集合_高一数学集合.docx

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1、集合_高一数学集合1.理解集合的概念；2.驾驭集合的两种表示方法；3.会正确运用符号这三个学习目标即可1.集合点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.一般用大括号表示集合，例如“汽车，飞机，轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成汽车、飞机、轮船为了便利.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C表示集合，例如Aa,b,c.2.集合中的元素集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆.集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c，表示.假如a是集合A

2、的元素，就说a属于集合A，记作aA；假如a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.3.集合中元素的特性(1)确定性 对于集合A和某一对象x，有一个明确的推断标准是xA，还是x A，二者必成其一，不会模棱两可.例如，“闻名的数学家”，“美丽的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一详细对象是否属于集合的明确标准.(2)互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；因此，集合中的相同元素只能算作一个，如方程x2-2x+1=0的两个等根，x1x21，用集合记为，而不写为1，1，假如把集合，2,3,4的元素合并起来构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，

3、4这四个元素.(3)无序性 集合中的元素是不排序的，如集合1，2与2，1是同一个集合，但事实上在书写时还是按肯定依次书写的，如-1，0，1，2而不写成0，1，-1，2，这样写不便利，其更深刻的含义是揭示了集合元素的“同等地位”.4.集合表示法(1)列举法 将集合中的全部元素一一列举出来，写在大括号内.(2)描述法 用描述表示的集合，对其元素的属性要精确理解.例如，集合yy=x2表示函数y值的全体，即yy0；集合xyx2表示自变量x的值的全体，即xx为任一实数；集合x,yy=x2表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集(一条抛物线)；而集合y=x2则是用列举法表示的单元素集，也就是只有一个元素(方

4、程y=x2)的有限集.(3)图示法 为了形象地表示集合，我们经常画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合，例如，如图可表示集合1,2,3,45.特定集合表示法自然数集(或非负整数集)，记作N，自然数集内解除0的集，也称正整数集，记作N*或N+(留意，自然数集包括0)；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；Z，Q，R等数集内解除0的集，分别表示为Z*(或Z+)，Q*(或Q+)，R*(或R+).6.集合的分类有限集：含有限个元素的集合叫做有限集.例如：A1,2,3,4无限集：含有无限多个元素的集合叫做无限集.例如：集合N+空集：不含任何元素的集合称为空集.例如：集合方程x2+2x+3=

5、0在实数范围内的解集. 例1 下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中全部的难题；(3)方程x4+x2+20的实数根；(4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点).图甲 图乙解：(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满意横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合：描述法：(x,y)yx；图示法：如图乙中直线l上的点.(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，事实上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程

6、x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：或者xRx4+x2+2=0.(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必需落在图甲的阴影部分(包括边界上的点).图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合；(x,y)-1x2，- y2，且xy0例2 下面六种表示法：(1)x-1，y=2，(2)(x,y)x=-1,y=2，(3)-1，2，(4)(-1，2)，(5)(-1，2)，(6)(x,y)x-1或y2，能正确表示方程组 的解集的是：A. (1)(2)(3)(4)(5)(6) B.(1)(2)(4)(5)C.(2)(5) D.(2)(5)(6)分析 由于此方

7、程组的解是 因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).解：因为(x,y) (x,y) (-1，2)故选C.评析 集合(1)既非列举法，又非描述法.集合(3)表示由-1和2两个数组成的集合.(4)是一个点.(6)中的元素是(-1，y)或(x,2)，x,yR是一个无限集.以上均不合题意.例3 用符号或 填空.(1)3.14 Q，0 N， Z，(-1)0 N，0 (2)2 xx ，3 xx4， + xx2+ ；(3)3 xxn2+1，nN，5 xxn2+1，nN；(4)(-1，1) yyx2,(-1,1) (x,y)yx2解：(1)、 、 (空集不含任何元素)；(2)2 ，3 4，+ 2+

8、，故填 、；(3)令n2+1=3，n n N.令n2+15， n2，2N，故填 、；(4) ，.(因为yyx2中元素是数而(-1，1)代表一个点)例4 用另一种形式表示下列集合(1)肯定值不大于3的整数(2)全部被3整除的数(3)xxx，xZ且x5(4)x（3x-5）(x+2)(x2+3)0，xZ(5)(x,y)x+y=6，xN+，yN+解：(1)肯定值不大于3的整数还可以表示为xx3，xZ，也可表示为-3，-2，-1，0，1，2，3；(2)xx3n，nZ；(说明：被3除余1的整数可表示为xx=3n+1,nZ)；(3)xx，x0，又xZ且x5，xxx，xZ且x5还可以表示为0,1,2,3,4(

9、4)-2(留意xZ)(5)(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)例5。用另一种形式表示下面的集合：x(2x-1)(x+2)(x2+1)=0,xZ.错误会答 集合的元素x是由方程(2x-1)(x+2)(x2+1)0的根组成的，解方程，得x ，x-2，x 原集合可以表示为 ，-2， 错误存在于解方程的过程和最终的集合表示当中，解方程时应留意到x2+10，xR，所以，方程的根为x ，x-2.留意到已知条件xz R，才不致造成错误.因为 Z 所以，正确答案应为-2或写作xx=-2.例6 已知Axxa+b ，a,bZ，分析推断下列元素x与集合A之间的关系：(1)x0，(2)x ，(3

10、)x .分析 x与A的关系只有xA和x A两种.推断x是不是A中的元素，即视察x能否写成a+b (a,bZ)的形式.解：(1)因为00+0 ，所以0A.(2)因为x - ，无论a、b为何整数，a+b - 不能成立，所以x A.(3)因为x 1+2 ，所以 A.评析 探讨元素与集合的关系，一要留意集合的表示方法(列举法或描述法)，二要精确推断元素的属性.例7 已知集合Apx2+2(p-1)x+1=0,xR，求一次函数y2x-1，xA的取值范围.分析 关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必需满意关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.解：由已知，4(p-1)2-40.得p2或p0.所以App2或p0.因为xA，所以x2或x0，所以2x-13或2x-1-1，所以y的取值范围是yy-1或y3.