高数竞赛试题集..doc

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1、优质文本高等数学竞赛一、 填空题 假设，那么a = ，b = 设, 那么的间断点为 曲线上与直线垂直的切线方程为 ，且f (1) = 0, 那么f (x) = 设函数由参数方程 确定, 那么曲线向上凸的取值范围为 设，那么 假设时， 与是等价无穷小，那么 . 设，那么 由定积分的定义知，和式极限 二、 单项选择题 11把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，那么正确的排列次序是 【 】(A) . (B) . (C) . (D) . 12设函数f(x)连续，且那么存在，使得 【 】 (A) f(x)在0，内单调增加. Bf(x)在内单调减少.C对任意的有f(x)f(0) . (D) 对

2、任意的有f(x)f(0) . 13 . 设, 那么 【 】A是的极值点, 但不是曲线的拐点.B不是的极值点, 但是曲线的拐点.C是的极值点, 且是曲线的拐点.D不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 14 . 等于 【 】A. B. C. D 15 . 函数在以下哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). 16 . 设f (x)在(- , +)内有定义，且， ，那么【 】(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x

3、)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.17 . 设在a , b上连续，且，那么以下结论中错误的选项是【 】 (A) 至少存在一点，使得 f (a). (B) 至少存在一点，使得 f (b). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0. 18 . 设，那么【 】 (A) F(x)在x = 0点不连续. (B) F(x)在(- , +)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F(x)在(- , +)内可导，且满足. (D) F(x)在(- , +)内可导，但不一定满足.三、解答题19求极限.20设函数在上有定义, 在区间上, , 假设对任意的都满足, 其中为常数.()写

4、出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.21设 fx，gx均在a, b上连续，证明柯西不等式 22设, 证明.23曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的值;() .24设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)，.证明：.25 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000的飞机，着陆时的水平速度为700. 经测试，减速伞翻开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长

5、距离是多少？注表示千克，表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、假设，那么 A B C D2、设 ，其中在处可导且，那么是的 A 连续点 B 第一类间断点 C 第二类间断点 D以上都不是3、设常数，函数在内零点的个数为 A 0 B 1 C 2 D 34、假设在上有，且，那么，的大小关系为 A B C D 5、由平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 A B C D 6、关于平面的对称点是 A B C D7、设为，是位于第一象限的局部，连续，那么 A B C D8、为常数，那么级数 A 绝对收敛B发散C 条件收敛D 收敛性与的取值有关二、填空题1、 。2、具有个不相等实根的次多项式，其一

6、阶导数的不相等实根至少有 个。3、对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为 。4、设是的二次多项式，且，那么 。5、设，那么 。6、 。7、假设级数收敛，那么常数 。8、三重积分 。8*、曲线与轴相切，那么可以通过表示为 。9、设为上半椭球面，的面积为S，那么曲面积分 。9*、级数的收敛区间为 。10、三元函数在点处沿该点的向径方向的方向导数为 。10*、设，且可微，那么 。11、设 ，那么曲线的长度为 。11*、假设，那么 。12、设都是单位向量，且满足，那么 。12*、函数的拐点为 。三、按要求做以下各题。1、求极限。2、函数对一切满足且在点处取得极值，问是极大值还是极小值，并证明你的结论。四

7、、计算下面积分。1、 2、五、为上的连续函数， ,求六、周长为的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最大？ 七、连续可导，。证明：在内存在，使得。八、设函数由方程组 所确定，求，。九、1、，为大于零的常数。设积分。其中是依次连结的有向折线。求极限。2、计算曲面积分 ，其中为曲面的上侧。提示：先补充两个曲面，取下侧；，取下侧，其中常数充分小，使上半球面与积分曲面互不相交。九*、1、是的一个原函数，而是微分方程满足初始条件的解，试将展开成的幂级数，并求的和。2、如以下列图，曲线C的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点与处的切线，其交点为。

