概率与数理统计_习题集(含答案).docx

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1、概率与数理统计_习题集(含答案)第 1 页共 15 页概率与数理统计课程习题集 西南科技高校成人、网络教化学院 版权全部 习题 ：本课程概率与数理统计（编号为 01008）共有计算题 1,计算题 2 等多种试题类型，其中，本习题集中有等试题类型未进入。1. 设 A，B，C 表示三个随机事务，试将下列事务用 A，B，C 表示出来。 A 出现，B、C 不出现； （2）A、B 都出现，而 C 不出现； （3）全部三个事务都出现； （4）三个事务中至少一个出现； （5）三个事务中至少两个出现。2. 在分别标有123,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事务 A为抽得一张标号不大于 4的卡片，事务

2、 B 为抽得一张标号为偶数的卡片，事务 C 为抽得一张标号为奇数的 卡片。试用样本点表示下列事务：（1）AB ；（2）A+B ；（ 3）B ；（4）A-B ；（ 5）BC 3. 写出下列随机试验的样本空间：（1）一枚硬币掷二次，视察能出现的各种可能结果； （2）对一目标射击，直到击中 4 次就停止射击的次数； （3）二只可分辨的球，随机地投入二个盒中，视察各盒装球状况。4. 设 A，B，C 为三事务，用 A，B，C 的运算关系表示下列事务。（1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A，B，C 都发生； （3）A，B，C 中不多于一个发生。5. 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、B、

3、C 分别表示甲、乙、丙命中目标。试用 A、B、C 的运算关系表示下列事务：（1）至少有一人命中目标 计算题 1第 2 页共 15 页（2）恰有一人命中目标第 3 页共 15 页(3) 恰有二人命中目标 (4) 最多有一人命中目标 (5) 三人均命中目标 6. 袋内有 5 个白球与 3 个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，其次台出现废品的概率是 0.02。加工出来的零件放在一起， 并且已知第一台加工的零件比其次台加工的零件多一倍， 求随意取出的零件是合格品的概率。8. 某地区的电话号码由 7 个数字组成(首位不能

4、为 0),每个数字可从 0, 1, 2,，9 中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为 24 的概率。9. 同时掷两颗骰子(每个骰子有六个面，分别有点数 1 , 2, 3, 4, 5, 6),视察它们出 现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。10. 一批零件共 100 个，其中次品有 10 个，今从中不放回抽取 2 次，每次取一件，求第 一次为次品，其次次为正品的概率。11. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 X 的概率密度 f(x) ; (3) X 的取值落在(1 , 2)内的概率。12. 假设 X 是连续随机变量，其密度函数为 2 cx ,0 x 2

5、 0,其他 求：(1) c 的值；(2) P( 1 X 1)求常数 A,B,C ( x ),(y ) - 14. 设随机变量 X 的分布函数为0, x 1F x (x) In x, 1 x e1, x e求 PX 2, P0 X 3, P2 X 5 2 ； (2)求概率密度 f X (x)x 2F(x) A Be 2x 0 0 x 0 f (x) 13. 设二维随机变量 X, Y)的联合分布函数 F (x, y) A(B arctanx)(C arctany) , 求(1)系数 A 及 B ; (2)第 4 页共 15 页15. 设随机变量 X 的概率密度为第 5 页共 15 页2(1 -),

6、1 x 2, x 其他• 1 x 1x0 1 x 0 x 1 ，求 E(X) , D(X)。0 其它 0 ，试求|X|的数学期望。0 18. 搜寻沉船，在时间 t 内发觉沉船的概率为 1 e t(入0),求为了发觉沉船所需的平 均搜寻时间。19. 设 x 听从参数为 的指数分布，即 x 有密度函数 f(x) e x , x 0 0, 其他 求：E (X) , E (X 2 ) 。 * X E (x) * * 20. X 称为对随机变量 X 的标准化随机变量，求 E(X )及 D(X ) 。二、计算题 2 21. 已知 XB(n,p)，试求参数 n,p 的矩法估计值。22. 设总体 X

