第六章,6.4.1~6.4.2.docx

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1、第六章,6.4.16.4.26.4平面对量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简洁的几何问题.2.能用向量方法解决简洁的力学问题和其他实际问题.3.培育学生运算实力，分析和解决实际问题的实力.学问点一 向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的三步曲：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，探讨几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果翻译成几何关系. 学问点二 向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法探讨物理学中的相关

2、问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回来到物理问题. 思索 物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？ 答案 物理中的向量：物理中有很多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法.动量mv是数乘向量.力所做的功就是作用力F与物体

3、在力 F 的作用下所产生的位移 s 的数量积.1.若ABC 为直角三角形，则有AB→ BC → 0.( × ) 2.若向量AB→ CD →，则 ABCD.( × ) 3.功是力 F 与位移 s 的数量积.( √ )4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.( √ )一、利用向量证明平面几何问题 例 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.证明 方法一 设AD→a，AB→ b， 则|a|b|，ab0. 又DE→DA&r

4、arr;AE→ a b2 ， AF→ AB → BF → b a2 ， 所以AF→ DE → b a2a b2 a22 34 abb 22 12 |a|2 12 |b|2 0. 故AF→ ⊥DE →，即 AF⊥DE. 方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则AF→ (2,1)，DE →(1，2).因为AF→ DE →(2,1)(1，2)220， 所以AF→ &per

5、p;DE →，即 AF⊥DE. 反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤 选取基底.用基底表示相关向量.利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤建立适当的平面直角坐标系.把相关向量坐标化.用向量的坐标运算找出相应关系.把几何问题向量化. 跟踪训练 1 已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上有一点 C，满意 2AC→ CB → 0， (1)用OA→，OB→表示OC→； (2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边形

6、OCAD 是梯形. (1)解 因为 2AC→ CB → 0， 所以 2(OC→OA→)(OB→OC→)0， 2OC→2OA→OB→OC→0， 所以OC→2OA→OB→. (2)证明 如图，DA→DO→OA→ 12 OB→OA→ 12 (2OA→OB→).故DA→ 12 OC→.即 DAOC，且 DA≠OC，故四边形 OCAD 为梯形. 二、利用向量解决平面几何求值问题 例

7、 2 如图，已知|p|2 2，|q|3，p，q 的夹角为 π4 ，若AB→ 5p2q，AC → p3q，D 为 BC的中点，则|AD→|_.答案 152 解析 由题意知 2AD→AB→ AC → ， 因为AB→ 5p2q，AC → p3q， 所以 2AD→AB→ AC → 6pq， 所以 2|AD→|6pq| 36×(2 2) 2 12×2 2×3cos π4 32 15，所以|AD → | 152.反思感悟 (1)用

8、向量法求长度的策略 依据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a| 2 a 2 求解. 建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若 a(x，y)，则|a| x 2 y 2 . (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 跟踪训练 2 在ABC 中，已知 A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，则 BC 边上的中线 AD 的长是() A.2 5B. 5 52C.3

9、 5D. 7 52 答案 B 解析 BC 的中点为 D 32 ，6 ，AD→ 52 ，5 ， ∴|AD→| 5 52. 三、向量在物理中的应用 例 3 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为_ km/h. 答案 5 3 解析 如图所示，船速|v 1 |5 km/h，水流速度为 v 2 ，实际航行方向 v 与水流方向 v 2 成 30°角， ∴|v 2 |v 1 |tan 30°5 3(km/h). 反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即

10、把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，说明相关的物理现象. 跟踪训练 3 一物体在力 F 1 (3，4)，F 2 (2，5)，F 3 (3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移动到点 B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为_. 答案 40 解析 F 1 (3，4)，F 2 (2，5)，F 3 (3,1)，∴合力 FF 1 F 2 F 3 (8，8). 又AB→ (1,4)， ∴FAB→ 8×(

11、1)(8)×440， 即三个力的合力做的功等于40.1.在ABC 中，若(CA→ CB → )(CA → CB → )0，则ABC() A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形态无法确定 答案 C 解析 (CA→ CB → )(CA → CB → )CA → 2 CB → 2 0，即|CA → |CB → |，∴CACB，则ABC 是等腰三角形. 2.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2

