上海市六校2013届高三（上）12月联考数学试卷（理科）.doc

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1、2012-2013 学年上海市六校高三（上）学年上海市六校高三（上）12 月联考数学试卷（理科）月联考数学试卷（理科）一一.填空题填空题（本大题满分本大题满分 56 分分）本大题共有本大题共有 14 题题，只要求直接填写结果只要求直接填写结果，每题填对得每题填对得 4 分分，否则一律得零分否则一律得零分.1（4 分）复数 z=1+在复平面上对应的点到原点的距离为考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：先利用复数的运算性质进行化简，即可求出所对应的点，再使用两点间的距离公式即可求出解答：解：复数 z=1+=1i 所对应的点为 P（1，1）|OP|=故答案为点评：熟练掌握复数的运算性质

2、和几何意义、两点间的距离公式是解题的关键2（4 分）已知全集 U=R，集合 A=x|x2+3x0 x|2x1，则 CuA=（3，0）考点：补集及其运算专题：不等式的解法及应用分析：由题意知集合 A 是两个集合的并集，利用不等式的解集求出 A，再由全集、集合 A，然后根据补集的定义和运算法则进行计算解答：解：A=x|x2+3x0 x|2x1=x|x0 或 x3x|x0=x|x0 或 x3，全集 U=R，集合 CuA=x|3x0，故答案为：（3，0）点评：此题主要考查集合的交集及补集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分3（4 分）已知角的顶点在原点，始边与 x 轴

3、的正半轴重合，终边经过点 P（3，）则tan2的值为考点：二倍角的正切；任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值分析：始边在 x 轴正半轴上的角的终边经过点 P（3，）可知 tan，再利用正切的二倍角公式即可求出 tan2解答：解：依题意可知 tan=tan2=故答案为：点评：本题主要考查了正切函数的二倍角公式的应用属基础题4（4 分）在（x）10的展开式中，x8的系数为135（结果用数字表示）考点：二项式定理专题：计算题；概率与统计分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 8 求出 r 的值，将 r 的值代入通项，求出（x）的展开式中，x8的系数解答：解：（x）10

4、的展开式为 Tr+1=C10rx10r（）r，令 10r=8 得 r=2，（1）10的展开式中，x8的系数等于（）2C102=135故答案为：135点评：本题考查二项式定理的应用，解决二项展开式的特定项问题的工具是利用二项展开式的通项公式5（4 分）已知无穷数列an中 a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数，则无穷数列an的各项和考点：数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题设知数列an是首项为 1，公比为 的等比数列，由此能求出无穷数列an的各项和解答：解：无穷数列an中 a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数，数列an是首项为 1，公

5、比为 的等比数列，Sn=，无穷数列an的各项和 S=故答案为：点评：本题考查数列的各项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和极限思想的合理运用6（4 分）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 2，3，3，7，a，b，12，13.3，18.7，20且总体的中位数为 10.5，则总体的平均数为10考点：众数、中位数、平均数专题：概率与统计分析：根据中位数的定义得到 a 与 b 的关系式，再由平均数的定义可解决解答：解：由题意知=10.5，a+b=21平均数为=10总体的平均数为 10故答案为：10点评：本题考查数据的平均数、中数、方差，其次要掌握平均数、中数、方差的计算公式，属于基础题7

6、（4 分）已知数列an满足 an=，且 f（n）=a1+a2+a3+a2n1，（nN*），则 f（4）f（3）的值为139考点：数列的求和专题：计算题分析：由已知先求出 f（4），f（3），然后代入数列的通项公式即可求解解答：解：an=，f（n）=a1+a2+a3+a2n1，f（4）f（3）=a1+a2+a3+a7（a1+a2+a3+a5）=a6+a7=11+27=139故答案为：139点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，属于基础试题8（4 分）（2012北京）己知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点则的值为1考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；压轴

