概率论与数理统计教案,第6章,参数估计.docx

《概率论与数理统计教案,第6章,参数估计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计教案,第6章,参数估计.docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、概率论与数理统计教案,第6章,参数估计概率论与数理统计 教学 教案第 第 6 章 参数估计 授课序号 1 01 教学基本指标教学课题第 6 章 第 1 节 点估计 课的类型新学问课 教学方法讲授、课堂提问、探讨、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合 教学重点 点估计、估计量与估计值的概念、估计量的无偏性、有效性和一样性的概念、估计量的相合性、矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。教学难点 矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。参考教材浙江高校概率论与数理统计第四版 作业布置课后习题 大纲要求1理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一样性（相合性

2、）的概念，并会验证估计量的无偏性；会利用大数定律证明估计量的相合性。2驾驭矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。教学基本内容一矩估计法 1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心距。我们知道，矩是由随机变量的分布唯一确定的，而样原来源于总体，由大数定律，样本矩在肯定程度上反映总体矩的特征。2矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法. 3矩估计法的步骤：设总体 X 的分布中包含 m 个未知参数 q 1 ， q 2 ， q m ，1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的样本，假如总体的 k 阶 原 点 矩 ( )kE X

3、 存 在 ， 并 设1 2( ) ( , ,., )kk mE X m q q q = ， 相 应 的 k 阶 样 本 原 点 矩 为 11nkk iiA Xn=，以kA 替代 ( )kE X ，即可得到关于 q 1 ， q 2 ， q m 的方程组 1 211( , ,., ) , 1,2,.,nkk m iiX k mnm q q q= = 方程组的解1 2( , , , ), 1,2, ,knX X X k m qL= ，称为参数 q k ( 1,2, , ) k m = 的矩估计量.4若代入一组样本观测值1 2, , ,nx x x ，则1 2( , , , )knx x x qL称为

4、参数 q k ( 1,2, , ) k m = 的矩估计值. 二最大似然估计法1最大似然估计的步骤：若总体 X 的分布中含有 k 个未知待估参数 q 1 ， q 2 ， q k ，则似然函数为 1 2 1 21( , ,., ) ( ; , ,. ).nk i kiL f x q q q q q q= 解似然方程组 0, 1,2, ,iLi kq= =，或者对数似然方程组ln0, 1,2, ,iLi kq= =，即可得到参数的最大似然估计1 2ˆ ˆ ˆ, ,.,kq q q 。2定理：若ˆq 为参数 q 的最大似然估计， ) g q ( 为参数 q 的

5、函数，则ˆ )g q ( 是 ) g q ( 的最大似然估计. 三点估计的评价标准 1. 无偏性：设1 2ˆ ˆ (, , , )nX X X q q = 是未知参数 q 的估计量，若 q q = )ˆ( E ，则称 q ˆ 为 q 的无偏估计。2. 有效性：设2 1ˆ,ˆq q 均为参数 q 的无偏估计量，若1 2ˆ ˆ( ) ( ) , D D q q e ，都有 ˆlim 1nP q q e- = 其中未知参数 1 b ，1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的简洁随机样本，求 b

6、 的矩估计量. 例 3已知某种金属板的厚度 X 在( a , b )上听从匀称分布，其中 a , b 未知，设抽查了 n 片金属板，厚度分别为1 2, , ,nX X X ，试用矩估计法估计 a , b. 例 4设袋中放有许多的白球和黑球，已知两种球的比例为 1:9，但不知道哪种颜色的球多，现从中有放回地抽取三次，每次一球，发觉前两次为黑球，第三次为白球，试推断哪种颜色的球多。例 5求出例 2 中未知参数 b 的最大似然估计量.例 6 X 设某种元件运用寿命 的概率密度为2( )2 ,( )0,xe xf xqq- - = 其它，其中 0 q 是未知参数，设1 ,nx x 是样本观测值，求 q

7、 的最大似然估计. 例 7设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为 p ，假如从生产线上抽取了 20 件产品，发觉其中有 3 件为一级品，求：（1）p 的最大似然估计； （2）接着再抽 5 件产品都不是一级品的概率的最大似然估计. 例 8设样本1 2, , ,nX X X 来自正态总体 X N( m ， s2 )，其中 m ， s2 未知，求 m 和 s2 的最大似然估计。例 9设总体 X 的 k 阶矩 ( )kkE X m = 存在，证明: 不论X 听从什么分布，样本的 k 阶矩11nkk iiA Xn=是km 的无偏估计。例 10已知2211 ( )niiB X Xn= -，2

