人教版数学八年级下册第十八章平行四边形专题复习辅导讲义.doc

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1、精品文档辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型T平行四边形知识回忆C 三大变换专题T 平行四边形综合运用授课日期时段教学内容 一、同步知识梳理知识网络结构图二、 同步题型分析知识点1：平行四边形的定义1如下图，以不在同一直线上的三点作为平行四边形的三个顶点，可以作出平行四边形的个数为 A1个 B2个 C3个 D4个2如下图，四边形ABCD是平行四边形，那么以下说法正确的有 四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是； BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形； ADBC，且ABCD； 四边形ABCD是平行四边形，可以记做“ABDCA1个

2、B2个 C3个 D4个2题图1题图 知识点2 平行四边形的性质3 如下图，在ABCD中，1=B=50，那么2=_ 答案：804如图6所示，在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，那么DF=_cm 答案：3cm4题图3题图 5在ABCD中，B-A=30，那么A，B，C，D的度数是 A95，85，95，85 B85，95，85，95 C105，75，105，75 D75，105，75，1056在ABCD中，A：B：C：D的值可以是 A1：2：3：4 B3：4：4：3 C3：3：4：4 D3：4：3：47如下图，如果ABCD的对角线AC，BD相

3、交于点O，那么图中的全等三角形有 A1对 B2对 C3对 D4对8如下图，假设平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O，AOD的周长比AOB的周长小3cm，那么AD=_，AB=_ 答案：4cm 7cm 8题图7题图 知识点3 平行四边形的面积9如下图，ABCD的对角线AC的长为10cm，CAB=30，AB的长为6cm.求ABCD的面积答案：30cm210如下图，在ABCD中，AB=10cm，AB边上的高DH=6cm，BC=6cm，求BC边上的高DF的长答案：10cm知识点4 平行四边形的判定11：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF提示：证明DEBF

4、，DE=BF12：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BEAC于E，DFAC于F求证：四边形BEDF是平行四边形提示：证明BEDF，BE=DF13：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF求证：四边形BFDE是平行四边形提示：证明OB=OD, OE=OF知识点5 三角形的中位线14 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 答案：40 三角形两边的中点连线平行于第三边且等于第三边的一半15 ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，假设DE

5、4，AD3，AE2，那么ABC的周长为_ 答案：1816：如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形提示：连结BD，利用中位线定理得：EHBD，GFBD知识点6 矩形的定义与性质17 在四边形ABCD中，ABCD，请添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，加上的条件是_答案：AC=BD (答案不唯一)18如下图，M是ABCD的边AD的中点，且MB=MC求证：ABCD是矩形 提示：证明ABMDCM，得到A=D，又因为A+D=18019如下图，矩形ABCD的两条对角线相交于点D，AOD=120，AB=4cm，求矩形的对角线的长 答案：

6、8cm知识点7 直角三角形斜边中线的性质20 直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，那么斜边上的中线长 答案：5cm21如下图，在ABC中，ACB=90，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且CDF=A求证：四边形DECF为平行四边形提示：AE=CE,得到角相等，推出DFCE，又DEBF，即证22如下图，在ABC中，C=90，AC=BC，AD=BD，PEAC于点E，PFBC于点F，求证：DE=DF提示：连结CD，证明ADECDF知识点8 矩形的判定23以下说法中：1四个角都相等的四边形是矩形 2两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形3对角线相等并且有一个角是直

7、角的四边形是矩形 4一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形 正确的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个24判定一个四边形是矩形可以先判定这个四边形是_，再判定这个四边形有一个_，或再判定这个四边形对角线_25：如图，AB=AC，AE=AF，且EAB=FAC，EF=BC求证：四边形EBCF是矩形提示：证明ABEACF，得BE=CF，推出BECF，再EBC=FCB知识点9 菱形的定义与性质26 在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_答案：ACBD答案不唯一27菱形的周长为20cm，那么菱形的边长为_ 答案：5cm28