7、题分析：直接利用向量转化，求出数量积即可解答：解：因为=1故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力9（4 分）我们可以从“数”和“形”两个角度来检验函数的单调性从“形”的角度：在区间 I上，若函数 y=f（x）的图象从左到右看总是上升的，则称 y=f（x）在区间 I 上是增函数那么从“数”的角度：对任意的 x1、x2I，若 x1x2，都有 f（x1）f（x2），则称 y=f（x）在区间 I 上是增函数考点：函数单调性的判断与证明专题：函数的性质及应用分析：直接根据增函数的定义得出结论解答：解：对任意的 x1、x2I，若 x1x2，都有 f（x1）f（x2），则称函数 f（x

8、）在区间 I上是增函数，故答案为 对任意的 x1、x2I，若 x1x2，都有 f（x1）f（x2）点评：本题主要考查增函数的定义，属于基础题10（4 分）数列an中，如果存在 ak，使得“akak1且 akak+1”成立（其中 k2，kN*），则称 ak为an的一个峰值若 an=6n2+22n，且an的峰值为 ak，则正整数 k 的值为2考点：数列的函数特性专题：新定义分析：根据峰值的定义，可以令 f（n）=an=6n2+22n，利用数列的函数特性，可以判定函数的单调性及其最值问题，即可得出答案解答：解：若 an=6n2+22n，可以令 f（n）=6n2+22n，图象开口向下，可得 f（n）=

9、6n2+22n=6（n）2+可以存在 n=2，使得 a2=64+222=20，对于任意的 nN 都有，an20，可得an的峰值为 20故答案为：2点评：此题主要考查数列函数的特性，是一道中档题，考查了利用图象研究函数的单调性11（4 分）函数 f（x）=cos（2x）2cos2x 在区间0，上的取值范围是2，1考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出解答：解：f（x）=，由得，函数 f（x）=cos（2x）2cos2x 在区间0，上的取值范围是2，1故答案为2，1点评：熟练掌握三角

10、函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键12（4 分）近年来，孩子的身体素质越来越受到人们的关注，教育部也推出了“阳光课间一小时”活动在全社会关注和推进下，孩子们在阳光课间中强健体魄，逐渐健康成长然而也有部分家长对该活动的实际效果提出了质疑对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的家长中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持30 岁以下80045020030 岁以上（含 30 岁）100150300在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取 5 个人看成一个总体，从这 5 个人中任意选取 2 人，则至少有 1 人在 30 岁以下的

11、概率为考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法专题：概率与统计分析：由题意可得这 5 个人中，有 2 个人在 30 岁以下，3 人 30 岁以上，所有的抽法有=10种，求出恰有 1 人在 30 岁以下的概率和恰有 2 人在 30 岁以下的概率，相加，即得所求解答：解：在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取 5 个人看成一个总体，则这 5个人中，有 2 个人在 30 岁以下，3 人 30 岁以上从这 5 个人中任意选取 2 人，则所有的抽法有=10 种，恰有 1 人在 30 岁以下的概率为=恰有 2 人在 30 岁以下的概率为=，故至少有 1 人在 30 岁以下的概率为=，故答案为点

12、评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，分层抽样的定义和方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题13（4 分）数列an通项为 an=ncos（+）（nN*），Sn为其前 n 项的和，则 S2012=503（1+）考点：数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由数列an通项为 an=ncos（+）（nN*），知an是以 4 为周期的周期函数，由此能求出 S2012解答：解：数列an通项为 an=ncos（+）（nN*），an是以 4 为周期的周期函数，a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=a2009+a2010+a2011+a2012=cos（+）+2cos（）+3cos

13、（）+4cos（2+）=+1，S2012=a1+a2+a3+a4+a2012=503（1+）故答案为：503（1+）点评：本题主要考查了由数列的通项求解数列的和，解题的关键是由通项发现四项结合为定值的规律14（4 分）（2010西城区一模）设函数 f（x）的定义域为 D若存在非零实数 l 使得对于任意 xM有 x+lD，且 f（x+l）f（x），则称 f（x）为 M 上的 l 高调函数，如果定义域是1，+）的函数 f（x）=x2为1，+）上的 m 高调函数求实数 m 的取值范围考点：抽象函数及其应用专题：计算题分析：根据题意可知在1，+）上的任意 x（设 x=x+m）有 y1 恒成立，推断出