8、 211( )1niiS X Xn= -都是总体方差2s 的估计量，问哪个估计量更好？ 例 11设总体 X 的概率密度为222( ) 30xxf xq qq = ，其中 q 为未知参数，1 2 3 4, , , X X X X 是来自总体的样本，设有 q 的估计量 1 1 2 3 41 1ˆ( ) ( )6 3X X X X q = + + + ， 2 1 2 3 41ˆ( 2 3 4 )5X X X X q = + + + ， 3 1 2 3 41ˆ( )4X X X X q = + + +问哪一个最优？ 例 13设 X 是总体 X 的样本均值，则当 X 作为总

9、体期望 E ( X )的估计量时， X 是 E ( X )的相合估计量。例 141 ( ,2 ), 0 , ,nX U X X X q q q 设总体 其中 是未知参数， 是 的样本, 试证明2ˆ =3X q 是 q 的相合估计量.授课序号 02 教学基本指标教学课题第 6 章 第 2 节区间估计 课的类型新学问课 教学方法讲授、 课堂提问、探讨、启发、自学教学手段黑板多媒体结合 教学重点 置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。教学难点 置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信

10、区间。参考教材浙江高校概率论与数理统计第四版 作业布置课后习题 大纲要求1驾驭建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法； 2了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。教学基本内容一区间估计的概念 1置信区间：设 q 为总体的未知参数，若对于给定的 a （0< a < 1），存在统计量1 1 1 2ˆ ˆ (, , , )nX X X q q = 和2 2 1 2ˆ ˆ( , , , )nX X X q q = ，使得1 2ˆ ˆ 1 P q q q a =

11、 - ,则称随机区间1 2ˆ ˆ , q q 为参数 q 的置信度（或置信水平）为 1- a 的置信区间，1 2ˆ ˆq q 和 分别称为置信下限和置信上限。 2枢轴量: 称满意下述三条性质的量 Q 为枢轴量. （1）是待估参数 m 和估计量 X 的函数； （2）不含其他未知参数； （3）其分布已知且与未知参数 m 无关。3求置信区间的一般步骤:（1）依据待估参数构造枢轴量 Q,一般可由未知参数的良好估计量改造得到； （2）对于给定的置信度 1- a ，利用枢轴量 Q 的分位点确定常数 a ， b ，使 1 P a Q b a = - ； （3）将不等式

12、恒等变形为1 2ˆ ˆ 1 P q q q a = - ，即可得到参数 q 的置信度为 1- a 的置信区间1 2ˆ ˆ , q q . 二正态总体参数的区间估计 1. 单个正态总体的情形：设总体2 ( , ) X N m s ，1 2, , ,nX X X 是取自总体 X 的样本(1)2s 已知，均值 m 的置信区间：m 的置信度为 1 a - 的置信区间为2 2, X u X un na as s - + . (2)2s 未知，均值 m 的置信区间：m 的置信度为 1 a - 的置信区间为2 2( 1) , ( 1)S SX t n X t nn n

13、a a - - + - . (3) m 已知，方差2s 的置信区间：2s 的置信度为 1 a - 的置信区间为2 21 12 212 2( ) ( ),( ) ( )n ni ii iX Xn na am mc c= =- - - . (4) m 未知，方差2s 的置信区间：2s 的置信度为 1 a - 的置信区间为2 22 212 2( 1) ( 1),( 1) ( 1)n S n Sn na ac c- - - - - . 2. 两个正态总体的情形：设总体21 1 ( , ) X N m s ，总体22 2 ( , ) Y N m s ， X 与 Y 独立，样本11 2, , ,nX X

14、X 来自总体 X ，样本21 2, , ,nY Y Y 来自 Y . (1)21s ，22s 已知，均值差1 2m m - 的置信区间：1 2m m - 的置信度为 1- a 的置信区间为 2 22 2 2 21 2 1 21 2 1 2( ) , ( ) X Y u X Y un n n na as s s s - - + - + + . (2)21s ，22s 未知，但2 21 2s s = ，均值差1 2m m - 的置信区间：1 2m m - 的置信度为 1- a 的置信区间为 1 2 1 21 2 1 2 2 21 1 1 1( 2) , ( 2)w wX Y t n n S X Y

15、 t n n Sn n n na a - - + - + - + + - + . (3)1m ，2m 未知，方差比2221ss的置信区间：2221ss的置信度为 1- a 的置信区间为2 21 12 1 2 12 212 2 2 2( 1, 1), ( 1, 1)S SF n n F n nS Sa a- - - - - .以上关于正态总体参数的区间估计的探讨可以列表 1 和表 2 如下：表 1 单个正态总体参数的区间估计表待估参数 条件 枢轴量 置信区间 ms2 已知 ) 1 , 0 ( NnXsm - 2 2 , X u X un na as s- +s2 未知 ) 1 ( -n tn S