7、 在a,b上听从匀称分布 f(x,a,b) a x a,b ，试求参数 a,b 的矩法估计量。0 x a,b 23. 设 X 1 , ,X n 是来自 N ( , 的样本，求 , 2 的最大似然估计。f(x) 0, 16. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) x e f (x) 2x e 217. 设 X 的概率密度为第 6 页共 15 页24. 设有一批产品。为估计其废品率 p,随机取一样本 X 1 , X 2 ,，X,其中2 第 7 页共 15 页1 n则 ？X X i 是 p 的一样无偏估计量。n i 1今有一批这种电池，从它的生产状况来看，寿命波动性较大。为推断这种想法是否合乎

8、实 际，随机取了 26 只这种电池测出其寿命的样本方差 S 2 =7200（小时2 ）。问依据这个数字能 否断定这批电池的波动性较以往的有显著改变（取 a=0.02，查表见后面附表）？概率论与数理统计附表 标准正态分布部分表 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 1.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9

9、931 0.9932 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 兀 2 分布部分表 n a=0.995 a=0.99 a=0.05 a=0.025 a=0.01 a=0.005 24 9.886 10.856 36.415 39.364 42.980 45.559 25 10.520 11.524 37.652 40.646 44.314 46.928 0 取得合格品 11 取得废品 (i=1,2,n ) 25. 设总体 X 的均值 及方差 2 都存在, 且有 0 。但 均未知。又设 X nX 2 , ， X n 是

10、来自 X 的样本。试求 ， 2 的矩估计量。26. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来听从方差 b 2 =5000 （小时2 ）的正态分布。 N(0,1)2 第 8 页共 15 页 26 11.160 12.198 38.885 41.923 45.642 48.290 常用抽样分布第 9 页共 15 页 X TS/n t ( n 1 )2 (n 1)S 2 27. 某电站供应 10000 户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为 0.8，且各户用电量多 少是相互独立的。求：1、 同一时刻有 8100 户以上用电的概率； 2、 若每户用电功率为 100W 则电站至少须要多少电功率才能保证以

11、0.975 的概率 供应居民用电？（查表见后面的附表）概率论与数理统计附表 标准正态分布部分表 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 1.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0

12、.9949 X 2 分布部分表 n a=0.995 a=0.99 a=0.05 a=0.025 a=0.01 a=0.005 24 9.886 10.856 36.415 39.364 42.980 45.559 25 10.520 11.524 37.652 40.646 44.314 46.928 26 11.160 12.198 38.885 41.923 45.642 48.290 常用抽样分布X U n N(0,1) X T t(n 1) S/、n2 (n 1)第 10 页共 15 页 2 2 (n 1)S 2 28. 某种电子元件的寿命 x(以小时计)听从正态分布，卩,d 2 均未

13、知，现测得 16 只元件, 其样本均值为X 241.5 ，样本标准方差为 S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿 命大于 225 (小时)？ T 分布表 N a=0.25 a=0.10 a=0.05 a=0.025 13 0.988 1.502 1.7709 2.1604 14 0.6924 1.3450 1.7613 2.1448 15 0.6924 1.3406 1.7531 2.1315 16 0.6901 1.3368 1.7459 2.1199 29. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常状况下有正态分布 N(4.55，0.108 2 )。现在测了五 炉铁水，其含碳量分别为 4.

14、28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不变更，总体平 均值有无改变？( a=0.05) 标准正态分布部分表 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 1.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945

15、 0.9946 0.9948 0.9949 常用抽样分布2 U X N(0,1) T X t ( n 1) 2 (n 1 2 ) S 2 (n 1) n S / n 30. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常状况下有正态分布 N(4.55，0.108 2 )。现在测了五 炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不变更， 总体平均值有无改变？( a=0.05) 标准正态分布部分表 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 1.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 1.9 0.9713

16、 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 2 (n 1)第 11 页共 15 页 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 常用抽样分布 答案 、计算题 1 1. 解：(1) ABC ; (2) ABC ; (3) ABC ; (4) A+B+C ; (5) AB+BC+CA (每个 3 分) 2. 解：( 1) AB=2 , 4; (2)