14、m1x 恒成立，进而根据 x 的范围可推知1x 最大为 0，判断出 m 的范围，进而根据f（x+m）f（x），求得（x+m）2x2，化简求得 m2x 恒成立，进而根据 x 的范围确定2x 的范围，进而求得 m 的范围解答：解：在1，+）上的任意 x（设 x=x+m）有 y1 恒成立，则 x+m1 恒成立，即 m1x 恒成立对于 x1，+），当 x=1 时1x 最大为 0，所以有 m0又因为 f（x+m）f（x），即（x+m）2x2在 x1，+）上恒成立，化简得 m2+2mx0，又因为 m0，所以 m+2x0 即 m2x 恒成立，当 x=1 时2x 最大为 2，所以 m2综上可知 m2点评：本题

15、主要考查了抽象函数极其应用考查了学生分析问题和解决问题的能力二二、选择题选择题（本大题满分本大题满分 20 分分）本大题共有本大题共有 4 题题，每题都给出四个结论每题都给出四个结论，其中有且只有一其中有且只有一个结论是正确的，选对得个结论是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.15（5 分）记函数 y=f（x）的反函数为 y=f1（x）如果函数 y=f（x）的图象过点（0，1），那么函数 y=f1（x）+1 的图象过点（）A（1，1）B（0，2）C（0，0）D（2，0）考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：由题意结合原函数与反函数的对称性知 y=f1（x）必过点（1，0

16、），从而可得函数 y=f1（x）+1 的图象过哪一个定点解答：解：y=f（x）的图象过点（0，1），其反函数 y=f1（x）必过点（1，0），即 f1（1）=0，y=f1（x）+1 的图象过点（1，1）故选 A点评：本题考查反函数的概念，理解互为反函数的两个函数的定义域与值域之间的关系（互换）是关键，属于基础题16（5 分）下列等式不成立的是（nm1，m，nZ）（）A=B+=C是奇数D=考点：命题的真假判断与应用专题：计算题；概率与统计分析：由组合数公式，分别对四个答案进行运算、化简，逐一进行证明后，找出错误的结论，即可得答案解答：解：由于 A、B 分别为组合数公式的性质，故 A、B 正确；当

17、 n=3，m=2 时，=，故 C 错；又由=，则=，故 D 正确；故答案为 C点评：本题以命题的真假判断与应用，考查了组合数公式的性质，熟练掌握组合数公式的定义是解答的关键17（5 分）方程组共有（）组解A1B2C3D4考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：方程组中 y=2x表示指数函数，y=|x（x2）|表示绝对值函数，方程组有解即表示两个函数图象有交点，根据题意画出图形，找出交点情况，求出方程的解的个数解答：解：y=2x表示指数函数，y=|x（x2）|表示绝对值函数，方程组有解，即两个函数图象有交点，根据题意画出图形如图所示：可知，两个函数图象有一个交点，方程组共有 1

18、 组解故选 A点评：此题考查了根的存在性及根的个数判断，利用了数形结合及转化的思想，其中把方程组中的两方程分别看做两个函数，画出相应的图形，根据两函数图象有交点可得方程组有解来解决问题18（5 分）已知两个非零向量=（a1，b1），=（a2，b2），若条件 p：“”，条件 q：“关于 x 的不等式 a1x+b10 与 a2x+b20 的解集相同”则条件 p 是 q 的（）A充分必要条件B非充分非必要条件C充分非必要条件D必要非充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：证明题分析：先分别化简 p、q，对 q 的 a1、a2、b1、b2分类讨论即可得出结论解答：解：两个非零向量，a1与