8、菱形具有而矩形不一定具有的特征是 A对角相等且互补 B对角线互相平分 C一组对边平等，另一组对边相等; D对角线互相垂直29如下图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF 提示：证明ADEABF30如下图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求：1对角线AC的长度;2菱形ABCD的面积 答案：24cm 120cm2知识点10 菱形的判定31以下命题不正确的选项是 A对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形 B两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形 C两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形 D对角线互相垂直且相等的四

9、边形是菱形32如下图，能说明四边形ABCD是菱形的有 BDAC OA=OC，OB=OD，AB=BC AC=BD ABCD，AB=BCA B C D33能判定一个四边形是菱形的条件是 A对角线互相平分且相等 B对角线互相垂直且平分 C对角线互相垂直且对角相等; D对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角34一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形吗？请说明理由35如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与两边AB、CD的延长线分别相交于E、F，求证：四边形AECF为菱形提示：设AC与EF交于点O，证明AOECOF知识点11 正方形的定义与性质36以下结论： 有一组对边平行，且两个角是直角的四边形是

10、矩形； 两条对角线相等的四边形是矩形； 两组对边分别相等的四边形是矩形； 有一个角是60的平行四边形是菱形； 有两边相等的平行四边形是菱形； 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有三边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形； 对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形 其中正确的有 A2个 B3个 C5个 D877个37正方形具有而矩形不一定具有的性质是 A四个角都是直角 B对角线互相平分 C对角相等D对角线互相垂直38正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A四条边相等 B对角线互相平分 C对角线相等 D对角线互相垂直39假设正方形的一条对角线长为，那么它的边长是_答案140假设正方形的面积是9，那

11、么它的对角线长是_答案：41如下图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA，连接AE交CD于F， 求AFD的度数 答案：42如下图，点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，AE，BF相交于点G，BE=CF，求证：1AE=BF2AEBF 提示：证明ABEBCF知识点12 正方形的判定43有以下命题，其中真命题有 四边都相等的四边形是正方形； 四个内角都相等的四边形是正方形； 有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形； 对角线与一边夹角为45的四边形是正方形 A1个 B2个 C3个 D4个44如下图，在ABC中，ABC=90，BD平分ABC，DEBC，DFAB.求证：四

12、边形BEDF是正方形提示：由角平分线的性质可推出：DE=DF，又三个角为90的四边形是矩形，所以推出四边形BEDF是正方形一、 专题精讲 专题1 动点问题 例1 如下图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s(1在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？(2分别求出菱形AQCP的周长、面积分析：1设经过x秒后，四边形AQCP是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间2根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积解答：解：1经过x秒后，四边

13、形AQCP是菱形DP=xcm，AP=CP=AD-DP=8-xcm，DP2+CD2=PC2，16+x2=8-x2，解得x=3即经过3秒后四边形是菱形2由第一问得菱形的边长为5菱形AQCP的周长=54=20cm菱形AQCP的面积=54=20cm2点评：此题主要考查菱形的性质及矩形的性质的理解及运用专题2 平移问题 例2 如图将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到ACD(1证明：AADCCB；(2假设ACB=30，试问当点C在线段AC上的什么位置时，四边形ABCD是菱形，并请说明理由分析：1根据利用SAS判定AADCCB；2由可推出四边形ABCD是平行四边形，只要再证明一组邻边

14、相等即可确定四边形ABCD是菱形，由可得到BC=AC，AB=AC，从而得到AB=BC，所以四边形ABCD是菱形解答：1证明：四边形ABCD是矩形，ACD由ACD平移得到，AD=AD=CB，AA=CC，ADADBCDAC=BCAAADCCB2解：当点C是线段AC的中点时，四边形ABCD是菱形理由如下：四边形ABCD是矩形，ACD由ACD平移得到，CD=CD=AB由1知AD=CB四边形ABCD是平行四边形在RtABC中，点C是线段AC的中点，BC=AC而ACB=30，AB=ACAB=BC四边形ABCD是菱形点评：此题即考查了全等的判定及菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握考查了学生综合运用数