8、设函数具有三阶连续导数，计算定积分。 高等数学竞赛一、 填空题 。 . 设函数由方程确定，那么= 。4. 。5. 广义积分。6. 绕旋转所成的旋转体的体积为 。7. 由确定, 那么。与平行的切平面的方程是 设，那么。 交换二次积分次序的积分次序 11. 12. 设为正向圆周在第一象限中的局部，那么曲线积分的值为 . 二、单项选择题 13. 设函数，其中在处连续，那么是在处可导的【 】(A) 充分必要条件. B必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 14设在0，1上连续，且【 】A B C D 15以下等式中正确的选项是 【 】A BC D16 . 等于

9、AB.C.D.17. 设为连续函数，那么等于【 】A B C D18. 设与均为可微函数，且. 是在约束条件下的一个极值点，以下选项正确的选项是【 】A假设，那么. B假设，那么.C假设，那么.D假设，那么.19. 设为椭圆，其周长记为, 那么【 】A. B .C D .20.级数收敛，级数【】A收敛.B收敛.C收敛.D收敛.三、解答题21极限22设函数在上有定义, 在区间上, , 假设对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.23.求通过点的直线中，使得为最小的直线方程。24 求曲面夹在二曲面之间的局部的面积。25 计算 ，其中是沿着椭圆的正向从到的一段

10、弧。26设为可微函数，且，试求。27设在上连续，在内可导，证明存在使。28曲线的方程为讨论的凹凸性；过点引的切线，求切点，并写出切线的方程；求此切线与对应于的局部及轴所围成的平面图形的面积。高等数学竞赛一、填空题7、设曲线在点处的法平面为，那么点到的距离是 ( )8、设，那么( )二、选择题13、曲线在点处的切线方程为 ( )A. .D.14、设，那么 ( )A. B. C. D. 15、假设，那么区域可以表示为 ( )A. B. C. D. 16为2(x22)在上方局部， 17、假设是某二元函数的全微分，那么的关系是 ( )A. B. C. D. 18、设曲线C是由极坐标方程()(12)给出

11、，那么A. B.C. D.19、为任意正的实数，假设级数，都收敛，有 A. B. C. D. 20、以下级数中发散的级数是 A；B；C； D。一、解答题求极限1、 2、 为何值时，在处连续。3、求。 4、设在上连续，且试求。5设，求。6 计算二次积分7计算二重积分其中D：。 8计算极限 其中D：。二、证明题1 试证：为偶函数。2 证明恒等式在时成立。3设对一切满足，且在处连续，求证：在任意处连续。4设 fx，gx均在a, b上连续，证明柯西不等式三、应用题1曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的值;()计算极限.高等

12、数学竞赛一、填空1设，且.那么的定义域为 .2求= .3设，那么 . 4求 .5曲线的拐点为 . 6函数在上的最大值为 .7求 . 8求 .9求 . 10设连续，那么 .11求 12由曲线及所围图形的面积 .13以向量和为边的三角形的面积为 ，其中.14设具有二阶连续导数，那么 .15函数在点处函数值增加最快的方向为 .16求 . 17求 .18幂级数表达式为 . 19求三重积分 .20设为椭圆，其周长为，那么 .19设是有界闭区域： 上的连续函数，那么 .20把在极坐标系中进行转化： 二、解答题1求极限.2、求极限.3、求曲线上任一点的法线到原点的距离.4、设具有二阶连续偏导数，且满足，又求.5、设函数连续，且，。求.6、计算二重积分，其中.二、 证明题1、设在上连续，证明：，并计算.2、设在上连续，在内可导，且满足证明至少存在一点，使得3 证明级数收敛，并求极限.三、综合题1 ， 为从点到点的半圆.1在曲线上某点A处作一切线，使之与曲线以及轴所围成图形的面积为，试求：切点A的坐标；过切点A的切线方程；由上述所围平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2计算其中为圆柱面被截的局部外侧.2在球面与椭球面交线上对应于点处的切线方程和法线方程.3求常数项级数的和. 3求常数项级数的和.