12、)，则此四边形为() A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案 A 解析 AB→ (3,3)，CD →(2，2)， ∴AB→ 32 CD→，∴AB→ 与CD →共线. 又|AB→ |≠|CD →|，∴该四边形为梯形. 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为 θ，用力大小都为|F|，若|F|G|，则 θ 的值为() A.30°B.60°C.90°D.120° 答案 D 解析 作OA&rar

13、r;F 1 ，OB→F 2 ，OC→G(图略)， 则OC→OA→OB→， 当|F 1 |F 2 |G|时，OAC 为正三角形， 所以∠AOC60°，从而∠AOB120°. 4.在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→ 13 AB→ 12 AC→ ，则 S ABDS ABC 等于() A. 23 B.13 C.16 D.12答案 D解析 因为AD→ 13 AB→ 12 AC→ ，所以点 D 在 AB 边的中位线上，从而有 S ABD 12 S A

14、BC .5.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0)，B(1,1)，则AB→ AC → _.答案 1 解析 由已知得 A(1,0)，C(0,1)， 所以AB→ (0,1)，AC → (1,1). 所以AB→ AC → 1.1.学问清单：(1)平面几何中的向量方法. (2)向量在物理中的应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：要留意选择恰当的基底. 1.已知力 F 的大小|F|10，在 F 的作用下产生的位移 s 的大小|s|14，F 与 s 的夹角为 60°，则

15、 F 做的功为() A.7B.10C.14D.70 答案 D 解析 F 做的功为 Fs|F|s|cos 60°10×14× 12 70. 2.已知点 A(2，3)，B(19,4)，C(1，6)，则ABC 是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 C解析 AB→ (19,4)(2，3)(21,7)， AC→ (1，6)(2，3)(1，3)， AB→ AC → 21210，∴AB → ⊥AC → . 则∠A90°， 又|AB&r

16、arr; |≠|AC → |， ∴ABC 为直角三角形. 3.点 O 是ABC 所在平面内的一点，满意OA→OB→OB→OC→OC→OA→，则点 O 是ABC 的() A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高所在直线的交点 答案 D 解析 OA→OB→OB→OC→，∴(OA→OC→)OB→0， ∴OB→CA→ 0，∴OB&pe

17、rp;AC. 同理 OA⊥BC，OC⊥AB，∴O 为三条高所在直线的交点. 4.在 RtABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满意OP→OA→ 12 (AB→ AC → )，则|AP→ |等于() A.2B.1C. 12 D.4 答案 B 解析 OP→OA→ 12 (AB→ AC → )， ∴OP→OA→ 12 (AB→ AC → )，AP → 12 (AB→ AC

18、→ )， ∴AP 为 RtABC 斜边 BC 的中线.∴|AP→ |1. 5.在四边形 ABCD 中，若AC→ (1,2)，BD →(4,2)，则该四边形的面积为() A. 5B.2 5C.5D.10 答案 C 解析 AC→ BD →0，∴AC⊥BD. ∴四边形 ABCD 的面积 S 12 |AC→ |BD →| 12 × 5×2 55.6.已知点 A(1,1)，M(x，y)，且 A 与 M 不重合，若向量AM→与向

19、量 a(1,2)垂直，则点 M 的坐标 x，y 之间的关系为_. 答案 x2y30(x≠1) 解析 AM→a(x1，y1)(1,2)x12y2x2y30. 又 A 与 M 不重合，所以 x≠1. 7.一条河宽为 8 000 m，一船从 A 动身垂直航行到达河正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为_ h. 答案 0.5 解析 v 实际 v 船 v 水 v 1 v 2 ，|v 1 |20，|v 2 |12， ∴|v| |v 1 | 2 |v 2 | 2 20 2 12 2 16(km/h). ∴

20、所需时间 t816 0.5(h). ∴该船到达 B 处所需的时间为 0.5 h. 8.已知在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则(AE→ AF → )BD →_. 答案 92解析 如图，以 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， ∴C(2,1). E，F 分别为 BC，CD 的中点，∴E 2， 12，F(1,1)， ∴AE→ AF → 3， 32，

