椭圆的标准方程 [数学教案－椭圆及其标准方程1] .docx

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1、椭圆的标准方程 数学教案椭圆及其标准方程1 教学目标1驾驭椭圆的定义，驾驭椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2能依据条件确定椭圆的标准方程，驾驭运用待定系数法求椭圆的标准方程；3通过对椭圆概念的引入教学，培育学生的视察实力和探究实力；4通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步驾驭求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的实力； 5通过让学生大胆探究椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的主动性，培育学生的学习爱好和创新意识教学建议教材分析1 学问结构2重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式难点是椭圆标准方程的建立和推导关键是驾驭建立坐标

2、系与根式化简的方法椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程椭圆是圆锥曲线这一章所要探讨的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的探讨放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用先讲椭圆也与第七章的圆的方程连接自然学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是特别重要的（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满意的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解另外要留意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 这样规定是为了避开出现两种特别状况，即：“当常数等于 时轨迹是一条线段；当常数小于 时无轨迹”这样有利于集中精力进一步探讨椭圆的标准方程和几何性质但

3、讲解椭圆的定义时留意不要忽视这两种特别状况，以保证对椭圆定义的精确性（2）依据椭圆的定义求标准方程，应留意下面几点：曲线的方程依靠于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应当留意的地方应让学生视察椭圆的图形或依据椭圆的定义进行推理，发觉椭圆有两条相互垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简洁，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁设椭圆的焦距为 ，椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ，令 ，这些措施，都是为了简化推导过程和最终得到的方程形式整齐、简洁，要让学生仔细领悟在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时常常遇到的问题，又是学

4、生的难点要留意说明这类方程的化简方法：方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项教科书上对椭圆标准方程的推导，事实上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程 “而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”这事实上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求（3）两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在 轴上， 轴上的椭圆标准方程分别为： ， 它们的相同点是：形态相同、大小相同，都有 ， 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；椭

5、圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大另外，形如 中，只要 ， 同号，就是椭圆方程，它可以化为 （4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法中间变量法例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；其次是向学生说明，假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆教法建议（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好为激发学生学习圆锥曲线的爱好，体会圆锥曲线学问在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要探讨的问题，使学生对所要探讨的内容心中有数，如书中所

6、给的例子，还可以启发学生找寻身边与圆锥曲线有关的例子。例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上假如这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行人类放射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不行能有任何其他的轨道因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的（2）支配学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历为了让学生了解圆锥曲

7、线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应支配让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的相识（3）对椭圆的定义的引入，要留意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性相识入手，逐步上升到理性相识，形成正确的概念。老师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。老师可事先打算好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，老师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按老师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，老师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然

8、后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过视察两次作图的过程，总结出阅历和教训，老师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这肯定义就会有深刻的了解。（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思索，自主探究，使学生依据提出的问题，利用多媒体，通过视察、试验、分析去找寻解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程（）中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹肯定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“变更焦距或定值”，视察轨迹的形态，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。（5）留意

9、椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系在讲解椭圆的定义时，就要启发学生留意椭圆的图形特征，一般学生比较简单发觉椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较简单选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的探讨几何性质）虽然这时学生并不肯定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了肯定感性相识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为简单接受，也向学生逐步渗透了坐标法（6）推导椭圆的标准方程时老师要留意化解难点，适时地补充根式化简的方法推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要留意

10、化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体相识通过详细的例子使学生按部就班的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项（为了避开二次平方运算）（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，老师要启发学生自己探讨焦点在y轴上的标准方程，然后激励学生探究椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的相识（8）在学习新学问的基础上要巩固旧学问椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的学问仍旧运用，在推导椭圆的标准方程中要留意进一步巩固曲线和方程的概念对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要留意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念冲突，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要留意并不是以后都不须要证明，留意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而事实上学生在遇到一些详细的题目时，还须要详细问题详细分析（9）要突出老师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参加探讨，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培育学生的团结协作的团队精神。