求证：方程有两个不相等的实数根； 2设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值 【答案】解：1，2分因此方程有两个不相等的实数根3分2，4分又，解方程组： 解得：5分方法一：将代入原方程得：，6分解得：7分方法二：将代入，得：，6分解得

13、：7分第3讲 根与系数的关系【知识要点】 1. 根与系数关系关于x的一元二次方程 当推论1：推论2：【典型例题】1. 方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。 解：设方程的一个根为x，另一根2x 由根系关系知： 解得： 2. 方程的两根不解方程，求和的值。解：由题设条件 【经典习题】一. 选择题。 1. 是关于x的一元二次方程的一个根，那么k与另一根分别为 A. 2，-1B. -1，2C. -2，1D. 1，-2 2. 方程的两根互为相反数，那么m的值是 A. 4B. -4C. 1D. -1 3. 假设方程有两负根，那么k的取值范围是 A. B. C. D. 4. 假设方程的两根中

14、，只有一个是0，那么 A. B. C. D. 不能确定 5. 方程的大根与小根之差等于 A. B. C. 1D. 6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是 A. B. C. D. 二. 填空题。 7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，那么m。 8. 一元二次方程两根比2：3，那么a，b，c之间的关系是。 9. 方程的两根，且，那么 。 10. 是方程的两根，不解方程可得：，。 11. ，那么以为根的一元二次方程是。三. 解答题。 12. 方程的两根，求作以为两根的方程。 13. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。【试题答案】一. 选择题。 1. A2. B3.

15、 D4. B5. C6. B二. 填空题。 7. 8. 设，那么 9. 或 时，原方程0，故舍去， 10. 11. 由此 或 或 所求方程或三. 解答题。 12. 解：由题意 即 故所求方程是，即 13. 解： 由 由 不符合题意，舍去 第4讲 一元二次方程的应用【知识要点】1. 列一元二次方程解实际问题的步骤：（1） 设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。（2） 列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。（3） 解：解所列的一元二次方程。（4） 验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。（

16、5） 答：根据题意，写出答案。【典型例题】1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200，出油率为50%即每100花生可加工成花生油50，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求：新品种花生亩产量的增长率。解：设新品种花生亩产量的增长率为x， 那么有 解得不合题意，舍去 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。 注：对于增长率问题，解这类问题的公式是，其中，a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b为增长的量。2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定

17、采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 求：1假设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 2每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：1设每件衬衫应降价x元，那么有 解得 根据题意，取20， 每件衬衫应降低20元。 2商场每天赢利 当时，商场赢利最多，共1250元 每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。【经典习题】1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。2一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了

18、66次手。这次会议到会的有多少人？3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，假设每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?【模拟试题】一填空题 1. 一元二次方程化为一般式后，。 2. 假设方程有两个实数根，那么m的值是。 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是。 4. 关于x的一元二次方程的一个根是1，另一个根是，。 5. 假设是方程的两个根，那么。 6. 两不等实数a、b满足条件，那么 7. a、b是方程的两

19、个实数根，那么。二解以下方程 1. 2. 3. 4. 5. 三解答题 1. 关于x的方程 求证无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根 假设这个方程的两个实数根，求m的值 2. 关于x的方程的两个实数根是x1、x2，且，如果关于x的另一个方程的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。第一次课后作业【经典练习】1. 1是关于x的方程的一个根，那么 。2. 假设方程是关于x的一元二次方程，求m的值。3. 假设是关于x的一元二次方程，那么 。4. a0，ab，1是方程的一个解，那么的值是 。5. 关于x的一元二次方程有一根为0，求的值。6m是方程的一个不为零的根，求的值。7. 关于x的方程

20、的一个根与方程的根相等。(1)求k的值.(2)求方程的另一个根.81是一元二次方程的一个根，那么的值为 。9方程有一个根是a0，那么以下代数式的值恒为常数的是 AB. 第二次课后作业1.用配方法解方程：.进行配方，正确的结果是 A. B. C. D. 3. 求证：不管m取何值，的值都不小于7.4. 用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为 AB. C. D. 5. m是方程的一个根，那么代数式的值是 。6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围。7. 是关于x的方程的两个根，且，求m的值。8. 在中，边上的中线368，那么的面积为 。9. 是方程的两根，求以下代数式的值。；10. 是方程的两根，求代数式的值。11. 是方程的一个根，求方程的另一个根和c的值。12关于x的方程的两实根的平方和为11，求m的值。