21、BD→(2,1)，∴(AE→ AF → )BD →3×(2) 32 ×192 . 9.已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，求使等式 x 2 OA→xOB→BC→ 0 成立的实数 x 的取值. 解 BC→ OC →OB→， ∴x 2 OA→xOB→OC→OB→0， 即OC→x 2 OA→(x1)OB→， A，B，C 三点共线， &there4

22、;x 2 (x1)1，即 x 2 x0，解得 x0 或 x1. 当 x0 时，x 2 OA→xOB→BC→ 0，BC → 0， 此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去. 故 x1. 10.帆船竞赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，假如一帆船所受的风力方向为北偏东 30°，速度为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向. 解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东 30°，速度为|v 1 |20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v 2 |20 km/h，设帆船

23、行驶的速度为 v，则 vv 1 v 2 .由题意，可得向量 v 1 (20cos 60°，20sin 60°)(10,10 3)，向量 v 2 (20,0)，则 vv 1 v 2 (10,10 3)(20,0)(30,10 3)，所以|v| 30 2 (10 3) 2 20 3(km/h).因为 tan α 10 33033(α 为 v 和 v 2 的夹角，α 为锐角)，所以 α30°，所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h. 11.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，点 E 为 AB

24、的中点，且DE→⊥AC→ ，则|DE →|等于()A. 52B.2 3 C.3 D.2 2 答案 B解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系.设|AD→|a(a>0)，则 A(0,0)，C(4，a)， D(0，a)，E(2,0)， 所以DE→(2，a)，AC→ (4，a). 因为DE→⊥AC→ ，所以DE →AC→ 0， 所以 2×4(a)a0，即 a 2 8. 所以 a2 2，所以DE&rarr

25、;(2，2 2)， 所以|DE→| 2 2 (2 2) 2 2 3. 12.若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满意 3AM→AB→ AC → 0，则ABM 与ABC 的面积之比为() A.12B.13C.14D.25 答案 B 解析 如图，D 为 BC 边的中点，则AD→ 12 (AB→ AC → ). 因为 3AM→AB→ AC → 0， 所以 3AM→2AD→，所以AM→ 23 AD→， 所以 S ABM 23 S ABD 13 S ABC .

26、13.用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N. 答案 10 解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F 1 ，F 2 ，则由题意得 F 1 ，F 2 与G 都成 60°角， 且|F 1 |F 2 |，F 1 F 2 G0. ∴|F 1 |F 2 |G|10 N， ∴每根绳子的拉力都为 10 N. 14.如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF→ 2FO →，则FD→FE→ _.答案 89解析 FD→FO→O

27、D→，FE→ FO →OE→，且OD→OE→， 所以FD→FE→ (FO →OD→)(FO→OE→) FO→ 2 OD → 2 19 189 .15.在平面直角坐标系中，已知三点 A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O 为坐标原点. (1)若ABC 是直角三角形，求 t 的值； (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求|OD→|的最小值. 解 (1)由题意得，AB→ (t4,2)，AC → (2，t)

28、， BC→ (6t，t2)， 若∠A90°，则AB→ AC → 0，即 2(t4)2t0，∴t2； 若∠B90°，则AB→ BC → 0，即(t4)(6t)2(t2)0， ∴t6±2 2； 若∠C90°，则AC→ BC → 0， 即 2(6t)t(t2)0，无解， ∴t 的值为 2 或 6±2 2.(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，则AD→BC→ ， 设点 D 的坐标为(x，y)，

29、即(x4，y)(6t，t2)， ∴ x10t，yt2，即 D(10t，t2)， ∴|OD→| (10t) 2 (t2) 2 2t 2 24t104， ∴当 t6 时，|OD→|取得最小值 4 2. 16.一艘船从南岸动身，向北岸横渡.依据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向. 解 如图，设水的速度为 v 1 ，风的速度为 v 2 ，v 1 v 2 a.可求得 a 的方向是北偏东 30°，a 的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v，方向由南向北，大小为 2 3 km/h.船本身的速度为v 3 ，则 av 3 v，即 v 3 va，由数形结合知，v 3 的方向是北偏西 60°，大小是 3 km/h.