19、 b1不全为 0，a2与 b2不全为 0条件 p：，a1b2a2b1=0，即 a1b2=a2b1，且 a1与 b1不全为 0，a2与 b2不全为 0条件 q：关于 x 的不等式 a1x+b10 与 a2x+b20 的解集相同若 a1=a2=0，b10，b20，则关于 x 的不等式 a1x+b10 与 a2x+b20 的解集都为R 相同，可得 a1b2=a2b1；若 a1=a2=0，b10，b20，则关于 x 的不等式 a1x+b10 与 a2x+b20 的解集都为相同，可得 a1b2=a2b1；若 a1=a2=0，b1b20，则关于 x 的不等式 a1x+b10 与 a2x+b20 的解集不相

20、同，应舍去；若 a10，a20，关于 x 的不等式 a1x+b10 与 a2x+b20 的解集相同，可得 a1b2=a2b1；若 a10，a20，关于 x 的不等式 a1x+b10 与 a2x+b20 的解集相同，可得 a1b2=a2b1；若 a1、a2两个中只有一个等于 0，则不满足关于 x 的不等式 a1x+b10 与 a2x+b20 的解集相同的条件综上可知：由 qp，当时反之不成立因此，条件 p 是 q 的必要不充分条件故选 D点评：正确分类讨论是解题的关键三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各

21、题必须写出必要的步骤.19（12 分）在ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c虚数 x=2+ai 是实系数方程x2cx+8=0 的根（1）求边长 a，c（2）若边长 a，b，c 成等比数列，求ABC 的面积考点：复数代数形式的加减运算；等比数列的性质专题：计算题分析：（1）易得 x1=2+a 与 x2=2a 是实系数方程 x2cx+8=0 的两个根，由韦达定理可得答案；（2）由等比数列易得 b 值，进而由余弦定理可得 cosB，sinB，代入面积公式即可解答：解：（1）由题意可得虚数 x1=2+a 与 x2=2a 是实系数方程 x2cx+8=0 的两个根（2 分）由根与系数的关系

22、可得（4 分）解得（6 分）（2）边长 a，b，c 成等比数列，b2=ac，解得 b=（7 分）根据余弦定理 cosB=（9 分）由同角三角函数的基本关系可得 sinB=（10 分）所以 SABC=（12 分）点评：本题考查实系数的一元二次方程的根，涉及复数的运算和等比数列的性质，以及三角函数的运算，属基础题20（14 分）已知函数 f（x）=（1）求 f（x）的单调增区间（2）函数 f（x）的图象 F 按向量=（，1）平移到 F，F的解析式是 y=f（x）求 f（x）的零点考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；函数 y=Asin（x+）的图象变换；复合三角函数的单调性专题：函数的性质及应

23、用分析：（1）利用二阶矩阵将函数 f（x）转化为：y=2cos（x+），从而可求函数 f（x）的单调增区间；（2）根据函数 f（x）的图象 F 按向量=（，1）平移到 F，从而得出 F的解析式，再令 f（x）=0，解出 x，即可得到 x 值，即函数的零点解答：解：（1）f（x）=2cos（x+a）cosasin（x+a）2sina=2cos（x+），由 2kx+2k，得（2 分）则 f（x）的单调增区间2k，2k，kZ，（6 分）（2）函数 f（x）的图象 F 按向量=（，1）平移到 F，F的解析式是 y=f（x）=2cosx1（9 分）由 2cosx1=0（11 分）零点为：2kx，kZ（1

24、4 分）点评：本题考查三角函数的单调性及零点，着重考查三角函数的图象与性质的灵活应用，属于基础题21（14 分）如图，建立平面直角坐标系 x0y，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx（1+k2）x2（k0）表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）若规定炮弹的射程不小于 6 千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为 f（k），求 f（k）的最小值考点：函数最值的应用专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）在 y=kx（1+k2）x2（k0）中，令 y=0，求出 x，