17、A+B=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8; (3) B =1 , 3, 5, 7 ; (4) A-B=1 , 3 ; (5) BC =1,2,3,4,5,6,7,8(每个 3 分) 3. 解：( 1) ( HH ) (HT ) (TH ) (TT) (2) 4, 5, 6, (3) (12,0)(0,12)(1,2)(2,1 )其中：1 为一号球，2 为二号球(每个 5 分) 4. 解：(1)利用事务的运算定义，该事务可表示为 ABC 。(2) 同理，该事务可表示为 ABC。(3) A B BC A C(每小题 5 分) 5. 解：(1) A B C (2) ABC ABC ABC (

18、3) ABC ABC ABC BC AC ABABC （每小题 3 分） X n N( 0 , 1 ) t( n 1) (n 1)S 22 2 (n 1)第 12 页共 15 页 解：基本领件的总数 n C 8 ;基本领件数 k C ； 。故所求的概率 C ；50.375 C ；14 7. 解：任取一零件，设 B 1 , B 2 分别表示它是第一、 二台车床的产品，A 表示它是合格品。(4 分)则 P(Bi) 2 1 3 , P( B 2 )3 P(A|B i ) 1 0.03 0.97 , P(A|B 2 ) 1 0.02 0.98 (10 分) 由全概率公式得 2 1 P(A) P(B 1

19、 )P(A| B 1 ) P(B 2 )P(A| B 2 ) 0.97 0.98 0.973 ( 15 分) 3 3 8. 解：第一位数字不能是 0，这时，基本领件的总数为 10 6 9（3 分）A 表示任选的电话号码的前两位数字恰好为 24。由于电话号码的前两个数字为 24, 5 后五个数字中每一个可以由 0,1,2,9 中任取，故对 A 有利事务的数目为 10。（6 分）于 是 1 (15 分) 90 9. 解：一个基本领件是由两个数字组成的排列（ i , j ）, i,j=1,2,3,4,5,6 ，而 i,j 可以 重复，故基本领件的总数为 6 2 。（ 5 分）A 表示两颗骰子掷得的点

20、数不同。对 A 有利的 基本领件数等于全部 i 工 j 排列方式的数目，即从 1, 2, 3, 4, 5, 6 这六个数字任取其二 11. 解:P(A) 10 510 6 9 作不行重复的排列方式数 A ，所以 P(A) A -(15 分) 6 6 10. 解：记 A 第一次为次品 、 B 第一次为正品 ，要求 P （AB）。（2 分）已知 P (A )= 0.1,而 P ( B A) ，因此（8 分）99 P (AB ) = P (A) P ( B A) 0.1 = 0.091 (15 分) 992 X 第 13 页共 15 页 Jim A(B arctanx)(C arctan y) A(

21、B )(C arctan y) 0 (8 分) 2 ( i)由于 F( ) lim F(x) 1 ，所以有 lim (A Be 2 ) A 1 。又由于 X X X 为连续型随机变量， F(x) 应为 x 的连续函数，应有 x 2 x 2所以 A+B=0 , B=-A=-1 ,代入 A、B 之值得 F (x) 1 e 2 x 0(5 分) 0 x 0b ( 3)由 Pa X b f (x)dx F(b) F(a) 式有 a 1 P1 X 2 F(2) F(1) e 2e 20.4712 ( 15 分) 12. 解：( 1)因为 f(x) 是一密度函数，所以必需满意 f(x)dx 1 ，于是有(

22、5 分) 2 dx 3 解得 c (10 分) 8 1 0 1 P( 1 X 1) 1f (x)dx dx of (x)dx ( 2 ) 1 3 11 1 0( 15分) 3 x 2 dx 10 8 8 13. 解：由分布函数的性质得: lim A(B arctanx)(C arctany) x y lim F(x) X 0 0 lim F (x) x 0 lim (A Be 2) x 0 (2 )对函数 F(x) 求导得 x 的概率密度为 f(x) F(x) xe x 0(10 分) x 0 A( B-)(C -) 1 (4 分) x 2第 14 页共 15 页 lim A(B arctan