15、学的能力ABCDEFD专题3 折叠问题 例3 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D 处，折痕为EF1求证：ABEADF； 2连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.分析：1根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到B=D，AB=AD，1=3，从而利用ASA判定ABEADF；2四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证解答：1证明：由折叠可知：D=D，CD=AD，C=DAE四边形ABCD是平行四边形，B=D，AB=CD，C=BADB=D，AB=AD，DAE=BAD，即1+2=2+31=3在ABE和A

16、DF中ABEADFASA2解：四边形AECF是菱形证明：由折叠可知：AE=EC，4=5四边形ABCD是平行四边形，ADBC5=64=6AF=AEAE=EC，AF=EC又AFEC，四边形AECF是平行四边形AF=AE，平行四边形AECF是菱形点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握专题4 旋转问题DCABGHFE 例4 把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点如图试问线段与线段相等吗？请先观察猜测，然后再证明你的猜测分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角

17、形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形解答：证明：HG=HB，证法1：连接AH，四边形ABCD，AEFG都是正方形，B=G=90，由题意知AG=AB，又AH=AH，RtAGHRtABHHL，HG=HB证法2：连接GB，四边形ABCD，AEFG都是正方形，ABC=AGF=90，由题意知AB=AG，AGB=ABG，HGB=HBG，HG=HB点评：解答此题要充分利用正方形的特殊性质注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率二、 专题过关1. 如下图，ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BC

18、A的平分线于E，交BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.分析：1根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证2根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证解答：1证明：CE平分ACB，1=2，又MNBC，1=3，3=2，EO=CO，同理，FO=CO，EO=FO2解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形EO=FO，点O是AC的中点四边形AECF是平行四边形，CF平分BCA的外角，4=5，又1=2，2+4=180=90即ECF=90度，四边形AECF是矩形点评：此题涉及矩形的判定定理，解

19、答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论2. 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.1求证：BDEBCF； 2判断BEF的形状，并说明理由；1证明：菱形ABCD的边长为2，BD=2，ABD和BCD都为正三角形，BDE=BCF=60，BD=BC，AE+DE=AD=2，而AE+CF=2DE=CF，BDEBCF；2解：BEF为正三角形理由：BDEBCF，DBE=CBF，BE=BF，DBC=DBF+CBF=60，D

20、BF+DBE=60即EBF=60，BEF为正三角形；3. 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E.1试找出一个与AED全等的三角形，并证明.2假设AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PGAE于G，PHEC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.解答：解：1AEDCEB证明：四边形ABCD为矩形，BC=BC=AD，B=B=D=90，又BEC=DEA，AEDCEB；2由折叠的性质可知，EAC=CAB，CDAB，CAB=ECA，EAC=ECA，AE=EC=8-3=5在ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，那么PMAB，PG=PMPG+PH=PM+

21、PH=HM=AD=44. 将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠，AE、EF为折痕，BAE30，AB，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处那么BC的长为 AB2C3D选C5. 如下图的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论证明：BK与DM的关系是互相垂直且相等四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形，AB=AD，AK=AM，BAK=90-DAK，DAM=90-DAK，BAK=DAM，ABK与ADM的形状和大小相同把ABK绕A逆时针旋转90后与ADM重合，BK=DM且BKDM三、学法提

22、炼1、专题特点：平移、旋转和翻折是几何变换中的三种根本变换所谓几何变换就是根据确定的法那么，对给定的图形(或其一局部)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜测、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力2、解题方法: 1平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移“一定的方向称为平移方向，“一定的距离称为平移距离平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等2旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样

23、的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角3翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180后所形成的新的图形的变化 翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴3、 考前须知 ： 解这类题抓住变换前后两个图形是全等的，弄清变化后不变的要素 一、 能力培养1、如图1.在四边形ABCD中,ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,那么BMECNE不需证明

24、 (温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HEHF，从而12，再利用平行线性质，可证得BMECNE)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论 问题二:如图3，在ABC中，ACAB,D点在AC上，ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,假设EFC60,连接GD,判断AGD的形状并证明.【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平