25、利用基本不等式，即可求得炮的最大射程；（2）利用配方法，求得炮弹射出的最大高度为 f（k），根据炮弹的射程不小于 6 千米，确定 k 的范围，即可求 f（k）的最小值解答：解：（1）在 y=kx（1+k2）x2（k0）中，令 y=0，得 kx（1+k2）x2=0（2 分）由实际意义和题设条件知 x0，k0 x=10，当且仅当 k=1 时取等号（5 分）炮的最大射程是 10 千米（6 分）（2）炮弹的射程不小于 6 千米，（8 分）y=kx（1+k2）x2=+f（k）=（）（10 分）f（k）=5（1）（）（11 分）又 f（k）在上单调递增（12 分）f（k）的最小值为（14 分）点评：本题考

26、查函数模型的运用，考查基本不等式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题22（16 分）已知数列an，Sn为其前 n 项的和，Sn=nan+9，nN*（1）证明数列an不是等比数列；（2）令 bn=an1，求数列bn的通项公式 bn；（3）已知用数列bn可以构造新数列 例如：3bn，2bn+1，sinbn请写出用数列bn构造出的新数列pn的通项公式，使数列pn满足两个条件，并说明理由数列pn为等差数列；数列pn的前 n 项和有最大值考点：等差数列与等比数列的综合专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用 Sn=nan+9，计算前三项，即可得到结论；（2）再写一式，两式相减，可得

27、数列bn为首项为 4，公比为 的等比数列，从而可求数列bn的通项公式 bn；（3）利用对数函数的性质，构造数列即可解答：（1）证明：n=1 时，S1=1a1+9，a1=5（1 分）n=2 时，S2=2a2+9，a2=3（2 分）n=3 时，S3=3a3+9，a3=2（3 分）3252，数列an不是等比数列（4 分）（2）解：Sn=nan+9，n2 时，Sn1=n1an1+9，得 an=1an+an1，即 2an=1+an1，（6 分）2（an1）=an11（8 分）bn=an1，2bn=bn1，数列bn为首项为 4，公比为 的等比数列（9 分）bn=4（10 分）（3）解：pn=logabn，

28、a1（13 分）n2 时，pnpn1=logabnlogabn1=为常数数列pn为等差数列（14 分）a1，d=0，数列pn的前 n 项和有最大值（16 分）点评：本题考查等比数列的判定，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题23（18 分）设 g（x）=2x+，x，4（1）求 g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）（2）证明 g（x）的最小值为 g（）；（3）设已知函数 f（x）（xa，b），定义：f1（x）=minf（t）|atx（xa，b），f2（x）=maxf（t）|atx（xa，b其中，minf（x）|xD表示函数 f（x）在 D 上的最小值，maxf（x

29、）|xD表示函数 f（x）在 D 上的最大值例如：f（x）=sinx，x，则 f1（x）=1，x，f2（x）=sinx，x，设（x）=+，不等式 p1（x）2（x）m 恒成立，求 p、m 的取值范围考点：奇偶性与单调性的综合；函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：（1）根据 y=ax+（a0，b0，x0）单调性及奇函数在对称区间单调性相同即可求得 g（x）的单调区间；（2）利用（1）问 g（x）的单调性可证明；（3）先求定义域 x，2由定义求出（x），1（x），2（x），进而表示出1（x）2（x），由题设条件可得1（x）2（x）的最小值及1（x）2（x）的最大值问题即可解决解答：解：（1）g（x）=2x+为奇函数奇函数在对称区间单调性相同，g（x）在 x，上递减，g（x）在 x，4上递增；（2）用最值的定义证明：g（x）在 x，上递减，对任意 x，都有 g（）g（x）g（）；g（x）在 x，4上递增，对任意 x，4，都有 g（4）g（x）g（）综上，g（x）的最小值为 g（）（3）先求定义域 x，2（x）=+=，1（x）=，）=，1（x）2（x）=，由题设条件可得1（x）2（x）的最小值为5.251（x）2（x 的最大值为 0，p5.25，m0点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力