23、x)(C y arctan y) A(B arctanx)(C ) 0 (12 分) 2 1 八 , A 2 。(1 $ 分) 由此可解得 c -. ,B - 22 0, x 1 14. 解：( 1) F x (x) In x, 1 x e1, x e PX 2 F X (2) In 2 (3 分) P0 X 3 F X(3) F X ( 10) 1 0 1 (6 分) 5 5 5 P2 X 5 2 F x () F X(2) In In 2 In (9 分) 2 2 4 0,其他 ( 2 ) f x (X )F X(x) 1 ( 15分) ,1 x e x15. 解：因概率密度 f (x)

24、在 x 1,x 2 处等于零，即知 当 x 1 时， F(x) x x f (x)dx 0dx 0, ( 3 分) F(x) 当 x 2 时， x f(x)dx 1 f(x)dx x( 8 分) 1 0dx 1. x F(x) 当 1 x 2 时， x f (x)dx x 2(x 丄) x i 1 x 1 0dx 2(1 )dx 1x 八 (12 分) 1 2(x - 2). x 故所求分布函数是 0,x 1, 1 F(x) 2(x 2),1 x 2, ( 15 分) x 1,x 2.第 15 页共 15 页16. 解：E(X) xf (x)dx 0 1 x(1x) dx 1 0 x(1x)d

25、x 0 (7 分) 17. 分) 18. 2 2 D(x) E(X ) E(X) 解：令 Y=|X|，所以：E(X) 2 x f (x)dx (1 x)dx x 2 (1 0 1 x)dx6 ( 15分) |x| f(x)dx x e . x dx 2 x e x dx 1( 15 2 解：设发觉沉船所须要的搜寻时间为 X。由题设知 PX t tF(t) (t>0) (5 分) 故 X 的概率密度为 f (t) E(X)=1/ 19. 解: 分) 20. 解: 0，可见 X 听从参数为入的指数分布，因此 0 入 ， 即发觉沉船所须要的平均搜寻时间为 E (X 2 ) E(X ) 、计算题

26、 2 1/ 入。(15 分) x dx xde x xe x dx - (7 分) E(X) x 2 e xe x dx 0 xex dx 2 ( 152 、D(X) E ( X ) 0 ； D(X ) D(X E(X) D(X) D(X) D(X) 21. 解：因为 E(X)=np , D(X)=np(1-p)，由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知i 1 i 第 16 页共 15 页 可解得：? 22. 解：n (X i X) 2(X i X) 2n i 1 n i 1 E(X) n? ( i ? )( 10 分) 1 n X i i 1 S 2 (n)- n (X i i 1 所以可

27、建立方程: X) 2(10 分) b? S 2 ( n) a? 2 但 b ) 212 解得：？X , 3S( n) , b? 23. 解：x 的密度函数为 1 L（ ）I?- 对数似然函数为：、 n )e l() n ln(2 2 似然方程为 n (X i i 1 1 (- n 1 D(X) (20 分) X .3S(n) , f x （ X ）(X i ) 22 n ln 2 n X i ) 2i 1 n (X i n i 1 (b a) 212 这就是参数 a,b (6 分) 0 ；(14 分) n (X i i 1 (x (20 分) X) 2n X i , i 1 的矩法估计值。2

28、2_ ，故似然函数为（2 分）2 (X i ) (10 分) i 1 (18 分)A A 第 13 页共 15 页24. 解: 由题设条件 E(X i ) p 1 (1 p) 0 p （2 分） D(X i ) E(X i 2 ) E(X i ) 2p 21 (1 p) 0 22 p p(1 p) (4 分)1 n1 n 1 n E(?) E(X) E(- X i )E(X i )p p (6 分)n i 1 n i 1n i 1 由定义知 p 是 p 的无偏估计量, 又 - 1 n1 n 1 n1 D(® D(X) D( X i ) 2 D(X i ) 2 p(1 p) =n p(1