16、X m 2 2 ( 1) , ( 1) S SX t n X t nn na a- - + -s2m 已知 ) ( ) (2212nXniicsm=- 2 22 21 12 21( ) ( ),( ) ( )n ni ii iX Xn na am mc c= =- - - m 未知 ) 1 ( ) 1 (222-nS ncs -) 1 () 1 (,) 1 () 1 (212222 2nS nnS na ac c 表 6.2 两个正态总体参数的区间估计表 待估参数 条件 枢轴量 置信区间 2 1m m - 2221 , ss已知 1 22 21 21 2( ) (0,1)X YNn nm ms

17、 s- - -+ 2 22 2 2 21 2 1 21 2 1 2( ) ,( ) X Y u X Y un n n na as s s s - - + - + + 2221 , ss未知，但2221s s = 1 21 21 2( ) ( 2)1 1wX Yt n nSn nm m - - -+ -+其中2 221 1 2 21 2( 1) ( 1)2wn S n SSn n- + -=+ - 1 21 2 21 21 2 21 1 ( 2) ,1 1( 2) wwX Y t n n Sn nX Y t n n Sn naa- - + - +- + + - + 2221ss 2 1 , mm

18、已知 21121 11 222122 2( )1 ( , )( )1niimjjXnF n nYnmsms=- 2 22 21 11 11 12 1 2 112 22 21 12 21 1( ) ( )( , ), ( , )1 1( ) ( )n ni ii im mj jj jX Xn nF n n F n nY Yn na am mm m= =-= = - - - - 2 1 , mm未知 21211 2 2222 ( 1, 1),SF n nSss- -2 21 12 1 2 12 212 2 2 2 ( 1, 1), ( 1, 1)S SF n n F n nS Sa a- - -

19、-三单侧置信区间 1单侧置信区间：设 q 为总体的未知参数，对于给定的 a （0< a < 1），若存在统计量1 2ˆ ˆ( , , , )L L nX X X q q = ，使得ˆ 1LP q q a + = - ,则称随机区间ˆ , )Lq + 为参数 q 的置信度为 1- a 的单侧置信区间，ˆLq 称为单侧置信下限；若存在统计量1 2ˆ ˆ( , , , )U U nX X X q q = ，使得ˆ 1UP q q a - = - ,则称随机区间ˆ( , Uq - 为参数 q 的置信度

20、为 1- a 的单侧置信区间，ˆUq 称为单侧置信上限。2单侧置信区间的求法：单侧置信区间的求法与双侧置信区间相同，例如，设 X 1， X n 来自正态总体X N( m ， s2 )，其中 s2 已知， m未知, 利用枢轴量 (0,1)XU Nnms-= ，如下图，构造 1 , P U u a a = -即1 ,XP unamas - = - 恒等变形 1 P X unasm a - = - ， 则可得 m 的置信度为 1- a 的单侧置信下限为 ˆ L X unasm = - . 四例题讲解 例 1设 X 1， X n 为来自正态总体 X N( m ， s2 )，其中 s

21、2 已知， m未知, 试求出 m 的置信度为 1- a的置信区间。例 2某工厂生产一种特别的发动机套筒，假设套筒直径 X （mm）听从正态分布2( ,0.1 ) N m ，现从某天的产品中随机抽取 40 件, 测得直径的样本均值为 5.426（mm），求 m的置信度为 0.95 的置信区间. 例 3为估计某种汉堡的脂肪含量，随机抽取了 10 个这种汉堡，测得脂肪含量（%）如下：25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5. 假设该种汉堡的脂肪含量（%）听从正态分布，求平均脂肪含量 m的置信度为 0.95 的置信区间. 例 4已知某种钢丝的折

22、断力听从正态分布2( , ) N m s ，从一批钢丝中随意抽取了 10 根，测得折断力数据（单位：kg）如下：578，572，570，568，572，570，570，596，584，572，求2s 和 s 的置信度为 0.9 的置信区间。例 5某厂利用两条自动化流水线罐装辣椒酱，现分别从两条流水线上抽取了容量分别为 13 与 17 的两个相互独立的样本，其中2 2 2 21 210.6 , 9.5 , 2.4 , 4.7 x g y g s g s g = = = = ，假设两条流水线上罐装的辣椒酱重量分别听从正态分布2 21 1 2 2( , ) ( , ) N N m s m s 和 . (1) 求它们的方差比2122ss的置信度为 0.95 的置信区间； (2) 若它们的方差相同,2 2 21 2, s s s = = 求均值差1 2m m - 的置信度为 0.95 的置信区间. 例 6已知某种建筑材料的剪力强度 X 听从正态分布,我们对该种材料做了 46 次剪力测试,测得样本均值217.17( / ) x N mm = ，样本标准差23.28( / ) s N mm = ，求剪力强度平均值 m 的置信度为 0.95 的单侧置信下限.