25、行进行角的转移【解】OMN为等腰三角形AGD为含有30的直角三角形证明：连接BD，取BD的中点M，连接FM、EMRPDCBAEFAFFD，BMMD MFAB 同理MECDABCD MFME，又2160，MEF为等边三角形，4360，560AGF为等边三角形 FGFD ADG30AGD为含有30的直角三角形2、：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC(或它们的延长线)点M、N当MAN绕点A旋转到BNDN时如图1，易证BMDNMN当MAN绕点A旋转到BNDN时如图2，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜测，并加以证明；当MAN绕点A旋转到如图3的位

26、置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜测并 明 图1图2图3【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补短，构造全等三角形解决解：MN BMDN证明：延长CB到E，使BEDN，连接AEABAD，BEDN，ABEADN，ABEADN1 2，AEAN，MAN45，1 3451 245，EAMNAM，AMAMAEMANM，MNME，MNBMDN MN DNBM 证明：在DN上截取DFBM，连接AFABAD，DABM，BMDF，ABMADF4 5，AFAM，4 645，5 645，FAN45FANMAN，AFAM，AN AN，AFNAMNMNFN，MNDNBM3、如图，AB

27、CD中，BC2AB,CEAB,E为垂足，F为AD的中点，假设AEF54,求B的度数分析：过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即RtBCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即GEF、BEG都是等腰三角形，因此求B的度数，只需求得BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得EFG=AEF，由此可求得FEG的度数，即可得到AEG的度数，根据邻补角的定义可得BEG的值，由此得解解答：解：过F作FGABCD，交BC于G；那么四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；连接EG，在RtBEC中，EG是斜边上的中线，那么BG=GE=FG=

28、BC；AEFG，EFG=AEF=FEG=54，AEG=AEF+FEG=108，B=BEG=180-108=72应选D点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键 二、 能力点评 灵活运用知识是解决这些问题的关键。1主要考查由中点联想到中位线定理，利用中位线的平行性质进行角度的转化；2主要考查学生的类比思想，由简单到复杂的图形的分析方法；3是12年广州中考题的原型，考查知识多样，是一道很不错的问题。学法升华一、 知识收获 掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定；会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关

29、知识解决一些简单的实际问题；理解并掌握三角形中位线、斜边上的中线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题.二、 方法技巧总结 通过设立问题情境，主动探索和自觉总结四边形的相关性质，掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握类比思想在本章中的应用，同时掌握几何图形三大变化的根本要点。课后作业一、填空题1如图1，DEBC，DFAC，EFAB，圈中共有_个平行四边形 (1) (2) (3) (4)2如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为_cm3菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，那么这个菱形的面积是_cm4平行四边形ABCD，加一个条件

30、_，它就是菱形5如图2，长方形ABCD是篮球场地的简图，长是28m，宽是15m，那么它的对角线长约为_m精确到1m二、选择题6如图3， ABCD中，AE平分DAB，B=100，那么DAE等于 A100 B80 C60 D407某校方案修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、平行四边形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是 A等腰三角形 B正三角形 C平行四边形 D菱形8一个多边形的每一个内角都等于140，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 A6条 B7条 C8条 D9条9如图4，图中的BDC是将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的，图

31、中包括实线、虚线在内共有全等三角形 对A1 B2 C3 D4三、解答题10在一个平行四边形中假设一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？11如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D、C的位置上，假设EFG=55，求AEG和ECB的度数12如图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色的，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是多少？13如图，假设ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，那么可得DEBC，且DE=BC根据上面的结论： 1你能否说出顺次连结任意

32、四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形？并说明理由2如果将1中的“任意四边形改为条件是“平行四边形或“菱形或“矩形，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由14如图，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF，请答复以下问题，并说明理由 1四边形ADEF是什么四边形？ 2当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ 3当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在答案13 22 320 4一组邻边相等或对角线互相垂直 532 6D 7D 8A 9D 1014cm或16cm 11AEG=70，EGB=110 122601块 131平行四边形，2平行四边形，矩形，菱形14提示：1DBEABC，得DB=AB=EF=AD，DE=AC=FC=FA，即DE=FA，DA=FE得ADEF，2当BAC=150时是矩形，3由BDEABC知，BDE=BACBAC=BDE=60+ADE，当ADE=0时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，此时BAC=60