29、解得: n n n i 1 i 1 P) n i 1 （10 分）由契比雪夫不等式，任给£ X, 2S 2 ，可以验证使似然函数达到最大。（20 分）P ( 1 P) n >0, Pl ? p| P| X p| A D （ X ）p) 所以: lim Pl ? pl (17 分) X i 是废品率 p 的一样估计量。1 从而, n X i 是废品率 p 的一样无偏估计量。i 1 (20 分) 25. 解: E(X) E(X 2 ) D(X) E(X) 2(7 分) 解得 2(14 分) 1 分别以 A,A 2 代替 2 ，得 2 的矩估计量分别为 A X, A 2 A 2n1

30、X i 2n i 1 1 n2 -(X iX) 2 . (20 分) n i 126. 解：本问题要求在水平 0.02 下，检验假设 H ）:异=5000 （H：b 2 工 5000）（4 分）第 18 页共 15 页 因为 i 2 a/2 ( n 1) 1 2 0.02/2 ( 25) 11.524 , (8 分) a/2 ( n 1)0.02/2 (25)44.3 14 ( 12分)性较以往的并无显著的改变。（20 分）27. 解：( 1)设随机变量 Y n 表示 10000 户中在同一时刻用电的户数， 则 Y n B(10000,0.8)， (2 分)于是 np=10000X0.8=80

31、00, . np(1 p) .10000 0.8 0.2 40 ( 6 分) 8100 np Y nnp 10000 np 所以概率为 P8100 Y n1000C P - n Jnp(1 p) Jn p(1 p) Jn p(1 p)28. 解：按题意需检验 H ）:< 0 =225, Hl：卩>225，取 a=0.05，由于此检验的拒绝域 由于 (n 1)S 22 0 釁36（ 18分）1 a/2 (n1) ； /2 （ n 1）所以接受 H ）,即认为在 0.02 水平下这批电池的波动 P2.5 认 npnp(1 p) 50 (50) (2.5) 1 0.9938 0.0062

32、 ( 10 分) （2）若每户用电功率为 100W 则 Y n 户用是功率为 有（ 12 分）100YnW 设电站供电功率为 Qvy 则按题意 P100Yn QPM 急 P Y n npQ 100 .np(1 p) 8000 40 _Q_ (100 8000 i o. 975Q 查正态分布表得 0 （1.96）=0.975 ，所以1008000 40 所以，电站供电功率应不少于 807.84 kW. （ 20 分）1.96 ，解得 Q=80784026. 解：本问题要求在水平 0.02 下，检验假设 H ）:异=5000 （H：b 2 工 5000）（4 分）第 19 页共 15 页 x- 7

33、° t a (n 1) ，可查表得: S/ . nt a (n-1)=t 0.05 (15)=1.7531 (8 分)第 20 页共 15 页 所以 T X 0 241.5 2250.6685 1.7531 ，由于落在拒绝域外（接受域内）S/J n 98.7259/J16 故接受即认为元件的平均寿命不大于 225 小时。（20 分）29. 解2 =0.108 2 ，已知未变，因此用 U 检验法。（2 分）检验假设 H ）:卩=卩 0 =4.55 计算统计量的值 x 丄（4.28 5 4.40 4.42 4.35 4.37）4.364 （8 分）u J 24.364 4.55-3.85

34、（14 分）0.108 2.n 5a U 检验法，查附表，a=0.05，有 （1.96）1 0.975 2 所以 Z a/2 =1.96 比较统计量 u 与 Z a/2 ，因|u|=3.85> Z a/2 =1.96 故 u 落入否定域。在 a=0.05 下，拒绝 H。认 为含碳量比原来有显著改变。（20 分）30. 解2 =0.108 2 ，已知未变，因此用 U 检验法。（ 2 分）检验假设 H ）:卩=卩 0 =4.55 （4 分）计算统计量的值 4.40 4.42 4.35 4.37）4.364 （8 分）4364 4.55 3.85 （12 分）0.108 2 5 a U 检验法，查附表，a=0.05，有 （1.96）1 - 0.975 （16 分）所以 Z a/2 =1.96 （ 18 分）比较统计量 u 与 Z a/2 ，因|u|=3.85> Z a/2 =1.96 故 u 落入否定域。在 a=0.05 下，拒绝 耳。认 为含碳量比原来有显著改变。（20 分）x （4.28 5